Phương pháp đổi biến số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. Lý thuyết cơ bản:

Nếu int{f(u)du}=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì: 

int{f(u(x)).u'(x)dx}=F(u(x))+C.

B. Bài tập:

Tính tích phân I=int{f(x)dx}

Dạng 1. Đổi biến số loại 1

Ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn phụ t=u(x).

+ Bước 2: Tính vi phân dt=u'(x)dx.

+ Bước 3: Biểu thị f(x) và dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx=g(t)dt.

+ Bước 4: Tính I=int{g(t)dt}.

– Nếu hàm số f(x) có chứa sqrt[n]{g(x)} thì đặt t=sqrt[n]{g(x)}Leftrightarrow {{t}^{n}}=g(x)Rightarrow n.{{t}^{n-1}}dt=g'(x)dx

– Nếu hàm số f(x) có chứa {{(ax+b)}^{n}} thì đặt t=ax+bRightarrow left{ begin{array}{l}dt=adx\x=frac{t-b}{a}end{array} right.

– Hàm lượng giác:

          Nếu gặp int{f(sin }x).cos xdx thì đặt t=sin x.

          Nếu gặp int{f(cos x).sin }xdx thì đặt t=cos x.

          Nếu gặp int{f(tan x)frac{dx}{{{cos }^{2}}x}} thì đặt t=tan x.

          Nếu gặp int{f(cot x)frac{dx}{{{sin }^{2}}x}} thì đặt t=cot x.

– Biểu thức có chứa logarit:

      Thường gặp biểu thức có chứa frac{1}{x} và ln x. Khi đó đặt t=ln x hoặc t= biểu thức có chứaln x.

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

    a) I=int{frac{ln xdx}{xsqrt{1+ln x}}}.    

    b) I=int{frac{dx}{sqrt{{{e}^{x}}-1}}}.     

    c) I=int{x{{(3x+1)}^{19}}dx}.

Lời giải:

    a) Đặt t=sqrt{1+ln x}Leftrightarrow {{t}^{2}}=1+ln xRightarrow ln x={{t}^{2}}-1Leftrightarrow frac{dx}{x}=2tdt.

     Rightarrow I=int{frac{({{t}^{2}}-1).2tdt}{t}}=2int{({{t}^{2}}-1)dt}=2left( frac{{{t}^{3}}}{3}-t right)+C=2left( frac{sqrt{{{(1+ln x)}^{3}}}}{3}-sqrt{1+ln x} right)+C .

    b) I=int{frac{dx}{sqrt{{{e}^{x}}-1}}}

    Đặt t=sqrt{{{e}^{x}}-1}Leftrightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}-1Leftrightarrow {{e}^{x}}={{t}^{2}}-1Rightarrow {{e}^{x}}dx=2tdt.

             begin{array}{l}Rightarrow I=int{frac{2tdt}{t({{t}^{2}}-1)}=int{frac{2dt}{{{t}^{2}}-1}=int{frac{2dt}{(t-1)(t+1)}=int{frac{dt}{t-1}-int{frac{dt}{t+1}}}}}}\=ln |t-1|-ln |t+1|+C=ln left| frac{t-1}{t+1} right|+C=ln left| frac{sqrt{{{e}^{x}}-1}-1}{sqrt{{{e}^{x}}-1}+1} right|+Cend{array}

    c) I=int{x{{(3x+1)}^{19}}dx}

    Đặt t=3x+1Rightarrow x=frac{t-1}{3}Rightarrow dx=frac{dt}{3}.

    Rightarrow I=int{frac{t-1}{3}.{{t}^{19}}.3.dt}=int{({{t}^{20}}-{{t}^{19}})dt}=frac{{{t}^{21}}}{21}-frac{{{t}^{20}}}{20}+C=frac{{{(3x+1)}^{21}}}{21}-frac{{{(3x+1)}^{20}}}{20}+C.

Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3)  Cho f(x)=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}(2sqrt{{{x}^{2}}+1}+5), biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn F(0)=6. Tính Fleft( frac{3}{4} right).

    A. frac{125}{16}.                        B. frac{126}{16}.                        C. frac{123}{16}.                            D. frac{127}{16}.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Cửa Hàng Bán Ghế Massage Bảo Lộc Lâm Đồng 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Đặt t=sqrt{{{x}^{2}}+1}Rightarrow tdt=xdx.

int{f(x)dx}=int{frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}(2sqrt{{{x}^{2}}+1}+5)dx}=int{(2t+5)dt}={{t}^{2}}+5t+C=({{x}^{2}}+1)+5sqrt{{{x}^{2}}+1}+C

F(0)=6Rightarrow C=0.

