Phương trình của mặt cầu, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. Lý thuyết cơ bản

1. Phương trình mặt cầu

Dạng tổng quát: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình:

{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{R}^{2}}.  

Dạng khai triển:

(S):,,,,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 (*).

(*) là phương trình của một mặt cầu Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.

Khi đó (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}.

2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu (S)

Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R và mặt phẳng (P).

+ dleft( I,(P) right)>R: mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không cắt nhau.

+ dleft( I,(P) right)=RRightarrow (P)cap (S)=text{ }!!{!!text{ }Mtext{ }!!}!!text{ }: mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). (P) được gọi tiếp diện của mặt cầu (S). Khi đó overrightarrow{IM} là một VTPT của (P).

+ dleft( I,(P) right)<R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có tâm và bán kính được xác định như sau:

        – Tâm H: là hình chiếu của I trên (P).

        – Bán kính r=sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}.

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng Delta  và mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R.

+ dleft( I,(Delta ) right)>R: đường thẳng Delta  và mặt cầu (S) không cắt nhau.

+ dleft( I,(Delta ) right)=RRightarrow Delta cap (S)=text{ }!!{!!text{ H }!!}!!text{ }: đường thẳng Delta  tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H. Khi đó Delta  được gọi là tiếp tuyến của (S).

+ dleft( I,(Delta ) right)<R: đường thẳng Delta  cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A,B phân biệt (Delta  được gọi là cát tuyến của (S)).

B. Bài tập

Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu. Tìm điều kiện để phương trình dạng khai triển là phương trình của một đường tròn

A. Phương pháp

+ (S):{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{R}^{2}} tâm I(a;b;c) và bán kính R.

+ (S):,,,,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 (*) là phương trình của một mặt cầu

Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.

    Khi đó (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho mặt cầu (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-6)}^{2}}=25. Tìm tâm I, bán kính R của mặt cầu (S).

    A. I(1;2;6);,R=5.                           B. I(-1;-2;-6);,R=5.

    C. I(1;2;6);,R=25.                         D. I(1;2;6);,R=pm 5.

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Cho mặt cầu (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z=19. Tìm tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu (S).

    A. I(1;-2;1);,R=sqrt{19}.                   B. I(-1;2;-1);,R=sqrt{19}.

    C. I(1;-2;1);,R=5.                        D. I(-1;2;-1);,R=5.

Lời giải:

(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z-19=0.

(S) có tâm I(1;-2;1) và bán kính R=sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}-(-19)}=5.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2(m-1)x+2(2m-3)y+2(2m+1)z+11-m=0 là phương trình của một mặt cầu.

    A. m<0 hoặc m>1.                       B. 0<m<1.

    C. m<-1 hoặc m>2.                    D. -1<m<2.

Lời giải:

Ta có a=m-1,,b=-(2m-3),,c=-(2m+1),,d=11-m.

Đề phương trình trên là phương trình mặt cầu thì {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0

Leftrightarrow {{(m-1)}^{2}}+{{(3-2m)}^{2}}+{{(2m+1)}^{2}}-11+m>0Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9m>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>1\m<0end{array} right.

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R

A. Phương pháp

Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{R}^{2}}.    

Do đó, muốn viết được phương trình của mặt cầu thì cần phải xác định được tâm I(a;b;c) và bán kính R.

Chú ý:

– Mặt cầu (S) có đường kính ABRightarrow R=frac{AB}{2} và tâm I là trung điểm của AB.

– Mặt cầu tâm I đi qua điểm ARightarrow R=IA.

– Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Cột điện bê tông ly tâm | Cốp Pha Việt 2022 | Mytranshop.com

   + Giả sử (S):,,,,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0.

   + Vì A,B,C,Din (S) nên ta có hệ gồm 4 phương trình, 4 ẩn. Giải hệ này tìm được tâm và bán kính của (S).

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) đi qua A(1;0;4).

    A. {{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=53.

    B. {{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=53.

    C. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=53.

    D. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=53.

Lời giải:

Mặt cầu có bán kính R=IA=sqrt{{{(1-1)}^{2}}+{{(0-2)}^{2}}+{{(4+3)}^{2}}}=sqrt{53}.

