Tích phân- Phương pháp đổi biến, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

by

 

1. Đổi biến số loại 1: t=t(x)

A. Phương pháp

Các bước thực hiện phép đổi biến số loại 1 để tính tích phân I=int_{a}^{b}{f(x)dx}.

+ Bước 1: Đặt t=t(x)Rightarrow dt=t'(x)dx.

    Đổi cận:  

+ Bước 2: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.

+ Bước 3: Khi đó I=int_{t(a)}^{t(b)}{g(t)dt} (đơn giản hơn tích phân đã cho).

– Nếu hàm số f(x) có chứa sqrt[n]{g(x)} thì đặt:

t=sqrt[n]{g(x)}Leftrightarrow {{t}^{n}}=g(x)Rightarrow n.{{t}^{n-1}}dt=g'(x)dx

– Nếu hàm số f(x) có chứa {{(ax+b)}^{n}} thì đặt t=ax+bRightarrow left{ begin{array}{l}dt=adx\x=frac{t-b}{a}end{array} right..

– Hàm lượng giác:

           Nếu gặp int{f(sin }x).cos xdx thì đặt t=sin x.

           Nếu gặp int{f(cos x).sin }xdx thì đặt t=cos x.

           Nếu gặp int{f(tan x)frac{dx}{{{cos }^{2}}x}} thì đặt t=tan x.

           Nếu gặp int{f(cot x)frac{dx}{{{sin }^{2}}x}} thì đặt t=cot x.

– Biểu thức có chứa logarit:

   Thường gặp biểu thức có chứa frac{1}{x} và ln x. Khi đó đặt t=ln x hoặc t= biểu thức có chứa ln x.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho đẳng thức 2sqrt{3}.m-int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx=0}. Khi đó 144{{m}^{2}}-1 bằng

    A. -frac{2}{3}.                          B. -frac{1}{3}.                        C. frac{1}{3}.                           D. frac{2}{3}.

Lời giải:

Để tính tích phân I=int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx} ta có thể làm trực tiếp bằng phương pháp vi phân, hoặc dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cách 1 (Phương pháp vi phân)

Ta có int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx}=int_{0}^{1}{frac{d({{x}^{4}})}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}=left. left( -frac{1}{{{x}^{4}}+2} right) right|_{0}^{1}}

                             =-frac{1}{3}-(-frac{1}{2})=frac{1}{6}.

Cách 2 (Phương pháp đổi biến)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Trọn bộ thông tin cần biết 2022 | Mytranshop.com

Đặt t={{x}^{4}}+2Rightarrow dt=4{{x}^{3}}dx.

Đổi cận: x=0Rightarrow t=2.

             x=1Rightarrow t=3.

   Rightarrow I=int_{2}^{3}{frac{dt}{{{t}^{2}}}=-left. frac{1}{t} right|_{2}^{3}=-frac{1}{3}+frac{1}{2}=frac{1}{6}}.

Khi đó 2sqrt{3}m-int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx=0Leftrightarrow 2sqrt{3}m-frac{1}{6}=0}Leftrightarrow m=frac{sqrt{3}}{36}Leftrightarrow 144{{m}^{2}}-1=-frac{2}{3}.

Chọn A.

Ví dụ 1.2: Cho biết displaystyle intlimits_{-1}^{5}{fleft( x right)text{d}x}=15. Tính giá trị của P=intlimits_{0}^{2}{left[ fleft( 5-3x right)+7 right]text{d}x}

    A. P=15                        B. P=37                          C. P=27                          D. P=19

Lời giải:

P=intlimits_{0}^{2}{left[ fleft( 5-3x right)+7 right]text{d}x}=intlimits_{0}^{2}{fleft( 5-3x right)text{d}x}+intlimits_{0}^{2}{text{7d}x}

Xét int_{0}^{2}{f(5-3x)dx}, đặt t=5-3xRightarrow dt=-3dx.

Đổi cận: x=0Rightarrow t=5,,,x=2Rightarrow t=1.

             Rightarrow int_{0}^{2}{f(5-3x)dx}=-frac{1}{3}intlimits_{5}^{1}{fleft( x right)text{d}x}+7left( 2-0 right)=5+14=9. 

Đáp án D

Ví dụ 1.3: Biết rằng I=int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{sin 2xcos x}{1+cos x}dx}=aln 2+b với a,b là các số nguyên. Tính P=2{{a}^{2}}+3{{b}^{3}}.

