Hàm số bậc nhất, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022

Mục lục

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y=ax+b$ $(ane 0)$ .

2. Sự biến thiên

$bullet text{ }$ TXĐ: $D=mathbb{R}$

$bullet text{ }$ Hàm số số đồng biến khi $a>0$ và nghịch biến khi $a<0$

Bảng biến thiên

3. Đồ thị.

Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $(ane 0)$ là một đường thẳng có hệ số góc bằng $a$ , cắt trục hoành tại $Aleft( -frac{b}{a};0 right)$ và trục tung tại $Bleft( 0;b right)$

Chú ý:

$bullet text{ }$ Nếu $a=0Rightarrow y=b$ là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

$bullet text{ }$ Phương trình $x=a$ cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a.

$bullet text{ }$ Cho đường thẳng $displaystyle d$ có hệ số góc $k$ , $displaystyle d$ đi qua điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ , khi đó phương trình của đường thẳng $d$ là: $y-{{y}_{0}}=aleft( x-{{x}_{0}} right)$ .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ

1. Phương pháp giải.

$bullet$ Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b,,ane 0$ . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn $displaystyle a,,b$ , từ đó suy ra hàm số cần tìm.

$bullet$ Cho hai đường thẳng $displaystyle {{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.$ Khi đó:

a) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ trùng nhau $displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{a}_{1}}={{a}_{2}}\{{b}_{1}}={{b}_{2}}end{array} right.;$

b) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ song song nhau $displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{a}_{1}}={{a}_{2}}\{{b}_{1}}ne {{b}_{2}}end{array} right.;$

c) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ cắt nhau $displaystyle Leftrightarrow {{a}_{1}}ne {{a}_{2}}.$ Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

d) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ vuông góc nhau $displaystyle Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1.$

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng $d$ . Tìm hàm số đó biết:

a) $displaystyle d$ đi qua $A(1;3),text{ }B(2;-1)$

A. $y=-4x+2$ B. $y=-2x+3$ C. $y=-4x+5$ D. $y=-4x+7$

b) $d$ đi qua $C(3;-2)$ và song song với $Delta :3x-2y+1=0$

A. $y=frac{1}{2}x-frac{3}{2}$ B. $y=frac{3}{2}x-frac{13}{2}$ C. $y=frac{3}{2}x-frac{3}{2}$ D. $y=frac{3}{2}x+frac{3}{2}$

c) $d$ đi qua $M(1;2)$ và cắt hai tia $Ox,Oy$ tại $P,Q$ sao cho ${{S}_{Delta OPQ}}$ nhỏ nhất.

A. $y=-2x+2$ B. $y=-2x+3$ C. $y=-2x+4$ D. $y=2x-1$

d) $d$ đi qua $Nleft( 2;-1 right)$ và $dbot d'$ với $d':y=4x+3$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Mẫu nhà biệt thự 2 tầng tân cổ điển mini 4 phòng ngủ 1 phòng thờ 2022 | Mytranshop.com

A. $y=-frac{1}{4}x-frac{1}{2}$ B. $y=-frac{1}{4}x-frac{1}{3}$ C. $y=-frac{1}{4}x+frac{1}{2}$ D. $y=frac{1}{4}x-frac{1}{2}$

Lời giải:

Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b,,ane 0$

a) Vì $Ain d$ và $Bin d$ nên ta có hệ phương trình

Vậy hàm số cần tìm là y = -4x + 7

b) Ta có . Vì $displaystyle text{d}//Delta$ nên (1)

Mặt khác C ∈ d ⇒ -2 = 3a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy hàm số cần tìm là $y=frac{3}{2}x-frac{13}{2}$

c) Đường thẳng $displaystyle d$ cắt trục $displaystyle Ox$ tại $Pleft( -frac{b}{a};0 right)$ và cắt $displaystyle text{O}y$ tại $Qleft( 0;b right)$ với $a<0,,,b>0$

Suy ra ${{S}_{Delta OPQ}}=frac{1}{2}OP.OQ=frac{1}{2}.left| -frac{b}{a} right|.left| b right|=-frac{{{b}^{2}}}{2a}$ (3)

Ta có $Min dRightarrow 2=a+bRightarrow b=2-a$ thay vào (3) ta được

$displaystyle {{S}_{Delta OPQ}}=-frac{{{left( 2-a right)}^{2}}}{2a}=-frac{2}{a}-frac{a}{2}+2$

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có

$displaystyle -frac{2}{a}-frac{a}{2}ge 2sqrt{left( -frac{2}{a} right).left( -frac{a}{2} right)}=2Rightarrow {{S}_{Delta OPQ}}ge 4$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy hàm số cần tìm là $y=-2x+4$ .

d) Đường thẳng $d$ đi qua $Nleft( 2;-1 right)$ nên $-1=2a+b$ (4)

Và $dbot d'Rightarrow 4.a=-1Leftrightarrow a=-frac{1}{4}$ thay vào (4) ta được $b=-frac{1}{2}$ .

Vậy hàm số cần tìm là $y=-frac{1}{4}x-frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng $,d:y=x+2m,,,d':y=3x+2$ ( $m$ là tham số)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng $d,,,d'$ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

A. $Mleft( 2m-1;3m-1 right)$ B. $Mleft( m-2;3m-2 right)$

C. $Mleft( m+1;3m+1 right)$ D. $Mleft( m-1;3m-1 right)$

b) Tìm $m$ để ba đường thẳng $d,,d'$ và $d'':y=-mx+2$ phân biệt đồng quy.

