Khối đa diện, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. Lý thuyết cơ bản

I. Khối lăng trụ và khối chóp:

1. Khối lăng trụ:

* Hình lăng trụ:

         + 2 đáy là 2 đa giác bằng nhau.

         + Các cạnh bên song song và bằng nhau.

         + Các mặt bên là các hình bình hành.

 

 * Hình lăng trụ đứng:

Định nghĩa: là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật vuông góc với mặt đáy.

* Hình lăng trụ đều:

Định nghĩa: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chứ nhật bằng nhau.

* Khối lăng trụ: là phần không gian giới hạn bởi hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ đó.

2. Khối chóp:

* Hình chóp:

         + Đáy là đa giác.

         + Các mặt bên là các tam giác chung đỉnh.

* Khối chóp: là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp.

        + Đáy khối chóp là tam giác: khối chóp tam giác.

        + Đáy khối chóp là tứ giác: khối chóp tứ giác.

* Hình chóp đều:

Định nghĩa: là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và mặt đáy là một đa giác đều.

Tính chất: Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy.

II. Khối đa diện

1. Khối đa diện

Khối đa diện là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

     + Hai đa giác bất kì không có điểm chung, hoặc có một điểm chung hoặc có chung một cạnh.

     + Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.

2. Khối đa diện lồi

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi (Hình 2.1).

Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2).

Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt: 

Đ – C + M = 2

3. Khối đa diện đều

* Một khối đa diện được gọi là khối đa diện đều loại displaystyle text{ }!!{!!text{ }p,qtext{ }!!}!!text{ } nếu:

      + Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

      + Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của q mặt.

* Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

* Có 5 loại khối đa đa diện đều.

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.

III. HAI HÌNH BẲNG NHAU

1. Phép dời hình trong không gian và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Hiện Tượng Sụt Áp Là Gì? Nguyên Nhân & Giải Pháp Khắc Phục Sụt Áp 2022 | Mytranshop.com

– Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

– Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

Nhận xét:

– Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

– Phép dời hình biến một đa diện thành left( H right) một đa diện left( H' right), biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện left( H right) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện left( H' right).

a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector overrightarrow{v} là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}.

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

d) Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).

2. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Nhận xét:

– Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia. 

– Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

IV. Phân chia và lắp ghép khối đa diện

– Nếu khối đa diện (H)là hợp của hai khối đa diện ({{H}_{1}}),({{H}_{2}}) sao cho ({{H}_{1}}) và ({{H}_{2}}) không có điểm chung trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện ({{H}_{1}})và ({{H}_{2}}), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện ({{H}_{1}}) và ({{H}_{2}})với nhau để được khối đa diện (H).

– Một khối đa diện bất kì luôn chia được thành các khối tứ diện.

B. Bài tập:

Ví dụ 1 (Đề minh họa lần 2 – 2017) Hình nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A. Tứ diện đều                B. Bát diện đều               C. Hình lập phương             D. Lăng trụ lục giác đều

Lời giải:

Trong các hình trên chỉ có hình tứ diện đều là không có tâm đối xứng. Chọn A.

Ví dụ 2 (Đề thi THPTQG – 2017 mã đề 101) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng.            B. 6 mặt phẳng.               C. 9 mặt phẳng.                 D. 3 mặt phẳng.

Lời giải:

Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối. Chọn D.

Ví dụ 3 (Đề thi THPTQG – 2017 mã đề 116) Mặt phẳng (AB’C’) chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào?

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Mẫu nhà cấp 4 nông thôn mái thái giá rẻ, nhà cấp 4 500 triệu 2022 | Mytranshop.com

    A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

    B. Hai khối chóp tam giác.

    C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

    D. Hai khối chóp tứ giác.

Lời giải:


Ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

Chọn A.

 

 

Ví dụ 4: Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?

A. Bát diện đều.           B. Tứ diện đều             C. Lục giác đều               D. Ngũ giác đều.

Lời giải:

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian chỉ 5 khối đa diện đều, đó là: khối tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều lần lượt có hình vẽ như dưới đây:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.

    B. Khối lập phương và khố bát diện đều có cùng số cạnh.

    C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có một tâm đối xứng.

    D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.

Lời giải:

Khối lập phương có 6 mặt ⇒ A sai.

Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12 ⇒ B đúng.

Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng ⇒ C sai.

Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh ⇒ D sai.

Vậy chọn B.

Ví dụ 6 (Đề thi THPTQG – 2017 Mã đề 120) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. S=4sqrt{3}{{a}^{2}}              B. S=sqrt{3}{{a}^{2}}                  C. S=2sqrt{3}{{a}^{2}}                  D. S=8{{a}^{2}}

Lời giải:

Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi {{S}_{0}} là diện tích tam giác đều cạnh aRightarrow {{S}_{0}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.

Vậy diện tích S cần tính là S=8.{{S}_{0}}=8.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=2sqrt{3}{{a}^{2}}. Chọn C.

