Tính đơn điệu của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lí thuyết cơ bản:

1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số:

Giả sử $K$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số $f$ xác định trên $K$ được gọi là:

+ Đồng biến trên K nếu với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ .

+ Nghịch biến trên K nếu với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$ .

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử $I$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số $f$ liên tục và có đạo hàm trên khoảng $I$ . Khi đó hàm số $f$ :

Đồng biến trên $I$ $Leftrightarrow f'(x)ge 0,forall xin I$ .
Nghịch biến trên $I$ $Leftrightarrow f'(x)le 0,forall xin I$ .

Chú ý: $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm.

3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

+ Tìm tập xác định.

+ Tính đạo hàm $f'(x)$ . Tìm các điểm ${{x}_{i}},(i=1,2,3,...,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

+ Sắp xếp các điểm ${{x}_{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

B. Bài tập:

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm không chứa tham số

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

+ Tìm tập xác định.

+ Tính đạo hàm $f'(x)$ . Tìm các điểm ${{x}_{i}},(i=1,2,3,...,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

+ Sắp xếp các điểm ${{x}_{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có: $y'=8{{x}^{3}}$

$y'=0Leftrightarrow 8{{x}^{3}}=0Leftrightarrow x=0$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; + $infty$ ). Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 1.2: (Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2). Cho hàm số $displaystyle f(x)=frac{{3x+1}}{{-x+1}}$ . Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định đúng?

A. $f(x)$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ .

B. $f(x)$ nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

C. $f(x)$ đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

D. $f(x)$ đồng biến trên $mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }1text{ }!!}!!text{ }$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }1}=(-infty ;1)cup (1;+infty )$ .

Ta có: $f'(x)=frac{4}{{{{{(1-x)}}^{2}}}}>0,,forall xne 1$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty ;1)$ và $(1;+infty )$ . Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 1.3 (Sở Giáo Dục Hà Nam 2017). Cho hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-2$ . Mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $(1;frac{5}{3})$ .

B. Hàm số nghịch biến trên $(-infty ;1)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên $(frac{5}{3};+infty )$ .

D. Hàm số đồng biến trên $(1;frac{5}{3})$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-8x+5Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\x=frac{5}{3}end{array} right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1); ( $frac{5}{3}$ ;+∞) và nghịch biến trên khoảng (1; $frac{5}{3}$ )

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4: Hàm số nào sau đây đồng biến trên $mathbb{R}$ ?

A. $y=frac{{2x-1}}{{x+1}}$

B. $y=2x-cos 2x-5$

C. $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1$

D. $y=sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}$

Lời giải:

+ Xét hàm số $displaystyle y=frac{{2x-1}}{{x+1}}$ có $y'=frac{3}{{{{{(x+1)}}^{2}}}}>0,forall xne -1$ . Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. ⇒ Loại đáp án A.

+ Xét hàm số $y=2x-cos 2x-5$ có $y'=2+2sin 2x=2(1+sin 2x)ge 0,forall xin mathbb{R}$

và $y'=0Leftrightarrow sin 2x=-1$

Phương trình $sin 2x=-1$ có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ . Do đó chọn B.

+ Xét hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1$ có $y'=3{{x}^{2}}-4x+1$ . Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số không đồng biến trên $mathbb{R}$
⇒ Loại đáp án C.

+ Xét hàm số $y=sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}$ có $y'=frac{{2x-1}}{{2sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}}>0Leftrightarrow x>frac{1}{2}$
⇒ Loại đáp án D.

Ví dụ 1.5: Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ ?

A. (I), (II) và (III). B. (II) và (III).

C. (I) và (III). D. (III) và (IV).

Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 11 bài tập thân dưới tốt nhất dễ dàng cho người mới bắt đầu 2022 | Mytranshop.com

Ví dụ 1.6: Quan sát đồ thị của hàm số $y=f(x)$ dưới đây và chọn đáp án đúng.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3;+infty )$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-infty ;-1)$ .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .

Lời giải:

Nhìn vào đồ thị suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-infty ;0);(2;+infty )$ . Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.7 (THPT Chuyên Thái Bình). Cho hàm số $y=sin x-cos x+sqrt{3}x$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số nghịch biến trên $(-infty ;0)$ .

B. Hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ .

C. Hàm số là hàm số lẻ.

D. Hàm số đồng biến trên $(-infty ;+infty )$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=cos x+sin x+sqrt{3}=sqrt{2}sin (x+frac{pi }{4})+sqrt{3}>0$ vì $-sqrt{2}le sqrt{2}sin (x+frac{pi }{4})le sqrt{2},,,forall xin mathbb{R}$

Do đó hàm số đồng biến $(-infty ;+infty )$ .

Chọn D.

Ví dụ 1.8: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên $(4;2)$ .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên $(-infty ;3)$ .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên $(-infty ;4)$ .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên $(2;3)$ .

Lời giải:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty ;2);(2;3)$ và nghịch biến trên khoảng $(3;+infty )$ .

Hàm số gián đoạn tại điểm $x=2$ nên hàm số không đồng biến trên khoảng $(-infty ;3)$ .

Vậy chọn D.

Ví dụ 1.9: Hàm số $y=sqrt{{x-2}}+sqrt{{4-x}}$ nghịch biến trên:

A. $displaystyle text{ }!![!!text{ }3;4)$ B. $(2;3)$ C. $(sqrt{2};3)$ D. $(2;4)$

Lời giải:

TXĐ: $D=text{ }!![!!text{ }2;4]$ .

Ta có $y'=frac{1}{{2sqrt{{x-2}}}}-frac{1}{{2sqrt{{4-x}}}}=frac{{sqrt{{4-x}}-sqrt{{x-2}}}}{{2.sqrt{{x-2}}.sqrt{{4-x}}}}$

$y'=0Leftrightarrow sqrt{{4-x}}-sqrt{{x-2}}=0Leftrightarrow sqrt{{4-x}}=sqrt{{x-2}}Leftrightarrow 4-x=x-2Leftrightarrow x=3$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }3;4)$ .

Chọn A.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập xác định

Phương pháp:

Chú ý: Để giải bài toán này, ta thường sử dụng các tính chất sau:

Nếu $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c,(ane 0)$ thế thì:

+ $f(x)ge 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta le 0\a>0end{array} right.$

+ $f(x)le 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta le 0\a<0end{array} right.$

Ví dụ 2.1 (THPT Tam Dương – Vĩnh Phúc 2017). Tất cả các giá trị của m để hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-2(m-1){{x}^{2}}+(m+2)x+m-6$ đồng biến trên $mathbb{R}$ là

A. $mge 2$ B. $frac{1}{4}<mle 2$ C. $-frac{3}{4}le mle 1$ D. $frac{1}{4}le mle 2$

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'={{x}^{2}}-4(m-1)x+m+2$

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow y'ge 0,forall xin mathbb{R}$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta 'le 0\a>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4{{(m-1)}^{2}}-(m+2)le 0\1>0end{array} right.Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-9m+2le 0Leftrightarrow frac{1}{4}le mle 2$

Vậy chọn đáp án D.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 3 – 2017). Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=({{m}^{2}}-1){{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}-x+4$ nghịch biến trên khoảng $(-infty ;+infty )$ ?

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+2(m-1)x-1$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-infty ;+infty )$
$Leftrightarrow y'le 0,forall xin mathbb{R}$ .

Nếu m = 1 thì $y'=-1<0,forall xin mathbb{R}$ . Do đó m = 1 là một giá trị cần tìm. (1)

Nếu m = -1 thì $y'=-4x-1le 0Leftrightarrow xge -frac{1}{4}$ . Do đó m = -1 không là giá trị cần tìm.

Nếu $mne pm 1$ thì $y'le 0,forall xin mathbb{R}$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta 'le 0\a<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{(m-1)}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)le 0\{{m}^{2}}-1<0end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4{{m}^{2}}-2m-2le 0\-1<m<1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-frac{1}{2}le mle 2\-1<m<1end{array} right.Leftrightarrow -frac{1}{2}le m<1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $-frac{1}{2}le mle 1$ . Mà m nguyên nên $min text{ }!!{!!text{ 0};1}$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bán máy cắt nhôm Xingfa cũ | Kiến Thức Xây Dựng 2022 | Mytranshop.com

Vậy chọn đáp án A.

Chú ý:
Trong ví dụ 2.2 ở trên hệ số $a$ của $y'$ chứa tham số nên ta phải xét riêng trường hợp $a=0$ .

Ví dụ 2.3 (THPT Mỹ Đức B Hà Nội – 2017 ). Cho hàm số $y=frac{{mx+2m-3}}{{x-m}}$ . Tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là

A. $m<-3$ hoặc $m>1$ B. $mle -3$ hoặc $mge 1$

C. $m<-1$ hoặc $m>3$ D. $-3<m<1$

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }mtext{ }!!}!!text{ }$ .