    A. 5.                           B. 7.                             C. 8.                           D. 11.

Lời giải:

I=int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{sin 2xcos x}{1+cos x}dx}=int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{2sin x{{cos }^{2}}x}{1+cos x}}dx

Cách 1 (Phương pháp vi phân)

begin{array}{l}I=-2int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{{{cos }^{2}}x}{1+cos x}d(cos x)}=-2int_{0}^{frac{pi }{2}}{left( cos x-1+frac{1}{1+cos x} right)}d(cos x)\=left. (-{{cos }^{2}}x+2x-2ln |1+cos x|) right|_{0}^{frac{pi }{2}}=2ln 2-1end{array}

Cách 2 (Phương pháp đổi biến)

Đặt t=cos xRightarrow dt=-sin xdx.

Đổi cận: x=0Rightarrow t=1;,,x=frac{pi }{2}Rightarrow t=0.

Rightarrow I=int_{1}^{0}{frac{-2{{t}^{2}}}{1+t}dt}=int_{0}^{1}{(2t-2+frac{2}{1+t})dt}=left. ({{t}^{2}}-2t+2ln |1+t|) right|_{0}^{1}=-1+2ln 2.

Do đó a=2;b=-1Rightarrow P=2{{a}^{2}}+3{{b}^{3}}=11.

Chọn D.

Ví dụ 1.4: Biết rằng I=int_{1}^{e}{frac{2ln x+1}{x{{(ln x+1)}^{2}}}dx}=aln 2-frac{b}{c} với a,b,c là các số nguyên dương và frac{b}{c} là phân số tối giản. Tính S=a+b+c.

    A. S=3.                            B. S=5.                            C. S=7.                               D. S=10.

Lời giải:

Đặt t=ln xRightarrow dt=frac{dx}{x}.

Đổi cận: x=1Rightarrow t=0;,,x=eRightarrow t=1.

Rightarrow I=int_{0}^{1}{frac{2t+1}{{{(t+1)}^{2}}}dt}=int_{0}^{1}{left( frac{2}{t+1}-frac{1}{{{(t+1)}^{2}}} right)dt}=left. left[ 2ln |t+1|+frac{1}{t+1} right], right|_{0}^{1}=2ln 2-frac{1}{2}.

Rightarrow a=2;,b=1;,c=1Rightarrow S=5.

Chọn B.

Ví dụ 1.5: Xét tích phân I=int_{0}^{sqrt{3}}{{{x}^{5}}sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=frac{a}{b} là một số phân số tối giản. Tính hiệu a-b.

    A. 743.                               B. -64.                              C. 27.                                     D. -207.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Bật mí cách chạy bền không bị sốc hông hay đau bụng đơn giản 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Đặt t=sqrt{{{x}^{2}}+1}Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1Rightarrow tdt=xdx.

Đổi cận x=0Rightarrow t=1;,,x=sqrt{3}Rightarrow t=2.

Khi đó I=int_{1}^{2}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}.{{t}^{2}}dt}=int_{1}^{2}{({{t}^{6}}-2{{t}^{4}}+{{t}^{2}})dt}=left. left( frac{{{t}^{2}}}{7}-2frac{{{t}^{5}}}{5}+frac{{{t}^{3}}}{3} right) right|_{1}^{2}=frac{848}{105}=frac{a}{b}.

Suy ra a-b=743. Chọn A.

2. Đổi biến số loại 2: x=x(t)

A. Phương pháp

Các bước thực hiện phép đổi biến số loại 2 để tính tích phân I=int_{a}^{b}{f(x)dx}.

+ Bước 1: Đặt x=x(t)Rightarrow dx=x'(t)dt.

   Đổi cận:     

+ Bước 2: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.

+ Bước 3: Khi đó I=int_{t(a)}^{t(b)}{g(t)dt} (đơn giản hơn tích phân đã cho).

– Nếu hàm số f(x) có chứa sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} thì đặt

x=asin tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(asin t)=acos t.dt\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{sin }^{2}}t}=acos tend{array} right.

– Nếu hàm f(x) có chứa sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} thì đặt

displaystyle x=atan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(atan t)=frac{adt}{{{cos }^{2}}t}=a(1+{{tan }^{2}}t)dt\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{tan }^{2}}t}=frac{|a|}{cos t}end{array} right.

– Nếu hàm f(x) có chứa sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} thì đặt x=frac{a}{sin t}Rightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(frac{a}{sin t})=-frac{acos t.dt}{{{sin }^{2}}t}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=sqrt{frac{{{a}^{2}}}{{{sin }^{2}}t}-{{a}^{2}}}=frac{|a|}{cot t}end{array} right.

– Nếu hàm f(x) có chứa {{(1+{{x}^{2}})}^{k}} thì đặt

x=tan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(tan t)=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}\{{(1+{{x}^{2}})}^{k}}={{(1+{{tan }^{2}}x)}^{k}}=frac{1}{{{cos }^{2k}}t}end{array} right.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Biết rằng I=int_{0}^{frac{1}{2}}{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}=frac{pi }{a}+frac{sqrt{3}}{b} với a,b là các số nguyên. Tính P=a+b.

