Phép quay, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

by

 

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa:

Cho điểm displaystyle O và góc lượng giác displaystyle alpha . Phép biến hình biến displaystyle O thành chính nó và biến mỗi điểm displaystyle M khác displaystyle Othành điểm displaystyle M' sao cho displaystyle OM'=OM và góc lượng giác displaystyle left( OM;OM' right)=alpha  được gọi là phép quay tâm displaystyle O, displaystyle alpha được gọi là góc quay.

Phép quay tâm displaystyle O góc quay displaystyle alpha  được kí hiệu là displaystyle {{Q}_{left( O;alpha right)}}.

Nhận xét: 

+ Khi displaystyle alpha =left( 2k+1 right)pi ,kin mathbb{Z} thì displaystyle {{Q}_{left( O;alpha right)}} là phép đối xứng tâm displaystyle O.

+ Khi displaystyle alpha =2kpi ,kin mathbb{Z}frac{n!}{r!left( n-r right)!} thì displaystyle {{Q}_{left( O;alpha right)}} là phép đồng nhất.

2. Biểu thức tọa độ của phép quay:

Trong mặt phẳng displaystyle Oxy, giả sử displaystyle Mleft( x;y right) và displaystyle M'left( x';y' right)={{Q}_{left( O,alpha right)}}left( M right)thì displaystyle left{ begin{array}{l}x'=xcos alpha -ysin alpha \y'=xsin alpha +ycos alpha end{array} right.

Trong mặt phẳng displaystyle Oxy, giả sử displaystyle Mleft( x;y right), displaystyle Ileft( a;b right) và displaystyle M'left( x';y' right)={{Q}_{left( I,alpha right)}}left( M right)thì displaystyle left{ begin{array}{l}x'=a+left( x-a right)cos alpha -left( y-b right)sin alpha \y'=b+left( x-a right)sin alpha +left( y-b right)cos alpha end{array} right.

3. Tính chất của phép quay:

+ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng

+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho

+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Lưu ý:

Giả sử phép quay tâm displaystyle I góc quay displaystyle alpha  biến đường thẳng displaystyle d thành đường thẳng displaystyle d', khi đó: 

– Nếu displaystyle 0<alpha le frac{pi }{2} thì góc giữa hai đường thẳng displaystyle d và displaystyle d' bằng displaystyle alpha

– Nếu displaystyle frac{pi }{2}<alpha <pi  thì góc giữa hai đường thẳng displaystyle d và displaystyle d' bằng displaystyle pi -alpha .

 

 

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa , biểu thức tọa độ và các tính chất của phép quay.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Cách trị mụn vùng kín tại nhà HIỆU QUẢ và ĐƠN GIẢN 2022 | Mytranshop.com

Giả sử M'(x';y') là ảnh của điểm M(x;y) qua phép quay {{Q}_{left( O,alpha right)}}. Khi đó: displaystyle left{ begin{array}{l}x'=xcos alpha -ysin alpha \y'=xsin alpha +ycos alpha end{array} right.

Ví dụ 1. Cho displaystyle Mleft( 3;4 right). Tìm ảnh của điểm displaystyle M qua phép quay tâm displaystyle O góc quay displaystyle {{30}^{0}}.

Lời giải:

Gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{Q}_{left( O;{{30}^{0}} right)}}.

Áp dụng biểu thức tọa độ:

displaystyle left{ begin{array}{l}x'=xcos alpha -ysin alpha \y'=xsin alpha +ycos alpha end{array} right. ta có displaystyle left{ begin{array}{l}x'=3cos {{30}^{0}}-4sin {{30}^{0}}=frac{3sqrt{3}}{2}-2\y'=3sin {{30}^{0}}+4cos {{30}^{0}}=frac{3}{2}+2sqrt{3}end{array} right.displaystyle Rightarrow M'left( frac{3sqrt{3}}{2}-2;frac{3}{2}+2sqrt{3} right).

Ví dụ 2. Cho displaystyle Ileft( 2;1 right) và đường thẳng displaystyle d:2x+3y+4=0. Tìm ảnh của displaystyle d qua displaystyle {{Q}_{left( I;{{45}^{0}} right)}}.

Lời giải:

Lấy hai điểm displaystyle Mleft( -2;0 right);Nleft( 1;-2 right) thuộc displaystyle d.

Gọi displaystyle M'left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),N'left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right) là ảnh của displaystyle M,N qua displaystyle {{Q}_{left( I;{{45}^{0}} right)}}

Ta có displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}=2+left( -2-2 right)cos {{45}^{0}}-left( 0-1 right)sin {{45}^{0}}\{{y}_{1}}=1+left( -2-2 right)sin {{45}^{0}}+left( 0-1 right)cos {{45}^{0}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}=2-frac{3sqrt{2}}{2}\{{y}_{1}}=1-frac{5sqrt{2}}{2}end{array} right.

displaystyle Rightarrow M'left( 2-frac{3sqrt{2}}{2};1-frac{5sqrt{2}}{2} right).

