Các quy tắc đạo hàm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

 

A. Lí thuyết cơ bản

1. Quy tắc tính đạo hàm

a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

displaystyle bullet text{ }({{u}_{1}}pm {{u}_{2}}pm ...pm {{u}_{n}})'=u_{1}^{'}pm u_{2}^{'}pm ...pm u_{n}^{'}
bullet  displaystyle (k.u(x))'=k.u'(x)

bullet displaystyle (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
bullet displaystyle ({{u}^{n}}(x))'=n{{u}^{n-1}}(x).u'(x)

bullet displaystyle {{left( frac{u(x)}{v(x)} right)}^{'}}=frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{{{v}^{2}}(x)}
bullet  displaystyle left( frac{c}{u(x)} right)'=-frac{c.u'(x)}{{{u}^{2}}(x)}.

b) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số displaystyle y=f(u(x))=f(u) vớidisplaystyle u=u(x). Khi đódisplaystyle y{{'}_{x}}=y{{'}_{u}}.u{{'}_{x}}.

2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

 

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp

A. Phương pháp

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.

Chú ý: Rút gọn sau khi tính!

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+1                 b) y=-{{x}^{3}}+3x+1

c) y=frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+1                            d) y=-2{{x}^{4}}+frac{3}{2}{{x}^{2}}+1

e) y=frac{2x+1}{x-3}                                        f) y=frac{{{x}^{2}}-2x+2}{x+1}

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Tính đơn điệu của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

a) Ta có: y'={{left( -{{x}^{3}}+3x+1 right)}^{'}}=3{{x}^{2}}-6x+2

b) Ta có: y'={{left( -{{x}^{3}}+3x+1 right)}^{'}}=-3{{x}^{2}}+3

c) Ta có: y'={{left( frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+1 right)}^{'}}={{x}^{3}}-2x

d) Ta có: y'={{left( -2{{x}^{4}}+frac{3}{2}{{x}^{2}}+1 right)}^{'}}=-8{{x}^{3}}+3x

e) Ta có: y'=frac{(2x+1)'(x-3)-(x-3)'(2x+1)}{{{(x-3)}^{2}}}=frac{-7}{{{(x-3)}^{2}}}

f) Ta có: y'=frac{({{x}^{2}}-2x+2)'(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)(x+1)'}{{{(x+1)}^{2}}}

                 =frac{(2x-2)(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)}{{{(x+1)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}+2x-4}{{{left( x+1 right)}^{2}}}.

Nhận xét: Với hàm số y=frac{ax+b}{cx+d} ta có: y'=frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}.

Ví dụ 1.2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

    a)    displaystyle y={{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2016}}    b)    displaystyle y=sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}    

    c)    displaystyle y=frac{5}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{4}}}            d)    displaystyle y={{left( 2x+3 right)}^{21}}{{left( x-4 right)}^{23}}

Lời giải:

a) Ta có y'={{left[ {{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2016}} right]}^{'}}=2016.{{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{'}}.{{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2015}}     

                =2016.left( 2x+frac{3}{2sqrt{x}} right).{{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2015}}

b) Ta có y'={{left( sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2} right)}^{'}}=frac{{{left( 4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2 right)}^{'}}}{2sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}=frac{12{{x}^{2}}+6x+2}{2sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}=frac{6{{x}^{2}}+3x+1}{sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}.

c) Ta có y'={{left[ frac{5}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{4}}} right]}^{'}}=-frac{5.{{left[ {{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{4}} right]}^{'}}}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{8}}}
                 =-frac{20.2frac{1}{2sqrt{x}}.{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{3}}}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{8}}}=-frac{10}{sqrt{x}{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{5}}}.

d) Ta có y'={{left[ {{left( 2x+3 right)}^{21}}{{left( x-4 right)}^{23}} right]}^{'}}={{left[ {{left( 2x+3 right)}^{21}} right]}^{'}}.{{left( x-4 right)}^{23}}+{{left( 2x+3 right)}^{21}}.{{left[ {{left( x-4 right)}^{23}} right]}^{'}}

=21{{left( 2x+3 right)}^{'}}.{{left( 2x+3 right)}^{20}}.{{left( x-4 right)}^{23}}+{{left( 2x+3 right)}^{21}}.23{{left( x-4 right)}^{'}}.{{left( x-4 right)}^{22}}

=42{{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{23}}+23{{left( 2x+3 right)}^{21}}{{left( x-4 right)}^{22}}

={{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{22}}left[ 42left( x-4 right)+23left( 2x+3 right) right]

={{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{22}}left( 88x-99 right)
=11{{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{22}}left( 8x-9 right)

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác

A. Phương pháp

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.

