Nguyên hàm- Phương pháp nguyên hàm từng phần, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

 

A. Phương pháp

Công thức nguyên hàm từng phần: I=int{udv}=uv-int{vdu}.

Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho các nguyên hàm có dạng int{f(x).g(x)dx} trong đó (f(x) và g(x) là hai trong 4 loại hàm: đa thức, lượng giác, mũ, loga.

Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

Các bước tính nguyên hàm từng phần:

– Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng I=int{f(x).g(x)dx}.

– Bước 2: Đặt left{ begin{array}{l}u=f(x)\dv=g(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=f'(x)dx\v=int{g(x)dx}end{array} right. (chọn v là một nguyên hàm củag(x)).

– Bước 3: Khi đó I=int{udv}=uv-int{vdu}.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 3) Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f'(x)=(x+1){{e}^{x}} và int{f(x)dx}=(ax+b){{e}^{x}}+c với a,b,c là các hằng số. Khi đó:

    A. a+b=2.                  B. a+b=3.                     C. a+b=0.                    D. a+b=1.

Lời giải:

f'(x)=(x+1){{e}^{x}}Rightarrow f(x)=int{(x+1){{e}^{x}}dx}.

Đặt left{ begin{array}{l}u=x+1\dv={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v={{e}^{x}}end{array} right.Rightarrow f(x)   =(x+1){{e}^{x}}-int{{{e}^{x}}d(x+1)}=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+c=x{{e}^{x}}+C.

Chọn f(x)=x{{e}^{x}} ta có int{f(x)dx}=int{x{{e}^{x}}dx}

Đặt left{ begin{array}{l}{{u}_{1}}=x\d{{v}_{1}}={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}d{{u}_{1}}=dx\{{v}_{1}}={{e}^{x}}end{array} right. 

     Rightarrow int{f(x)dx=}x{{e}^{x}}-int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C.

Do đó a=1;,b=-1Rightarrow a+b=0. Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau :

    a) I=int{{{x}^{2}}ln xdx}.     b) I=int{{{e}^{x}}sin xdx}.    c) I=int{({{x}^{2}}+2x)sin }xdx.

Lời giải:

    a) I=int{{{x}^{2}}ln xdx}

    Đặt left{ begin{array}{l}u=ln x\dv={{x}^{2}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{dx}{x}\v=frac{{{x}^{3}}}{3}end{array} right.Rightarrow I=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-int{frac{{{x}^{3}}}{3}.}frac{dx}{x}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-frac{{{x}^{3}}}{9}+C.

    Nhận xét: Ngoài cách đặt u,v như trên ta có thể làm trực tiếp như sau:

    I=int{ln xdleft( frac{{{x}^{3}}}{3} right)=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-int{frac{{{x}^{3}}}{3}d(ln x)}}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-int{frac{{{x}^{3}}}{3}.frac{dx}{x}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-frac{{{x}^{3}}}{9}+C}.

    b) I=int{{{e}^{x}}sin xdx}

    Đặt left{ begin{array}{l}u={{e}^{x}}\dv=sin xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\v=-cos xend{array} right.Rightarrow I=-{{e}^{x}}cos x+int{cos x.{{e}^{x}}dx}.

    Đặt left{ begin{array}{l}{{u}_{1}}={{e}^{x}}\d{{v}_{1}}=cos xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}d{{u}_{1}}={{e}^{x}}dx\{{v}_{1}}=sin xend{array} right.

    begin{array}{l}Rightarrow I=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x-int{sin x.{{e}^{x}}dx}=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x+C-I\Rightarrow I=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x+C-I\Leftrightarrow 2I=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x+CLeftrightarrow I=-frac{1}{2}{{e}^{x}}cos x+frac{1}{2}{{e}^{x}}sin x+Cend{array}

    Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính nguyên hàm là tích của hàm số lượng giác và hàm số mũ thì có thể đặt u,v tùy ý. Tuy nhiên trong quá trình tính sẽ gồm các vòng lặp, trong mỗi vòng lặp ta phải nhất quán việc đặt u.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Phòng tập gym GoldSport Phan Văn Trị, Quận Gò Vấp 2022 | Mytranshop.com

    c) int{({{x}^{2}}+2x)sin }xdx.