Ta có $y'=frac{{-{{m}^{2}}-2m+3}}{{{{{(x-m)}}^{2}}}}$ . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y'<0,forall xin DLeftrightarrow -{{m}^{2}}-2m+3<0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>1\m<-3end{array} right.$

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 2.4: Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=frac{{mx-2}}{{x+m-3}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định là khoảng $(a;b)$ . Tính $P=b-a$

A. $P=-3$ B. $P=-2$ C. $P=-1$ D. $P=1$

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }3-mtext{ }!!}!!text{ }$ .

Ta có $y'=frac{{{{m}^{2}}-3m+2}}{{{{{(x+m-3)}}^{2}}}}$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $Leftrightarrow y'<0,forall xin DLeftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2<0$
$Leftrightarrow 1<m<2Leftrightarrow min (1;2)$ .

Vậy $P=b-a=1$ .

Chọn D.

Ví dụ 2.5: Hàm số $y=frac{{{{x}^{2}}-2mx+m}}{{x-1}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi

A. $mge 1$ B. $mle 1$ C. $mne 1$ D. $mge -1$

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }1}$ .

Ta có $y'=frac{{{{x}^{2}}-2x+m}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $Leftrightarrow y'ge 0,forall xin D$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+mge 0,forall xin DLeftrightarrow mge -{{x}^{2}}+2x,forall xin DLeftrightarrow mge underset{D}{mathop{{max }}},(-{{x}^{2}}+2x)Leftrightarrow mge 1$

Chọn A.

Ví dụ 2.6: Tìm m để hàm số $y=sin x-mx$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ .

A. $mge -1$ B. $mle -1$ C. $-1le mle 1$ D. $mge 1$

Lời giải:

Ta có $y'=cos x-m$

Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$
$Leftrightarrow y'le 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow cos x-mle 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow mge 1$ .

Chọn D.

Ví dụ 2.7: Tìm để hàm số $y=(2m+1)sin x+(3-m)x$ đồng biến trên $mathbb{R}$ ?

A. $-4le mle frac{2}{3}$ B. $-4<m<frac{2}{3}$ C. $m<-4$ D. $m>frac{2}{3}$

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=(2m+1)cos x+3-m$

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$
$Leftrightarrow y'ge 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow (2m+1)cos x+3-mge 0,forall xin mathbb{R}$ . (*)

Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng, đoạn, nửa khoảng cho trước

Phương pháp:

+ Tìm tập xác định D.

+ Tính y’.

+ Hàm số đồng biến trên $DLeftrightarrow y'ge 0,forall xin D$ .

Hàm số nghịch biến trên $DLeftrightarrow y'le 0,forall xin D$ .

Chú ý:

Hàm phân thức bậc nhất $y=frac{{ax+b}}{{cx+d}}$ có

TXĐ: $Rbackslash text{ }!!{!!text{ }-frac{d}{c}text{ }!!}!!text{ }$ , đạo hàm $y'=frac{{ad-bc}}{{{{{(cx+d)}}^{2}}}}$

+ Hàm số đồng biến trên $K$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}ad-bc>0\-frac{d}{c}notin Kend{array} right.$

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}ad-bc<0\-frac{d}{c}notin Kend{array} right.$

Hàm bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,,$ có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

Nếu y’ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì:

Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+3m(m+2)x$ nghịch biến trên đoạn [0; 1]

A. $mle 0$ B. $-1<m<0$ C. $-1le mle 0$ D. $mge -1$

Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Dáng chân mày phú quý nào mang đến sự giàu sang, hạnh phúc? 2022 | Mytranshop.com

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Đạo hàm $y'=3{{x}^{2}}-6(m+1)x+3m(m+2)=3[{{x}^{2}}-2(m+1)x+m(m+2)text{ }!!]!!text{ }$

Ta có $Delta '={{(m+1)}^{2}}-m(m+2)=1>0,forall min mathbb{R}$ .

Do đó $y'=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x=m,,x=m+2$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn [m; m + 2].

Để hàm số nghịch biến trên [0; 1] $Leftrightarrow text{ }!![!!text{ }0;1]subset text{ }!![!!text{ }m;m+2]Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mle 0\m+2ge 1end{array} right.Leftrightarrow -1le mle 0$ .

Chọn C.