Vậy Fleft( frac{3}{4} right)=frac{125}{16}.     

Dạng 2. Đổi biến số loại 2

A. Phương pháp

Ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn phụ x=u(t).

+ Bước 2: Tính vi phân dx=u'(t)dt.

+ Bước 3: Biểu thị f(x) và dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx=g(t)dt.

+ Bước 4: Tính I=int{g(t)dt}.

– Nếu hàm số f(x) có chứa sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} thì đặt:

x=asin tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(asin t)=acos t.dt\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{sin }^{2}}t}=acos tend{array} right.

– Nếu hàm f(x) có chứa sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} thì đặt:

displaystyle x=atan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(atan t)=frac{adt}{{{cos }^{2}}t}=a(1+{{tan }^{2}}t)dt\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{tan }^{2}}t}=frac{|a|}{cos t}end{array} right.

– Nếu hàm f(x) có chứa sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} thì đặt:

x=frac{a}{sin t}Rightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(frac{a}{sin t})=-frac{acos t.dt}{{{sin }^{2}}t}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=sqrt{frac{{{a}^{2}}}{{{sin }^{2}}t}-{{a}^{2}}}=frac{|a|}{cot t}end{array} right.

– Nếu hàm f(x) có chứa {{(1+{{x}^{2}})}^{k}} thì đặt:

x=tan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(tan t)=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}\{{(1+{{x}^{2}})}^{k}}={{(1+{{tan }^{2}}x)}^{k}}=frac{1}{{{cos }^{2k}}t}end{array} right.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

    a) I=int{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}.                       b) I=int{{{x}^{2}}sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}.

    c) I=int{frac{dx}{{{x}^{2}}+1}}.                                  d) I=int{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}.

Lời giải:

    a) I=int{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}.

    Đặt x=sin t,tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]Rightarrow dx=d(sin t)=cos tdt.

             Rightarrow I=int{sqrt{1-{{sin }^{2}}t}}cos tdt=int{cos t.cos tdt}=int{frac{1+cos 2t}{2}}dt

                     =frac{1}{2}int{dt}+frac{1}{2}int{cos 2tdt}=frac{t}{2}+frac{1}{4}sin 2t+C.

    Từ x=sin tRightarrow left{ begin{array}{l}cos t=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=sqrt{1-{{x}^{2}}}\t=arcsin xend{array} right.Rightarrow sin 2t=2sin t.cos t=2xsqrt{1-{{x}^{2}}}.

         Rightarrow I=frac{arcsin x}{2}+frac{1}{2}xsqrt{1-{{x}^{2}}}+C.

    b) I=int{{{x}^{2}}sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}

    Đặt x=3sin t,tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]Rightarrow dx=d(3sin t)=3cos tdt.

    Rightarrow I=int{9{{sin }^{2}}t.3cos t.3cos tdt}=frac{81}{4}int{{{sin }^{2}}2tdt}=frac{81}{4}int{frac{1-cos 4t}{2}}dt

    =frac{81}{4}left[ frac{1}{2}int{dt}-frac{1}{2}int{cos 4tdt} right]=frac{81}{4}left( frac{t}{2}-frac{1}{8}sin 4t right)+C với t=arcsin frac{x}{3}.

    c) I=int{frac{dx}{{{x}^{2}}+1}}

    Đặt displaystyle x=tan t,tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right)Rightarrow dx=d(tan t)=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}=(1+{{tan }^{2}}t)dt.

                    Rightarrow int{frac{(1+{{tan }^{2}}t)dt}{1+{{tan }^{2}}t}=int{dt}=t+C=arctan x+C}.

    d) I=int{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}=int{sqrt{{{(x+1)}^{2}}+4}d(x+1)}

    Đặt x+1=2tan t,,tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right)Rightarrow dt=d(2tan t)=frac{2dt}{{{cos }^{2}}t}.

             Rightarrow I=int{frac{2dt}{frac{2}{cos t}.{{cos }^{2}}t}=int{frac{dt}{cos t}}}=int{frac{cos t}{{{cos }^{2}}t}dt}=int{frac{d(sin t)}{1-{{sin }^{2}}t}}

                     =frac{1}{2}int{frac{(1+sin t)+(1-sin t)}{(1+sin t)(1-sin t)}d(sin t)} =frac{1}{2}int{frac{d(sin t)}{1-sin t}+frac{1}{2}int{frac{d(sin t)}{1+sin t}=frac{1}{2}ln left| frac{1+sin t}{1-sin t} right|+C}}

Leave a Comment