Ví dụ 7: Trong không gian cho hai vectơ overrightarrow{u} và overrightarrow{v}. Với M là điểm bất kỳ, ta gọi {{M}_{1}} là ảnh của M qua phép {{T}_{overrightarrow{u}}} và {{M}_{2}} là ảnh của {{M}_{1}} qua phép {{T}_{overrightarrow{v}}},. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành đểm {{M}_{2}} là

    A. Phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{u}+overrightarrow{v}                B. Phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{u}

    C. Phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{v}                         D. Một phép biến hình khác

Lời giải:

Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ

displaystyle left. begin{array}{l}{{T}_{overrightarrow{u}}}left( M right)={{M}_{1}}Leftrightarrow overrightarrow{M{{M}_{1}}}=overrightarrow{u}\{{T}_{overrightarrow{v}}}left( {{M}_{1}} right)={{M}_{2}}Leftrightarrow overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=overrightarrow{v}end{array} right}displaystyle Rightarrow overrightarrow{M{{M}_{1}}}+overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=overrightarrow{u}+overrightarrow{v}Leftrightarrow overrightarrow{M{{M}_{2}}}=overrightarrow{u}+overrightarrow{v}

Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm {{M}_{2}} là phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{u}+overrightarrow{v}.

Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.
A’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.
Phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{u}=frac{1}{2}overrightarrow{AD} biến tam giác A'IJ thành tam giác

    A. C’CD                                                         B. CD’P với P là trung điểm của B’C’

    C. KDC với K là trung điểm của A’D’                 D. DC’D’

Lời giải:

 

Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{u}=frac{1}{2}overrightarrow{AD}. Ta có

 

Tleft( I right)=D,Tleft( J right)=C,Tleft( A' right)=K

 

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Mẫu nhà vườn cấp 4 100m2, siêu đẹp, siêu tiết kiệm cho mọi gia đình 2022 | Mytranshop.com

Vậy Tleft( Delta A'IJ right)=Delta KDC.

 

Chọn đáp án C.

Ví dụ 9: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng

    A. 1                           B. 2                             C. 3                            D. 4

Lời giải:

 

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng đó là:

 

displaystyle left( SAC right),left( SBD right),left( SMN right),left( SIJ right), với M, N, I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD, DA, BC

Chọn đáp án D.

 

 

 

Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ tâm O (tâm đối xứng). Ảnh của đoạn thẳng A’B qua phép đối xứng tâm {{D}_{O}} là đoạn thẳng

A. DC'                        B. CD'                       C. displaystyle DB'                         D. AC'

Lời giải:

Ta có: {{D}_{O}}left( A' right)=C;,,{{D}_{O}}left( B right)=D'

Do đó {{D}_{O}}left( A'B right)=CD'

Chọn đáp án B.

 

 

Ví dụ 11: Có thể chia khối lập phương ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}' thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau mà mỗi tứ diện có bốn đỉnh thuộc tập các điểm left{ A,B,C,D,{A}',{B}',{C}',{D}' right}?

A. Sáu                         B. Vô số                        C. Hai                           D. Bốn

Lời giải:

+ Chia khối lập phương ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'thành 2 khối lăng trụ bằng nhau ABC.{A}'{B}'{C}' và ADC.{A}'{D}'{C}'

+ Xét khối lăng trụ ABC.{A}'{B}'{C}'và nối các đường như hình vẽ sau đây

Hai khối tứ diện ABC{A}',{C}'BC{A}' bằng nhau vì chúng đối xứng với nhau qua mặt phẳng left( BC{A}' right)

Hai khối tứ diện {C}'BC{A}',{C}'B{B}'{A}' bằng nhau vì chúng đối xứng với nhau qua mặt phẳng left( {A}'B{C}' right)

Như vậy khối lăng trụ ABC.{A}'{B}'{C}'được chia thành 3 khối tứ diện ABC{A}',{C}'BC{A}',{C}'B{B}'{A}' bằng nhau.

+ Làm tương tự như vậy với khối lăng trụ ADC.{A}'{D}'{C}'ta cũng chia được 3 khối tứ diện bằng nhau.

+ Vậy, ta có thể chia khối lập phương thành 6 khối tứ diện bằng nhau.

Ví dụ 12: Cho khối tứ diệndisplaystyle ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và displaystyle D. Bằng hai mặt phẳngdisplaystyle left( MCD right)vàdisplaystyle left( NAB right)ta chia khối tứ diện đã cho thành 4 khối tứ diện:

    A. AMCN, AMND, BMCN, BMND                     B. AMCN, AMND, AMCD, BMCN

    C. BMCD, BMND, AMCN, AMDN                     D. AMCD, AMND, BMCN, BMND

 Lời giải:

Ta có hình vẽ:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB), khi đó ta thấy tứ diện đã cho được chia thành bốn tứ diện displaystyle ACMN,text{ }AMND,text{ }BMNC,text{ }BMND.

 

 

 

Ví dụ 13: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Về phía ngoài khối chóp này ta ghép thêm một khối chóp tứ diện đều có cạnh bằng a, sao cho một mặt của khối tứ diện đều trùng với một mặt của khối chóp đã cho. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy mặt?

    A. 5                          B. 6                          C. 7                            D. 9

Lời giải:

Chọn đáp án A. 

Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ tam giác nên có 5 mặt

Leave a Comment