Chú ý:     

–   Sử dụng công thức lượng giác để rút gọn

–   Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=xcos x                b) y={{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{3}}             c) y={{sin }^{3}}left( 2x+1 right)

d) y=sin sqrt{2+{{x}^{2}}}        e) y=sqrt{sin x+2x}         f) y=2{{sin }^{2}}4x-3{{cos }^{3}}5x

Lời giải:

a) y=xcos x. Ta áp dụng đạo hàm tích.

y'=x'cos x+x.{{left( cos x right)}^{/}}=cos x-xsin x.

b) y={{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{3}}. Bước đầu tiên ta áp dụng công thức {{left( {{u}^{alpha }} right)}^{/}} với u=frac{sin x}{1+cos x}

               y'=3{{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{2}}.{{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{/}}

Tính: {{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{/}}=frac{{{left( sin x right)}^{/}}left( 1+cos x right)-{{left( 1+cos x right)}^{/}}.sin x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}=frac{cos xleft( 1+cos x right)+{{sin }^{2}}x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}

                        =frac{cos x+{{cos }^{2}}x+{{sin }^{2}}x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}=frac{1}{1+cos x}.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Kinh nghiệm thi công nội thất văn phòng từ A đến Z 2022 | Mytranshop.com

Vậy y'=3{{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{2}}.frac{1}{1+cos x}=frac{3{{sin }^{2}}x}{{{left( 1+cos x right)}^{3}}}.

c) y={{sin }^{3}}left( 2x+1 right). Bước đầu tiên áp dụng công thức {{left( {{u}^{alpha }} right)}^{/}} với u=sin left( 2x+1 right)

Vậy y'={{left( {{sin }^{3}}left( 2x+1 right) right)}^{/}}=3{{sin }^{2}}left( 2x+1 right).{{left( sin left( 2x+1 right) right)}^{/}}.

Tính {{left( sin left( 2x+1 right) right)}^{/}}: Áp dụng {{left( sin u right)}^{/}}, với u=left( 2x+1 right)

Ta được: {{left( sin left( 2x+1 right) right)}^{/}}=cos left( 2x+1 right).{{left( 2x+1 right)}^{/}}=2cos left( 2x+1 right)

Rightarrow y'=3.{{sin }^{2}}left( 2x+1 right).2cos left( 2x+1 right)=6{{sin }^{2}}left( 2x+1 right)cos left( 2x+1 right)

d) y=sin sqrt{2+{{x}^{2}}}. Áp dụng công thức {{left( sin u right)}^{/}} với u=sqrt{2+{{x}^{2}}}

y'=cos sqrt{2+{{x}^{2}}}.{{left( sqrt{2+{{x}^{2}}} right)}^{/}}=cos sqrt{2+{{x}^{2}}}.frac{{{left( 2+{{x}^{2}} right)}^{/}}}{2sqrt{2+{{x}^{2}}}}=frac{x}{sqrt{2+{{x}^{2}}}}.cossqrt{2+{{x}^{2}}}.

e) y=sqrt{sin x+2x}. Áp dụng {{left( sqrt{u} right)}^{/}}, với u=sin x+2x

        y'=frac{{{left( sin x+2x right)}^{/}}}{2sqrt{sin x+2x}}=frac{cos x+2}{2sqrt{sin x+2x}}

f) y=2{{sin }^{2}}4x-3{{cos }^{3}}5x. Bước đầu tiên áp dụng {{left( u+v right)}^{/}}

        y'={{left( 2{{sin }^{2}}4x right)}^{/}}-3{{left( {{cos }^{3}}5x right)}^{/}}

Tính {{left( {{sin }^{2}}4x right)}^{/}}: Áp dụng {{left( {{u}^{alpha }} right)}^{/}}, với u=sin 4x, ta được:

{{left( {{sin }^{2}}4x right)}^{/}}=2sin 4x.{{left( sin 4x right)}^{/}}=2sin 4x.cos 4x{{left( 4x right)}^{/}}=4sin 8x.

Tương tự: {{left( {{cos }^{3}}5x right)}^{/}}=3{{cos }^{2}}5x.{{left( cos 5x right)}^{/}}=3{{cos }^{2}}5x.left( -sin 5x right).{{left( 5x right)}^{/}}

                               =-15{{cos }^{2}}5x.sin 5x=frac{15}{2}cos 5x.sin 10x.

Kết luận: y'=8sin 8x+frac{45}{2}cos 5x.sin 10x

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm

A. Phương pháp

Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:

“Cho hàm sốdisplaystyle y=fleft( x right), hãy giải phương trình displaystyle g(y,{y}')=0

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1.     Tính đạo hàm displaystyle {y}'.

Bước 2.    Chuyển phương trình displaystyle g(y,{y}')=0 về phương trình đại số thông thường để giải.