A. $m=-1$ B. $m=3$ C. $m=1$ D. $m=2$

Lời giải:

a) Ta có ${{a}_{d}}=1ne {{a}_{d'}}=3$ suy ra hai đường thẳng $d,,,d'$ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d,,,d'$ là nghiệm của hệ phương trình

suy ra $d,,,d'$ cắt nhau tại $Mleft( m-1;3m-1 right)$

b) Vì ba đường thẳng $d,,,d',,,d''$ đồng quy nên $Min d''$ ta có

$3m-1=-mleft( m-1 right)+2Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0$ ⇔ m = 1, m = -3.

$bullet$ Với $m=1$ ta có ba đường thẳng là $,,d:y=x+2,,,d':y=3x+2,,,d'':y=-x+2,$ phân biệt và đồng quy tại $Mleft( 0;2 right)$ .

$bullet$ Với $m=-3$ ta có $displaystyle d'equiv d''$ suy ra $m=-3$ không thỏa mãn

Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng $d:,,y=left( m-1 right)x+m$ và $d':y=left( {{m}^{2}}-1 right)x+6$

a) Tìm $m$ để hai đường thẳng $displaystyle d,,,d'$ song song với nhau

A. $m=0$ và $m=3$ B. $m=0$ và $m=2$ C. $m=0$ và $m=1$ D. $m=0$ và $m=4$

b) Tìm $m$ để đường thẳng $displaystyle d$ cắt trục tung tại $A$ , $displaystyle d'$ cắt trục hoành tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$

A. $m=pm 4$ B. $m=pm 2$ C. $m=pm 3$ D. $m=pm 1$

Lời giải:

a) Với $m=1$ ta có $displaystyle d:,,y=1,,,d':y=6$ do đó hai đường thẳng này song song với nhau

Với $m=-1$ ta có $displaystyle d:,,y=-2x-1,,,d':y=6$ suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại $Mleft( -frac{7}{2};6 right)$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Trước khi đi tập gym buổi chiều nên ăn gì để tăng cân 2022 | Mytranshop.com

Với $mne pm 1$ khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi

Đối chiếu với điều kiện $mne pm 1$ suy ra $m=0$ .

Vậy $m=0$ và $m=1$ là giá trị cần tìm.

b) Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ

DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) $y=3x+6$

b) $y=-frac{1}{2}x+frac{3}{2}$

Lời giải:

a) TXĐ: $displaystyle text{D}=mathbb{R}$ , $a=3>0$ suy ra hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số $y=3x+6$ đi qua $Aleft( -2;0 right),,,Bleft( -1;3 right)$

b) TXĐ: $displaystyle text{D}=mathbb{R}$ , $a=-frac{1}{2}<0$ suy ra hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số $y=-frac{1}{2}x+frac{3}{2}$ đi qua $Aleft( 3;0 right),,,Bleft( 0;frac{3}{2} right)$

Ví dụ 2. Cho các hàm số : $y=2x-3,,,y=-x-3,,,y=-2$ .

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = 2x – 3 đi qua các điểm

Đường thẳng $y=-x-3$ đi qua các điểm A(0; -3), C(-3; 0)

Đường thẳng $y=-2$ song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2

b) Đường thẳng $y=2x-3,,,y=-x-3$ cắt nhau tại $Aleft( 0;-3 right)$ , Đường thẳng $y=-x-3,,,y=-2$ cắt nhau tại $A'left( -1;-2 right)$ , Đường thẳng $y=2x-3,,,y=-2$ cắt nhau tại $A''left( frac{1}{2};-2 right)$ .

Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên $left[ -3;3 right]$

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên

Lời giải:

a) Bảng biến thiên của hàm số trên $left[ -3;3 right]$

b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:

khi và chỉ khi $x=-4$

$displaystyle underset{left[ -4;2 right]}{mathop{min }},=0$ khi và chỉ khi

DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI $y=left| ax+b right|$ .

1. Phương pháp giải.

Vẽ đồ thị của hàm số $y=left| ax+b right|$ ta làm như sau

Cách 1: Vẽ là đường thẳng $y=ax+b$ với phần đồ thị sao cho hoành độ thỏa mãn $displaystyle xge -frac{b}{a}$ , Vẽ $left( {{C}_{2}} right)$ là đường thẳng $y=-ax-b$ lấy phần đồ thị sao cho . Khi đó là hợp của hai đồ thị $left( {{C}_{1}} right)$ và $left( {{C}_{2}} right)$ .

Cách 2: Vẽ đường thẳng $y=ax+b$ và $y=-ax-b$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là $left( C right)$ .

Chú ý:

$bullet$ Biết trước đồ thị $displaystyle left( C right):y=fleft( x right)$ khi đó đồ thị $displaystyle left( {{C}_{1}} right):y=fleft( left| x right| right)$ là gồm phần :

– Giữ nguyên đồ thị $displaystyle left( C right)$ ở bên phải trục tung;

– Lấy đối xứng đồ thị $displaystyle left( C right)$ ở bên phải trục tung qua trục tung.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 3 yếu tố nhận diện phong cách thiết kế nội thất hiện đại 2022 | Mytranshop.com

Biết trước đồ thị $displaystyle left( C right):y=fleft( x right)$ khi đó đồ thị là gồm phần:

– Giữ nguyên đồ thị $displaystyle left( C right)$ ở phía trên trục hoành

– Lấy đối xứng đồ thị ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) $displaystyle y=left{ begin{array}{l}2xquad khi xge 0\-xquad khi x<0end{array} right.$ . b).

Lời giải:

a) Với $xge 0$ đồ thị hàm số y = 2x là phần đường thẳng đi qua hai điểm $Oleft( 0;0 right),,,Aleft( 1;2 right)$ nằm bên phải của đường thẳng x = 0.

Với $displaystyle x<0$ đồ thị hàm số y = -x là phần đường thẳng đi qua hai điểm $Bleft( -1;1 right),,,Cleft( -2;2 right)$ nằm bên trái của đường thẳng x = 0.