Vậy phương trình mặt cầu là {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=53.

Vậy chọn đáp án D.

Ví dụ 2.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;0),,B(0;3;-4). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu đường kính AB?

    A. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.    B. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=3.

    C. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.    D. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=3.

Lời giải:

Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB suy ra I là trung điểm của AB nên

displaystyle Ileft( frac{2+0}{2};frac{-1+3}{2};frac{0-4}{2} right)Rightarrow I(1;1;-2).

Mà overrightarrow{AB}=(-2;4;-4)Rightarrow AB=6Rightarrow R=3.

Vậy (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.3 (Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;3;-1),B(-2;1;1),C(4;1;7). Tính bán kính R của mặt cầu đi qua bốn điểm O,A,B,C.

    A. R=frac{sqrt{83}}{2}.                    B. R=frac{sqrt{77}}{2}.                   C. R=frac{sqrt{115}}{2}.                   D. R=frac{9}{2}.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu có dạng {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 với {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

left{ begin{array}{l}2a+6b-2c-d=11\-4a+2b+2c-d=6\8a+2b+14c-d=66\d=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=frac{3}{2}\b=frac{5}{2}\c=frac{7}{2}\d=0end{array} right.Rightarrow R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=frac{sqrt{83}}{2}.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1;1;1),B(1;2;1),C(1;1;2) và A'(2;2;1). Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,A'?

    A. {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-3y+3z+6=0.           B. {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+3x-3y-3z+6=0.

    C. {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-3y-3z+6=0.           D. {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-3y-3z-6=0.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu có dạng {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 với {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình left{ begin{array}{l}2a+2b+2c+d=-3\2a+4b+2c+d=-6\2a+2b+4c+d=-6\4a+4b+2c+d=-9end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=b=c=-frac{3}{2}\d=6end{array} right..

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-3y-3z+6=0.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;-1) và mặt phẳng (P):x+y-z-3=0. Mặt cầu (S) có tâm I nằm trên mặt phẳng (P), đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng 6+sqrt{2}. Phương trình mặt cầu (S) là

    A. {{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9 hoặc {{(x+2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9.

    B. {{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9 hoặc {{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.

    C. {{(x-2)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9 hoặc {{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=9.

    D. {{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9 hoặc {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.

Lời giải:

Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S).

Khi đó Iin (P),IO=IA,,IO+IA+OA=6+sqrt{2} nên ta suy ra hệ

left{ begin{array}{l}sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}}=sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\2sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+sqrt{2}=6+sqrt{2}\x+y-z-3=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-x+z+1=0\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\x+y-z-3=0end{array} right..

Giải hệ ta tìm được I(2;2;1) hoặc I(-1;2;-2).

Chọn đáp án D.

Dạng 3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Ví dụ 3.1: Cho mặt phẳng (P):4x-2y+3z+1=0 và mặt cầu

(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+6z=0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?

    A. (P) cắt (S) theo một đường tròn.                           B. (P) tiếp xúc với (S).

    C. (P) có điểm chung với (S).                                    D. (P) đi qua tâm của (S).

Lời giải:

Mặt cầu (S) tâm I(1;-2;-3) và có bán kính R=sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}=sqrt{14}.

dleft( I,(P) right)=frac{|4.1-2.(-2)+3.(-3)+1|}{sqrt{{{4}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=0.

Vậy (P) tiếp xúc với (S).

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3.2: Cho mặt cầu (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+10=0 và mặt phẳng

(P):x-2y-2z+m=0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để (S) và (P) tiếp xúc với nhau.

    A. m=7;,m=-5.                      B. m=-7;,m=5.

    C. m=2;,m=6.                         D. m=-2;,m=-6.

Lời giải:

(S) có tâm I(1;-2;3) và bán kính R=2.

Để (S) và (P) tiếp xúc với nhau thì dleft( I,(P) right)=RLeftrightarrow frac{|1-2.(-2)-2.3+m|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=2Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=7\m=-5end{array} right..

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.3: Cho mặt cầu (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-2y+2z+5=0 và mặt phẳng

(P):3x-2y+6z+m=0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để (S) và (P) có điểm chung.