Tương tự displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}_{2}}=2+left( 1-2 right)cos {{45}^{0}}-left( -2-1 right)sin {{45}^{0}}\{{y}_{2}}=1+left( 1-2 right)sin {{45}^{0}}+left( -2-1 right)cos {{45}^{0}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{2}}=2+sqrt{2}\{{y}_{2}}=1-2sqrt{2}end{array} right.

displaystyle Rightarrow N'left( 2+sqrt{2};1-2sqrt{2} right).

Ta có displaystyle overrightarrow{M'N'}=left( frac{5sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2} right)=frac{sqrt{2}}{2}left( 5;1 right).

Gọi displaystyle d'={{Q}_{left( I;{{45}^{0}} right)}}left( d right) thì displaystyle d' có VTCP displaystyle overrightarrow{u}=overrightarrow{M'N'}=left( 5;1 right)Rightarrow VTPTtext{ }overrightarrow{n}=left( -1;5 right)

Phương trình:

displaystyle d':-left( x-2-sqrt{2} right)+5left( y-1+2sqrt{2} right)=0Leftrightarrow -x+5y-3+10sqrt{2}=0.

Ví dụ 2. Cho hình vuông displaystyle ABCD tâm displaystyle O, displaystyle M là trung điểm của displaystyle AB, displaystyle N là trung điểm của displaystyle OA. Tìm ảnh của tam giác displaystyle AMN qua phép quay tâm displaystyle O góc quay displaystyle {{90}^{0}}.

Lời giải:

Phép quay displaystyle {{Q}_{left( O;{{90}^{0}} right)}} biến displaystyle A thành displaystyle D, biến displaystyle M thành displaystyle M'là trung điểm của displaystyle AD, biến displaystyle N thành displaystyle N' là trung điểm của displaystyle OD. Do đó nó biến tam giác displaystyle AMN thành tam giác displaystyle DM'N'.

Bài toán 02: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay displaystyle {{Q}_{left( I;alpha right)}} nào đó.

Ví dụ 1. Cho điểm displaystyle A và hai đường thẳng displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}. Dựng tam giácdisplaystyle ABC vuông cân tại displaystyle A sao cho displaystyle Bin {{d}_{1}},Cin {{d}_{2}}.

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được tam giác displaystyle ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có thể giả sử displaystyle left( AB,AC right)={{90}^{0}}, khi đó displaystyle {{Q}_{left( A;-{{90}^{0}} right)}}left( C right)=B, mà displaystyle Cin {{d}_{2}} nên displaystyle Bin {{d}_{2}}' với displaystyle {{d}_{2}}'={{Q}_{left( A;-{{90}^{0}} right)}}left( {{d}_{2}} right).

Lại có displaystyle Bin {{d}_{1}} nên displaystyle B={{d}_{1}}cap {{d}_{2}}'.

Cách dựng:

Tam giác displaystyle ABC là tam giác cần dựng.

Chứng minh:

Từ cách dựng suy ra displaystyle {{Q}_{left( A;{{90}^{0}} right)}}left( B right)=C nên displaystyle AB=AC và displaystyle widehat{BAC}={{90}^{0}} do đó tam giác displaystyle ABC vuông cân tại displaystyle A.

Biện luân:

Ví dụ 2. Cho tam giác displaystyle ABC có displaystyle left( AB,AC right)=alpha left( {{0}^{0}}<alpha <{{90}^{0}} right) và một điểm displaystyle M nằm trên cạnh displaystyle AB. Dựng trên các đường thẳng displaystyle CB,CA các điểm displaystyle N,P sao cho displaystyle MN=MP và đường tròn displaystyle left( AMP right) tiếp xúc với displaystyle MN.

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được các điểm displaystyle N,P sao cho displaystyle Nin BC,Pin AC sao cho displaystyle MN=MP và đường tròn displaystyle left( AMP right) tiếp xúc với displaystyle MN. Khi đó do displaystyle MN tiếp xúc với đường tròn displaystyle left( AMP right) nên displaystyle widehat{PMN}=widehat{A}=alpha . Từ đó ta có displaystyle left( MP;MN right)=-alpha  lại có displaystyle MP=MN nên displaystyle {{Q}_{left( M,-alpha right)}}left( P right)=N.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Hướng dẫn cách hít thở khi hít xà đơn từ chuyên gia 2022 | Mytranshop.com

Giả sử displaystyle O={{Q}_{left( M,-alpha right)}}left( A right) và displaystyle I=ONcap AC.

