Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2022 | Mytranshop.com

 

A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT

I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn displaystyle x,,,y có dạng tổng quát là displaystyle ax+byle c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 right)

displaystyle left( ax+by<c;,,,ax+byge c;,,,ax+by>c right)

trong đó displaystyle a,,,b,,,c là những số thực đã cho, displaystyle a và displaystyle b không đồng thời bằng displaystyle 0,,,x và displaystyle y là các ẩn số.

II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ displaystyle Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình displaystyle left( 1 right) được gọi là miền nghiệm của nó.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình displaystyle ax+byle c như sau (tương tự cho bất phương trình displaystyle ax+byge c)

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ displaystyle Oxy, vẽ đường thẳng displaystyle Delta displaystyle ax+by=c.

Bước 2. Lấy một điểm displaystyle {{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) không thuộc displaystyle Delta  (ta thường lấy gốc tọa độ displaystyle O)

Bước 3. Tính displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} và so sánh displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} với displaystyle c.

Bước 4. Kết luận:

Nếu displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}<c thì nửa mặt phẳng bờ displaystyle Delta  chứa displaystyle {{M}_{0}} là miền nghiệm của displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}le c.

Nếu displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}>c thì nửa mặt phẳng bờ displaystyle Delta  không chứa displaystyle {{M}_{0}} là miền nghiệm của displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}le c.

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trình displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}le c bỏ đi đường thẳng displaystyle ax+by=c là miền nghiệm của bất phương trình displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}<c.

III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn displaystyle x,,,y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Gợi ý 3 mẫu máy tập thể dục giảm cân chạy bộ ELIP tốt nhất 2022 | Mytranshop.com

B. BÀI TẬP

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.

Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a) displaystyle 2x-yge text{ }0                     b) frac{x-2y}{2}>frac{2x+y+1}{3}

Lời giải

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng displaystyle left( d right):text{ 2}x-y=0. Ta có left( d right) chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểmdisplaystyle Mleft( 1;0 right) . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa điểm displaystyle Mleft( 1;0 right)(Miền không được tô màu trên hình vẽ).

 

 

 

b) Ta có

 frac{x-2y}{2}>frac{2x-y+1}{3}Leftrightarrow 3left( x-2y right)-2left( 2x-y+1 right)>0

Leftrightarrow -x-4y-2>0Leftrightarrow x+4y+2<0

Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng Delta :x+4y+2=0

Xét điểm displaystyle text{O}left( 0;0 right), thấy displaystyle left( 0;0 right) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ Delta  (không kể đường thẳng Delta ) và không chứa điểm displaystyle text{O}left( 0;0 right) (Miền không được tô màu trên hình vẽ).

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

a) x+y-2≥0x-3y+3≤0                       b) left{ begin{array}{l}x+y>0\2x-3y+6>0\x-2y+1ge 0end{array} right.

Lời giải

a) Vẽ các đường thẳng left( d right):x+y-2=0,,,,,left( d' right):x-3y+3=0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm displaystyle text{O}left( 0;0 right), thấy displaystyle left( 0;0 right) không phải là nghiệm của bất phương trình x+y-2ge 0 và x-3y+3le 0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng left( d right) và left( d' right).

 

 

 

b) Vẽ các đường thẳng left( d right):x+y=0,,,,left( d' right):2x-3y+6=0 và left( d'' right):x-2y+1=0, trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm displaystyle text{O}left( 0;0 right), thấy displaystyle left( 0;0 right) là nghiệm của bất phương trình 2x-3y+6>0 và x-2y+1ge 0. Do đó displaystyle text{O}left( 0;0 right) thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x-3y+6>0 và x-2y+1ge 0.

Xét điểm Mleft( 1;0 right) ta thấy left( 1;0 right) là nghiệm của bất phương trình x+y>0 do đó điểm Mleft( 1;0 right) thuộc miền nghiệm bất phương trình x+y>0.

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng left( d'' right)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Những Lưu Ý Khi Mua Bán Giày Tennis Cũ 2022 | Mytranshop.com

DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ.

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Tleft( x,y right)=ax+by với left( x;y right) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác.

Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với left( x;y right) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.

Bước 3: Kết luận:

bullet  Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.

bullet  Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Lời giải

Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là displaystyle x (phút), trên truyền hình là y (phút). Chi phí cho việc này là: displaystyle 800.000x+4.000000y (đồng)

Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:

displaystyle ~800.000x+4.000.000y~le 16.000.000 

hay displaystyle ~xtext{ }+text{ 5}y~-20le text{0}

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có:displaystyle xge 5,text{ }yle 4 .

Đồng thời do x,y là thời lượng nêndisplaystyle xge 0,text{ }yge 0. Hiệu quả chung của quảng cáo là:displaystyle x+6y.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Điện năng. Công suất điện, trắc nghiệm vật lý lớp 11 2022 | Mytranshop.com

Bài toán trở thành: Xác định x,y sao cho: displaystyle Mleft( x;y right)=x+6y đạt giá trị lớn nhất.

Với các điều kiện left{ begin{array}{l}~x+text{5}y~-20le text{0}\xge 5\0le yle 4end{array} right.(*)

Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng left( d right):x+5y-20=0,,,left( d' right):x=5,,,left( d'' right):y=4

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của displaystyle Mleft( x;y right)=x+6y đạt tại một trong các điểm displaystyle left( 5;3 right),,,left( 5;0 right),,,left( 20;0 right)

Ta có displaystyle Mleft( 5;3 right)=23,,,Mleft( 5;0 right)=5,,,Mleft( 20;0 right)=20 suy ra giá trị lớn nhất của displaystyle Mleft( x;y right) bằng 23 tại displaystyle left( 5;3 right) tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Ví dụ 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Lời giải

Phân tích bài toán: Gọi x(displaystyle xge 0) là số kg loại I cần sản xuất, y(yge 0) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2x+4y, thời gian là displaystyle 30x+15y có mức lời là 40000x+30000y

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc suy ra 2x+4yle 200 hay x+2y-100le 0,displaystyle 30x,,+,,15y,,le ,,1200 hay displaystyle 2x+y-80le 0.

Bài toán trở thành: Tìm displaystyle x,y thoả mãn hệ displaystyle left{ begin{array}{l}x+2y-100le 0\2x,,+,y-80,,le 0\xge 0\yge 0end{array} right. (*) sao chodisplaystyle Lleft( x;y right)=40000x+30000y đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng left( d right):x+2y-100=0,,,left( d' right):2x+y-80=0

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của displaystyle Lleft( x;y right)=40000x+30000y đạt tại một trong các điểm displaystyle left( 0;0 right),,,left( 40;0 right),,,left( 0;50 right),,,left( 20;40 right). Ta có displaystyle Lleft( 0;0 right)=0,,,Lleft( 40;0 right)=1600000,
displaystyle Lleft( 0;50 right)=1500000,,,Lleft( 20;40 right)=2000000 suy ra giá trị lớn nhất của displaystyle Lleft( x;y right) là displaystyle 2000000 khi left( x;y right)=left( 20;40 right).

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.

Leave a Comment