Chú ý: Cho tam thức displaystyle fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c,text{ }(ane 0)

1/    displaystyle f(x)>0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0\Delta <0end{array} right.            2/displaystyle f(x)ge 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0\Delta le 0end{array} right.

3/displaystyle f(x)<0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a<0\Delta <0end{array} right.                4/displaystyle f(x)le 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a<0\Delta le 0end{array} right.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Giải bất phương trình f'(x)ge 0 biết:

1. f(x)=xsqrt{4-{{x}^{2}}}                                      2. f(x)=x-2sqrt{{{x}^{2}}+12}

3. f(x)=sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+sqrt{{{x}^{2}}+x+1}        4. f(x)=sqrt[4]{{{x}^{2}}+1}-sqrt{x}

Lời giải:

1. TXĐ: D=left[ -2;2 right]

Ta có: f'(x)=sqrt{4-{{x}^{2}}}-frac{{{x}^{2}}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}}=frac{4-2{{x}^{2}}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}}

Do đó: f'(x)ge 0Leftrightarrow 4-2{{x}^{2}}ge 0Leftrightarrow -sqrt{2}le xle sqrt{2}.

2. TXĐ: D=mathbb{R}

Ta có: f'(x)=1-frac{2x}{sqrt{{{x}^{2}}+12}}=frac{sqrt{{{x}^{2}}+12}-2x}{sqrt{{{x}^{2}}+12}}

Suy ra: f'(x)ge 0Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}+12}ge 2x       (1)

bullet  Với x<0 thì (1) luôn đúng

bullet  Với xge 0 thì (1)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0\{{x}^{2}}+12ge 4{{x}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow 0le xle 2

Vậy bất phương trình f'(x)ge 0 có nghiệm xle 2.

3. TXĐ: D=mathbb{R}

Ta có: f'(x)=frac{2x-1}{2sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}+frac{2x+1}{2sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}

Suy ra f'(x)=0Leftrightarrow left( 1-2x right)sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=left( 1+2x right)sqrt{{{x}^{2}}-x+1}

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}(1-2x)(1+2x)ge 0\{{(1-2x)}^{2}}left[ {{left( x+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4} right]={{left( 1+2x right)}^{2}}left[ {{left( x-frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4} right]end{array} right.

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-frac{1}{2}le xle frac{1}{2}\{{(1-2x)}^{2}}={{(1+2x)}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow x=0.

4. TXĐ: D=left[ 0;+infty  right)

Ta có:displaystyle f'(x)=frac{x}{2sqrt[4]{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}}-frac{1}{2sqrt{x}}.

displaystyle f'(x)ge 0Leftrightarrow xsqrt{x}ge sqrt[4]{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}Leftrightarrow {{x}^{6}}ge {{({{x}^{2}}+1)}^{3}}

displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}ge {{x}^{2}}+1 bất phương trình này vô nghiệm

Ví dụ 3.2: Tìm m để các hàm số

a)y=(m-1){{x}^{3}}-3(m+2){{x}^{2}}-6(m+2)x+1 có y'ge 0,text{ }forall xin mathbb{R}

    A.mge 3               B.mge 1                C.mge 4               D.mge 4sqrt{2}

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Xu hướng thiết kế nội thất trong nhà đẹp, đa dạng phong cách - 2022 | Mytranshop.com

b) y=frac{m{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+(3m-1)x+1 có y'le 0,text{ }forall xin mathbb{R}.

    A.mle sqrt{2}           B.mle 2                C.mle 0               D.m<0

Lời giải:

a) Ta có: y'=3left[ (m-1){{x}^{2}}-2(m+2)x-2(m+2) right]

Do đó y'ge 0Leftrightarrow (m-1){{x}^{2}}-2(m+2)x-2(m+2)ge 0 (1)

bullet  m=1 thì (1) Leftrightarrow -6x-6ge 0Leftrightarrow xle -1 nên m=1 (loại)

bullet  mne 1 thì (1) đúng với forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=m-1>0\Delta 'le 0end{array} right.

                           Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>1\(m+1)(4-m)le 0end{array} right.Leftrightarrow mge 4

Vậy mge 4 là những giá trị cần tìm.

b) Ta có: y'=m{{x}^{2}}-2mx+3m-1

Nên y'le 0Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2mx+3m-1le 0 (2)

bullet  m=0 thì (1) trở thành: -1le 0 đúng với forall xin mathbb{R}

bullet  mne 0, khi đó (1) đúng với forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=m<0\Delta 'le 0end{array} right.

        Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m<0\m(1-2m)le 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m<0\1-2mge 0end{array} right.Leftrightarrow m<0

Vậy mle 0 là những giá trị cần tìm.

Leave a Comment