Theo tính chất phép quay ta có displaystyle widehat{NIC}=widehat{left( ON,AP right)}=alpha Rightarrow widehat{NIC}=widehat{BAC}displaystyle Rightarrow INparallel AB.

Cách dựng :

Như vây các điểm displaystyle N,P là các điểm cần dựng.

Chứng minh:

Vì displaystyle ONparallel AB nên displaystyle widehat{AMO}=widehat{MON}=alpha displaystyle Rightarrow widehat{PMN}=widehat{MAP}=alpha  suy ra đường tròn displaystyle left( AMN right) tiếp xức với displaystyle MN. Ta có displaystyle {{Q}_{left( M;-alpha right)}}:MPto MN nên displaystyle MP=MN.

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình duy nhất.

 

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay displaystyle {{Q}_{left( I;alpha right)}} nào đó.

Để tìm tập hợp điểm displaystyle M' ta đi tìm tập hợp điểm displaystyle M mà displaystyle {{Q}_{left( I;alpha right)}} nào đó biến điểm displaystyle M thành điểm displaystyle M', khi đó nếu displaystyle Min left( H right) thì displaystyle M'in left( H' right)={{Q}_{left( I;alpha right)}}left( left( H right) right).

Ví dụ 1. Cho đường thẳng displaystyle d và một điểm displaystyle G không nằm trên displaystyle d. Với mỗi điểm displaystyle A nằm trên displaystyle d ta dựng tam giác đều displaystyle ABC có tâm displaystyle G. Tìm quỹ tích các điểm displaystyle B,C khi displaystyle A di động trên displaystyle d.

Lời giải:

Do tam giác displaystyle ABC đều và có tâm displaystyle G nên phép quay tâm displaystyle G góc quay displaystyle {{120}^{0}} biến displaystyle A thành displaystyle B hoặc displaystyle Cvà phép quay tâm displaystyle G góc quay displaystyle {{240}^{0}} biến displaystyle A thành displaystyle B hoặc displaystyle C.Mà displaystyle Ain d nên displaystyle B,C thuộc các đường thẳng là ảnh của displaystyle d trong hai phép quay nói trên.

Vậy quỹ tích các điểm displaystyle B,C là các đường thẳng ảnh của displaystyle d trong hai phép quay tâm displaystyle G góc quay displaystyle {{120}^{0}} và displaystyle {{240}^{0}}.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều displaystyle ABC. Tìm tập hợp điểm displaystyle M mằn trong tam giác displaystyle ABC sao cho displaystyle M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}.

Lời giải:

Xét phép quay displaystyle {{Q}_{left( B;-{{60}^{0}} right)}}thì displaystyle A biến thành displaystyle C, giả sử điểm displaystyle M biến thành displaystyle M', khi đó displaystyle MA=M'C,MB=MM' nên displaystyle M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}Leftrightarrow M'{{C}^{2}}+MM{{'}^{2}}=M{{C}^{2}}do đó tam giác displaystyle M'MCvuông tại displaystyle M'suy ra displaystyle widehat{BM'C}={{150}^{0}}.

Lại có displaystyle AM=CM', displaystyle BM=BM' và displaystyle AB=BCdisplaystyle Rightarrow
displaystyle Delta AMB=Delta CM'Btext{ }left( c-c-c right)

displaystyle Rightarrow widehat{AMB}=widehat{CM'B}={{150}^{0}}. Vậy displaystyle M thuộc cung chứa góc displaystyle {{150}^{0}} với dây cung displaystyle AB nằm trong tam giác displaystyle ABC.

Đảo lại lấy điểm displaystyle M thuộc cung displaystyle oversetfrown{AB}={{150}^{0}} trong tam giác displaystyle ABC, gọi displaystyle M'={{Q}_{left( B;-{{60}^{0}} right)}}left( M right).

Do displaystyle {{Q}_{left( B;-{{60}^{0}} right)}}:oversetfrown{AMB}to oversetfrown{CM'B} nên displaystyle oversetfrown{CM'B}={{150}^{0}}. Mặt khác tam giác displaystyle BMM' đều nên displaystyle widehat{BM'M}={{60}^{0}}Rightarrow widehat{CM'M}={{150}^{0}}-{{60}^{0}}={{90}^{0}} vì vậy displaystyle Delta M'MC vuông tại displaystyle M'Rightarrow M'{{B}^{2}}+M'{{C}^{2}}=M{{C}^{2}} , mà displaystyle MA=M'C,MB=MM'displaystyle Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Thực tiễn và vai trò của thực tiễn đối với nhận thức 2022 | Mytranshop.com

Vậy tập hợp điểm displaystyle M thỏa yêu cầu bài toán là cung displaystyle oversetfrown{AB}={{150}^{0}} trong tam giác displaystyle ABC nhận displaystyle AB làm dây cung.