    A. min (-infty ;-5)cup (9;+infty ).                        B. min text{ }!![!!text{ }-5;9].

    C. min text{ }!![!!text{ }2;3].                                                   D. min (-infty ;2)cup (3;+infty ).

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(2;1;-1) và bán kính R=1.

Để (S) và (P) cắt nhau thì:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Tư vấn mua vợt cầu lông cho người mới bắt đầu 2022 | Mytranshop.com

dleft( I,(P) right)le RLeftrightarrow frac{|3.2-2.1+6.(-1)+m|}{sqrt{{{3}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{6}^{2}}}}le 1Leftrightarrow ,|m-2|le 7Leftrightarrow -5le mle 9.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;3;-2) và mặt phẳng (P):x-2y-2z-9=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

    A. {{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.        B. {{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.

    C. {{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.        D. {{(x+2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.

Lời giải:

Bán kính mặt cầu là R=dleft( I,(P) right)=frac{|2-2.3-2.(-2)-9|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3.

Phương trình của mặt cầu là {{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9. Chọn đáp án B.

Ví dụ 3.5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;3;-2) và mặt phẳng (P):x-2y-2z-9=0. Phương trình mặt cầu (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

    A. x-2y-2z+9=0.                 B. x-2y+2z+9=0.

    C. x+2y-2z+9=0.                 D. x-2y-2z-9=0.

Lời giải:

Vì (Q)//(P)Rightarrow (Q) có dạng x-2y-2z+D=0,,(Dne -9).

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) nên

dleft( I,(Q) right)=RLeftrightarrow frac{|2-2.3-2(-2)+D|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3Leftrightarrow |D|,=9Rightarrow D=9 (vì Dne -9).

Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là x-2y-2z+9=0.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):6x+3y-2z-1=0 và mặt cầu (S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=25. Tìm tọa độ tâm của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).

    A. Hleft( frac{3}{7};frac{5}{7};frac{1}{7} right).                B. Hleft( frac{3}{7};frac{5}{7};frac{8}{7} right).                  C. Hleft( frac{3}{7};frac{5}{7};frac{3}{7} right).               D. Hleft( frac{3}{7};frac{5}{7};frac{13}{7} right).

Lời giải:

Tâm của đường tròn giao tuyến H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) có phương trình left{ begin{array}{l}x=3+6t\y=2+3t\z=1-2tend{array} right..

Do Hin dRightarrow H(3+6t;2+3t;1-2t).

Ta có Hin (P)Rightarrow t=-frac{3}{7}.

Vậy Hleft( frac{3}{7};frac{5}{7};frac{13}{7} right). Chọn đáp án D.

Ví dụ 3.7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1;-2;-3) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

    A. x-z+1=0.         B. y-z+1=0.         C. x-y+1=0.         D. x-y-z+1=0.

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R=3.

Ta có overrightarrow{IM}=(0;-1;1)Rightarrow IM=sqrt{2}<R.

Do đó, mặt phẳng (P) qua M luôn cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn.

Gọi r là bán kính của đường tròn và H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

Vì Delta IHM vuông tại HRightarrow IHle IM=sqrt{2}.

Đẳng thức xảy ra Leftrightarrow Mequiv H.

Khi đó IMbot (P)Rightarrow overrightarrow{IM}=(0;-1;1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Rightarrow (P):,y-z+1=0.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3.8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-11=0 và mặt phẳng (P):,2x+2y-z+17=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6pi .

    A. 2x+2y-z-7=0.                     B. 2x+2y-z+17=0.

    C. 2x+2y-z-17=0.                   D. Cả A và B.

Lời giải:

Do (P)//(Q) nên (Q) có phương trình 2x+2y-z+D=0,,,(Dne 17).

(S) có tâm I(1;-2;3), bán kính R=5. Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 6pi  nên có bán kính r=3.

Khoảng cách từ I đến (Q) là h=sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4.

Do đó frac{|2.1+2(-2)-3+D|}{sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=4Leftrightarrow |-5+D|,=12Leftrightarrow left[ begin{array}{l}D=-7\D=17,,(L)end{array} right..

Vậy (Q) có phương trình 2x+2y-z-7=0.