    A. 10.                        B. 12.                        C. 15.                            D. 20.

Lời giải:

Đặt .

Đổi cận x=0Rightarrow t=0;,,x=frac{1}{2}Rightarrow t=frac{pi }{6}.

           displaystyle Rightarrow I=int_{0}^{frac{pi }{6}}{sqrt{1-{{sin }^{2}}t}.cos tdt}=int_{0}^{frac{pi }{6}}{{{cos }^{2}}tdt}

                   displaystyle =frac{1}{2}int_{0}^{frac{pi }{6}}{(1+cos 2t)dt}=left. left( frac{1}{2}x+frac{1}{4}sin 2t right) right|_{0}^{frac{pi }{6}}=frac{pi }{12}+frac{sqrt{3}}{8}.

Do đó .

Chọn D.

Ví dụ 2.2: Tính các tích phân sau

    a) I=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{x}^{2}}dx}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}}.                   b) .                  c) I=int_{0}^{3}{frac{dx}{9+{{x}^{2}}}}.

Lời giải:

    a) Đặt x=sin tRightarrow dx=cos tdt.

    Đổi cận x=0Rightarrow t=0;,x=frac{sqrt{2}}{2}Rightarrow t=frac{pi }{4},.

    displaystyle begin{array}{l}Rightarrow I=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{sin }^{2}}tcos t}{sqrt{1-{{sin }^{2}}t}}dt=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{sin }^{2}}tcos t}{cos t}dt}}\=int_{0}^{frac{pi }{4}}{{{sin }^{2}}tdt}=frac{1}{2}int_{0}^{frac{pi }{4}}{(1-cos 2t)dt}\=left. left( frac{1}{2}t-frac{1}{4}sin 2t right) right|_{0}^{frac{pi }{4}}=frac{pi }{8}-frac{1}{4}end{array}

    b) Đặt x=sqrt{3}tan tRightarrow dx=frac{sqrt{3}}{{{cos }^{2}}t}.

    Đổi cận x=1Rightarrow t=frac{pi }{6};,,x=sqrt{3}Rightarrow t=frac{pi }{4}. 

          displaystyle begin{array}{l}Rightarrow I=int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{sqrt{9+9{{tan }^{2}}t}}{3{{tan }^{2}}t{{cos }^{2}}t}dt=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{dt}{cos t.{{cos }^{2}}t.frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{2}}t}}}}\=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{dt}{cos t.{{sin }^{2}}t}}=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{cos tdt}{{{cos }^{2}}t.{{sin }^{2}}t}}\=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{(1-{{sin }^{2}}t).{{sin }^{2}}t}}=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{left( frac{1}{1-{{sin }^{2}}t}+frac{1}{{{sin }^{2}}t} right)d(sin t)}\=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{left( frac{1}{2(1-sin t)}+frac{1}{2(1+sin t)}+frac{1}{{{sin }^{2}}t} right)d(sin t)}\=frac{3}{2}int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{1-sin t}+frac{3}{2}int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{1+sin t}+3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{{{sin }^{2}}t}}}}\=frac{3}{2}ln left. left| frac{1+sin t}{1-sin t} right|, right|_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}-left. frac{3}{sin t} right|_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}\=frac{3}{2}left( ln frac{2+sqrt{2}}{2-sqrt{2}}-ln 3 right)+6-frac{6}{sqrt{2}}end{array}

    c) Đặt x=3tan tRightarrow dx=frac{3dt}{{{cos }^{2}}t}=3(1+{{tan }^{2}}t)dt.

    Đổi cận x=0Rightarrow t=0;,x=3Rightarrow t=frac{pi }{4}.

          Rightarrow I=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{(1+{{tan }^{2}}t)dt}{9+9{{tan }^{2}}t}=frac{1}{3}t|_{0}^{frac{pi }{4}}=frac{pi }{12}}.

3. Đổi biến dựa vào cận

A. Phương pháp

Đối với tích phân có dạng I=int_{-a}^{a}{f(x)dx}, ta sử dụng phép đổi biến x=-t.

Khi đó I=int_{-a}^{a}{f(x)dx}=int_{-a}^{0}{f(x)dx}+int_{0}^{a}{f(x)dx}

Xét tích phân {{I}_{1}}=int_{-a}^{0}{f(x)dx}:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Thực đơn và sinh tố detox thanh lọc cơ thể 7 ngày 2022 | Mytranshop.com

Đặt x=-tRightarrow dx=-dt.