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI TOÁN.

Ví dụ 1. Cho tam giác displaystyle ABC. Vẽ các tam giác đều displaystyle ABB' và displaystyle ACC' nằm phía ngoài tam giác displaystyle ABC. Gọi displaystyle I,J lần lượt là trung điểm của displaystyle CB' và displaystyle BC'. Chứng minh các điểm displaystyle A,I,J hoặc trùng nhau hoặc tạo thành một tam giác đều.

Lời giải:

Giả sử góc lượng giác displaystyle left( AB,AC right)>0( hình vẽ).

Khi đó , xét phép quay displaystyle {{Q}_{left( A;{{60}^{0}} right)}} .Ta có displaystyle {{Q}_{left( A;{{60}^{0}} right)}}:B'mapsto B,Cmapsto C'
displaystyle {{Q}_{left( A;{{60}^{0}} right)}}:B'Cmapsto BC' mà displaystyle I,J lần lượt là trung điểm của displaystyle B'C và displaystyle BC' nên displaystyle {{Q}_{left( A;{{60}^{0}} right)}}left( I right)=J.

Vậy nếu displaystyle I,J không trùng displaystyle A thì displaystyle Delta AIJ đều.

Khi displaystyle widehat{BAC}={{120}^{0}} thì displaystyle Iequiv Jequiv A.

 Ví dụ 2. Cho hai đường trong bằng nhau displaystyle left( O;R right) và displaystyle left( O';R right) cắt nhau tại hai điểm displaystyle A,B sao cho displaystyle widehat{OAO'}={{120}^{0}}. Đường thẳng displaystyle d đi qua displaystyle B cắt hai đường tròn displaystyle left( O right) và displaystyle left( O' right) theo thứ tự tại displaystyle M,M' sao cho displaystyle Mnằm ngoài displaystyle left( O' right) còn displaystyle M' nằm ngoài displaystyle left( O right). Gọi displaystyle S là giao điểm của các tiếp tuyến với hai đường tròn tại displaystyle M vàdisplaystyle M'. Xác định vị trí của displaystyle M,M' sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác displaystyle SMM' lớn nhất.

Lời giải:

Giả sử góc lượng giác displaystyle left( AO',AO right)={{120}^{0}} ( như hình vẽ)

Xét phép quay displaystyle {{Q}_{left( A;-{{120}^{0}} right)}}. Gọi displaystyle B'={{Q}_{left( A;-{{120}^{0}} right)}}left( B right) thì

displaystyle widehat{BAB'}={{120}^{0}}. Dễ thấy displaystyle widehat{OAB}={{60}^{0}} suy ra displaystyle widehat{OAB}+widehat{BAB'}={{180}^{0}} nên displaystyle O,A,B' thẳng hàng.

Ta có displaystyle widehat{MBA}+widehat{ABM'}={{180}^{0}},displaystyle widehat{ABM'}+widehat{AB'M'}={{180}^{0}}displaystyle Rightarrow widehat{MBA}=widehat{AB'M'}text{ }.

Mà displaystyle left( O;R right) và displaystyle left( O';R' right) bằng nhau nên displaystyle AM=AM'text{ }left( 1 right); từ đó ta có displaystyle Delta OAM=Delta O'AM'displaystyle Rightarrow widehat{OAM}=widehat{O'AM'}

displaystyle Rightarrow widehat{O'AM}+widehat{O'AM}=widehat{OAM}+widehat{O'AM}={{120}^{0}}

hay displaystyle widehat{MAM'}={{120}^{0}}text{ }left( 2 right). Từ displaystyle left( 1 right);left( 2 right) suy ra displaystyle {{Q}_{left( A;-{{120}^{0}} right)}}left( M right)=M'. Do đó trong phép quay này tiếp tuyến displaystyle MS biến thành tiếp tuyến displaystyle M'S nên góc tù giữa hai đường thẳng displaystyle MS và displaystyle M'S bằng displaystyle {{120}^{0}} do đó displaystyle widehat{MSM'}={{60}^{0}}. Áp dụng định lí sin cho tam giác displaystyle SMM' ta có displaystyle R=frac{MM'}{2sin {{60}^{0}}}=frac{MM'}{sqrt{3}}Rightarrow R lớn nhất khi displaystyle MM' lớn nhất.Gọi displaystyle H,K lần lượt là hình chiếu của displaystyle O,O' trên displaystyle MM' thì ta có displaystyle MM'=2HKle 2OO'. Đẳng thức xảy ra khi displaystyle MM'parallel OO'.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác displaystyle SMM' lớn nhất khi displaystyle M,M' là các giao điểm thứ hai của đường thẳng displaystyle d đi qua displaystyle B và song song với displaystyle OO' với hai đường tròn.

Leave a Comment