Ví dụ 3.9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết (omega ) là tập hợp tâm của các mặt cầu (S) đi qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (alpha ):x+y+z-6=0 và (beta ):x+y+z+6=0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (omega ) là

    A. 3sqrt{5}.                        B. 9pi .                         C. 3.                         D. 45pi .

Lời giải:

Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S). Theo đề bài ta có IA=dleft( I,(alpha ) right)=dleft( I,(beta ) right).

dleft( I,(alpha ) right)=dleft( I,(beta ) right)Leftrightarrow |x+y+z+6|,=,|x+y+z-6|,Leftrightarrow (P):,x+y+z=0.

(alpha ),//,(beta )Rightarrow IA=frac{dleft( (alpha ),(beta ) right)}{2}=2sqrt{3}Rightarrow ({{S}_{1}}):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=12.

Vậy tập hợp tâm I của mặt cầu (S) là giao tuyến của mặt cầu ({{S}_{1}}) và mặt phẳng (P) hay chính là đường tròn có bán kính R=sqrt{R_{({{S}_{1}})}^{2}-{{d}^{2}}left( A,(P) right)}=sqrt{{{(2sqrt{3})}^{2}}-{{(sqrt{3})}^{2}}}=3.

Vậy diện tích của hình phẳng cần tìm là S=pi {{R}^{2}}=9pi .

Ví dụ 3.10 (Đề minh họa lần 2 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm A(0;0;1),,B(m;0;0),,C(0;n;0) và D(1;1;1) với m>0,n>0 và m+n=1. Biết rằng khi m,n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D. Tính bán kính Rcủa mặt cầu đó?

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Hướng dẫn giải nhanh Toán Min - Max 2022 | Mytranshop.com

    A. R=1.                    B. R=frac{sqrt{2}}{2}.                    C. R=frac{3}{2}.                      D. R=frac{sqrt{3}}{2}.

Lời giải:

Gọi I(a;b;c) và R là bán tâm và bán kính của mặt cầu cố định trong đề bài.

Ta có ID=sqrt{{{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}+{{(c-1)}^{2}}}=R,,,,(*)

Phương trình (ABC) là frac{x}{m}+frac{y}{n}+z=1.

Rightarrow dleft( I,(ABC) right)=frac{left| frac{a}{m}+frac{b}{n}+c-1 right|}{sqrt{frac{1}{{{m}^{2}}}+frac{1}{{{n}^{2}}}+1}}.

Vì m+n=1 nên frac{1}{{{m}^{2}}}+frac{1}{{{n}^{2}}}+1={{left( frac{1}{m}+frac{1}{n} right)}^{2}}-frac{2}{mn}+1=frac{1}{{{m}^{2}}{{n}^{2}}}-frac{2}{mn}+1={{left( 1-frac{1}{mn} right)}^{2}}.

Do đó dleft( I,(ABC) right)=frac{|an+bm+cmn-mn|}{1-mn}=R.

Ta xét hai trường hợp:

TH1: Nếu an+bm+cmn-mn=R(1-mn) thì thay n=1-m vào, ta có

a(1-m)+bm+cm(1-m)-m(1-m)=R-Rm(1-m)

Leftrightarrow {{m}^{2}}(R+c-1)+m(a-b-c-R+1)-a+R=0

Đăng thức này đúng với mọi min (0;1) nên R+c-1=1-b-c-R+1=-a+R=0 hay a=b=R,,,c=1-R thay vào (*) thì sqrt{2{{(R-1)}^{2}}+{{R}^{2}}}=R hay R=1.

TH2: Nếu an+bm+cmn-mn=-R(1-mn) thì tương tự trên, ta có

-R+c-1=a-b-c+R+1=-a-R=0 hay a=b=-R,,c=R+1.

Suy ra sqrt{2{{(R+1)}^{2}}+{{R}^{2}}}=R hay R=-1 (không thỏa mãn).

Vậy mặt cầu cần tìm là {{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=1.

Nhận xét: 
Với cách giải trên, ta thấy rằng nếu không cho điểm D, ta vẫn có thể tìm được liên hệ giữa tọa độ tam và bán kính của mặt cầu cố định cần tìm. Việc đưa thêm điểm D vào giúp ta có thể giải phương trình tìm R.