    Đặt left{ begin{array}{l}u={{x}^{2}}+2x\dv=sin xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=(2x+2)dx\v=-cos xend{array} right.Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)cos x+int{cos x.(2x+2)dx}.

    Đặt left{ begin{array}{l}u=2x+2\dv=cos xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=2dx\v=sin xend{array} right.

     begin{array}{l}Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)cos x+(2x+2)sin x-int{sin x.2dx}\I=-({{x}^{2}}+2x)cos x+(2x+2)sin x+2cos x+Cend{array}

    Nhận xét: Nếu hàm đa thức bậc n thì phải thực hiện tích phân từng phần n lần.

Ví dụ 3: Tìm I=int{frac{xln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx

    A. I=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C.                                                 B. I=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)+C.    

    C. I=sqrt{{{x}^{2}}+1}.ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-x+C.        D. I=sqrt{{{x}^{2}}+1}+ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-x+C.

Lời giải:

I=int{ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right).frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}.

Đặt left{ begin{array}{l}u=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)\dv=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{1+frac{2x}{2sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx=frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}\v=sqrt{{{x}^{2}}+1}end{array} right..

Theo công thức tính nguyên hà, từng phần, ta có:

I=sqrt{{{x}^{2}}+1}.ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-int{dx}=sqrt{{{x}^{2}}+1}.ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-x+C

Chọn C.

Ví dụ 4: Kết quả của phép lấy nguyên hàm I=int{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx là

    A. I=frac{xsqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+frac{aln left| x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right|}{2}+C.                      B. I=frac{xsqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+C .

    C. I=frac{aln left| x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right|}{2}+C .                                     D. I=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right)+C.

Lời giải:

Đặt left{ begin{array}{l}u=sqrt{{{x}^{2}}+a}\dv=dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx\v=xend{array} right.

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

                    I=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-int{frac{{{x}^{2}}}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-int{frac{({{x}^{2}}+a)-a}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}

=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-int{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx+aint{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-I+a.J}    (1)

Tính J=int{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}}.

Đặt t=x+sqrt{{{x}^{2}}+a}Rightarrow dt=left( 1+frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+a}} right)dx=frac{sqrt{{{x}^{2}}+a}+x}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx=frac{t}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx .

        Rightarrow frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}=frac{dt}{t}.

Do đó J=int{frac{dt}{t}=ln |t|,=,ln left| x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right|}.        (2)

Từ (1) và (2) ta có: I=frac{xsqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+frac{aln left| x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right|}{2}+C.

Chọn A.

Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số f(x)=sin left( ln x right) là hàm số

    A. F(x)=frac{xcos (ln x)}{2}+C.                                    B. F(x)=frac{xsin x(ln x)}{2}+C.

    C. F(x)=frac{xcos (ln x)-xsin (ln x)}{2}+C.                      D. F(x)=frac{xsin (ln x)-xcos (ln x)}{2}+C.

Lời giải:

Tính F(x)=int{f(x)dx}=int{sin (ln x)dx}.

Đặt left{ begin{array}{l}u=sin (ln x)\dv=dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{1}{x}cos (ln x)dx\v=xend{array} right..

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

F(x)=xsin (ln x)-int{cos (ln x)dx}=xsin (ln x)-J     (1)

Xét J=int{cos (ln x)dx}.

Đặt left{ begin{array}{l}u=cos (ln x)\dv=dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=-frac{1}{x}sin (ln x)dx\v=xend{array} right.

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

J=xcos (ln x)+int{sin (ln x)dx}=xcos (ln x)+I         (2)

Từ (1) và (2) ta có:

I=xsin (ln x)-xcos (ln x)-ILeftrightarrow 2I=xsin (ln x)-xcos (ln x).

                            Leftrightarrow F(x)=frac{xsin (ln x)-xcos (ln x)}{2}+C.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Thâm mụn bao lâu thì hết? Cách trị thâm nhanh nhất 2022 | Mytranshop.com

Chọn D.

Leave a Comment