Đổi cận: x=-aRightarrow t=a,,,x=0Rightarrow t=0.

           Rightarrow I=int_{a}^{0}{f(-t)d(-t)}+int_{0}^{a}{f(x)dx}.

Nhận xét:

– Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên displaystyle text{ }!![!!text{ }-a;a] thì I=∫-aaf(x)dx.

– Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }-a;a] thì I=∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (THPT Bắc Duyên Hà – Thái Bình 2017 Lần 2) Cho hàm số f(x) chẵn, liên tục trên mathbb{R} và int_{-2}^{2}{f(x)dx}=3. Tính I=int_{frac{1}{3}}^{1}{f(3x-1)dx}.

    A. frac{1}{3}.                          B. frac{3}{2}.                          C. frac{1}{2}.                           D. 3.

Lời giải:

Đặt t=3x-1Rightarrow dt=3dxRightarrow dx=frac{1}{3}dt.

Ta có I=int_{0}^{2}{f(t).frac{1}{3}dt}Rightarrow 3I=int_{0}^{1}{f(x)dx}.

Mặt khác, đặt u=-xRightarrow du=-dx. Do f(x) là hàm số chẵn nên f(-x)=f(x).

Suy ra int_{-2}^{0}{f(x)dx}=-int_{0}^{2}{f(-u)du}=int_{0}^{2}{f(u)du}

       Rightarrow 3=int_{-2}^{2}{f(x)dx}=int_{-2}^{0}{f(x)dx}+int_{0}^{2}{f(x)dx}=2int_{0}^{2}{f(x)dx}=6IRightarrow I=frac{1}{2}.

Chọn C.

Ví dụ 3.2: Cho a là một số thực khác 0, kí hiệu b=int_{-a}^{a}{frac{{{e}^{x}}}{x+2a}dx}. Tính I=int_{0}^{2a}{frac{dx}{(3a-x){{e}^{x}}}} theo avà b.

    A. a.    B. frac{b}{{{e}^{a}}}     C. b.    D. {{e}^{b}}.b.

Lời giải:

Đặt t=a-xRightarrow left{ begin{array}{l}dx=-dt\3a-x=t+2aend{array} right..

Đổi cận: x=0Rightarrow t=a;,x=2aRightarrow t=-a.

Khi đó I=int_{a}^{-a}{frac{dt}{(t+2a){{e}^{a-1}}}=int_{-a}^{a}{frac{{{e}^{x}}}{(x+2a){{e}^{x}}}dx}}.

Mà b=int_{-a}^{a}{frac{{{e}^{x}}}{x+2a}dx}Rightarrow I=frac{b}{{{e}^{a}}}.

Chọn B.

Ví dụ 3.3: Tính tích phân I=int_{-1}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}.

Lời giải:

Cách 1:

I=int_{-1}^{0}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}+int_{0}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}}} trong đó {{I}_{1}}=int_{-1}^{0}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}, {{I}_{2}}=int_{0}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}.

Xét {{I}_{1}}=int_{-1}^{0}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}, đặt t=-xRightarrow dt=-dx.

Đổi cận x=-1Rightarrow t=1;,x=0Rightarrow t=0.

Khi đó {{I}_{1}}=-int_{1}^{0}{frac{cos tdt}{{{e}^{-t}}+1}=int_{0}^{1}{frac{cos tdt}{frac{1}{{{e}^{t}}}+1}=int_{0}^{1}{frac{{{e}^{x}}.cos xdx}{1+{{e}^{x}}}}}}.

Suy ra I=int_{0}^{1}{frac{{{e}^{x}}cos xdx}{1+{{e}^{x}}}+int_{0}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}=int_{0}^{1}{frac{({{e}^{x}}+1)cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}}=int_{0}^{1}{cos xdx}=sin x|_{0}^{1}=sin 1.

Cách 2:

Đặt t=-xRightarrow dt=-dx.

Đổi cận x=-1Rightarrow t=1;,x=1Rightarrow t=-1.

Khi đó I=-int_{1}^{-1}{frac{cos tdt}{{{e}^{-t}}+1}=int_{-1}^{1}{frac{cos tdt}{frac{1}{{{e}^{t}}}+1}}}=int_{-1}^{1}{frac{{{e}^{t}}.cos tdt}{1+{{e}^{t}}}}=int_{-1}^{1}{frac{{{e}^{x}}cos xdx}{1+{{e}^{x}}}}

             displaystyle begin{array}{l}Rightarrow 2I=I+I=int_{-1}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}+int_{-1}^{1}{frac{{{e}^{x}}cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}}\=int_{-1}^{1}{cos xdx}=sin x|_{-1}^{1}=2sin 1end{array}.

             Rightarrow I=sin 1.

Leave a Comment