Dạng 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Ví dụ 4.1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: frac{x}{2}=frac{y+3}{6}=frac{z+5}{5} và mặt cầu (S): {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    A. d và (S) cắt nhau tại hai điểm.

    B. d tiếp xúc với (S).

    C. d và (S) không có điểm chung.

    D. Tất cả các đáp án trên đều sai.

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương overrightarrow{u}(2;6;5) và đi qua điểm M(0;-3;-5).

Chuyển d về dạng tham số left{ begin{array}{l}x=2t\y=6t-3\z=5t-5end{array} right..

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;2) và bán kính R=3.

Xét phương trình {{(2t-1)}^{2}}+{{(6t-3)}^{2}}+{{(5t-7)}^{2}}=9Leftrightarrow 13{{t}^{2}}-22t+10=0 (vô nghiệm)

Vậy d và (S) không có điểm chung.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(4;2;-1) và tiếp xúc với đường thẳng d:left{ begin{array}{l}x=2+2t\y=-1+t\z=1+2tend{array} right..

    A. {{(x+4)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=16.         B. {{(x-4)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=16.

    C. {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8x-4y+2z+5=0.      D. {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8x+4y+2z+5=0.

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(4;2;-1) và bán kính R.

Đường thẳng d đi qua A(2;-1;1) và có TVCP,,,overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;2).

(S) tiếp xúc với đường thẳng dRightarrow R=dleft( I,d right)=frac{left[ overrightarrow{IA},overrightarrow{{{u}_{d}}} right]}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}=4.

Rightarrow (S):,{{(x-4)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=16.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;3;-2) và đường thẳng Delta :frac{x-4}{1}=frac{y-4}{2}=frac{z+3}{-1}. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bẳng 4.

    A. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{z}^{2}}=9.                   B. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.

    C. {{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.         D. {{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.

Lời giải:

Giả sử mặt cầu (S) cắt Delta  tại hai điểm A,B sao cho AB=4Rightarrow (S) có bán kính R=IA.

Gọi H là trung điểm đoạn AB.

Khi đó IHbot ABRightarrow Delta IHA vuông tại H.

Ta có HA=2;,IH=d(I,Delta )=sqrt{5}.

R=I{{A}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}={{(sqrt{5})}^{2}}+{{2}^{2}}=9.

Vậy phương trình của mặt cầu cần tìm là

{{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9.

Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 4.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:frac{x-1}{1}=frac{y}{1}=frac{z+1}{2} và điểm I(1;0;2). Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;0;2). Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.

    A. {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=3.        B. {{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=3.

    C. {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=19.      D. {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.

Lời giải:

Gọi H(1+t;t;-1+2t)in d. Khi đó overrightarrow{IH}=(t;t;2t-3)Rightarrow overrightarrow{IH}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow t+t+2(2t-3)=0

Leftrightarrow 6t-6=0Leftrightarrow t=1Rightarrow overrightarrow{IH}(1;1;-1)Rightarrow IH=sqrt{3}=R.

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=3.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 4.5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+m=0 và đường thẳng d:frac{x}{2}=frac{y-1}{1}=frac{z+1}{2}. Tìm m để đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M,N sao cho độ dài đoạn MN=8.

    A. m=-24.                   B. m=8.                    C. m=16.                     D. m=-12.

Lời giải:

(S) có tâm I(-2;3;0) và bán kính R=sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{0}^{2}}-m}=sqrt{13-m},,,,(m<13).

Gọi H là trung điểm của M,NRightarrow MH=4.

Đường thẳng d qua A(0;1;-1) và có vecto chỉ phương overrightarrow{u}(2;1;2)Rightarrow d(I,d)=frac{left| left[ overrightarrow{u},overrightarrow{AI} right] right|}{left| overrightarrow{u} right|}=3.

Suy ra R=sqrt{M{{H}^{2}}+{{d}^{2}}(I,d)}=sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5.

Ta có sqrt{13-m}=5Leftrightarrow 13-m=25Leftrightarrow m=-12.

Chọn đáp án D.

Leave a Comment