Ví dụ 3.2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=frac{{x-1}}{{x-m}}$ nghịch biến trên khoảng $(-infty ;2)$

A. $m>2$ . B. $mge 1$ . C. $mge 2$ . D. $m>1$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }mtext{ }!!}!!text{ }$ .

Ta có $y'=frac{{-m+1}}{{{{{(x-m)}}^{2}}}}$

Cách 1:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-infty ;2)$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-m+1<0\mnotin (-infty ;2)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>1\mge 2end{array} right.Leftrightarrow mge 2$ .

Cách 2:

Với $-m+1<0Leftrightarrow m>1$ thì $y'<0,forall xne m$ . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $(-infty ;m)$ và $(m;+infty )$ .

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-infty ;2)$ $Leftrightarrow (-infty ;2)subset (-infty ;m)Leftrightarrow mge 2$ .

Chọn C.

Ví dụ 3.3 (Đề minh họa lần 1 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=frac{{tan x-2}}{{tan x-m}}$ đồng biến trên khoảng $(0;frac{pi }{4})$

A. $mle 0$ hoặc $1le m<2$ B. $mle 0$ C. $1le m<2$ D. $mge 2$

Lời giải:

Ta có
$f'left( x right)=frac{{-m+2}}{{{{{left( {tanx-m} right)}}^{2}}co{{s}^{2}}x}}$

Yêu cầu của bài toán trở thành:

$left{ begin{array}{l}-m+2>0\tan x-mne 0,forall xin left( {0;frac{pi }{4}} right)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-m+2>0\mnotin (0;1)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m<2\left[ begin{array}{l}mge 1\mle 0end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}mle 0\1le m<2end{array} right.$

Chọn A.

Ví dụ 3.4 (THPT Chuyên Bắc Kạn) Cho hàm số $y=frac{{(m-1)sqrt{{x-1}}+2}}{{sqrt{{x-1}}+m}}$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(17;37)$ .

A. $-4le m<-1$ . B. $left[ begin{array}{l}m>2\mle -6\-4le m<-1end{array} right.$ . C. $left[ begin{array}{l}m>2\mle -4end{array} right.$ . D. $-1<m<2$ .

Lời giải:

ĐKXĐ: $left{ begin{array}{l}xge 1\sqrt{{x-1}}+mne 0end{array} right.$ .

Ta có $y'=frac{{{{m}^{2}}-m-2}}{{2sqrt{{x-1}}{{{(sqrt{{x-1}}+m)}}^{2}}}}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(17;37)$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-m-2>0\sqrt{{x-1}}+mne 0,,forall xin (17;37)end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m>2\m<-1end{array} right.\sqrt{{x-1}}ne -m,,forall xin (17;37)end{array} right.$

Phương trình $sqrt{{x-1}}=-m$ có nghiệm trong khoảng $(17;37)$

$Leftrightarrow underset{{text{ }!![!!text{ }17;37]}}{mathop{{min }}},sqrt{{x-1}}<-m<underset{{text{ }!![!!text{ }17;37]}}{mathop{{max }}},sqrt{{x-1}}Leftrightarrow -6<m<-4$

Do đó $sqrt{{x-1}}ne -m,,forall xin (17;37)Leftrightarrow left[ begin{array}{l}mge -4\mle -6end{array} right.$

Vậy $left[ begin{array}{l}m>2\mle -6\-4le m<-1end{array} right.$ .

Chọn B.

Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

Phương pháp

I.1.4.B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Tìm số nghiệm của phương trình $sqrt{{4x+5}}+sqrt{{x-1}}=3$ .

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. Vô nghiệm.

Lời giải:

TXĐ: $D=text{ }!![!!text{ }1;+infty )$ .

$sqrt{{4x+5}}+sqrt{{x-1}}=3Leftrightarrow sqrt{{4x+5}}+sqrt{{x-1}}-3=0$ . (1)

Xét hàm số $f(x)=sqrt{{4x+5}}+sqrt{{x-1}}-3$ với $xin text{ }!![!!text{ }1;+infty )$ .

Ta có $f'(x)=frac{2}{{sqrt{{4x+5}}}}+frac{1}{{2sqrt{{x-1}}}}>0,,,forall xin text{ }!![!!text{ }1;+infty )$ .

Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên nửa khoảng $displaystyle text{ }!![!!text{ }1;+infty )$ . Do đó phương trình (1) có nhiều nhất một nghiệm.

Mà $f(1)=0$ . Vậy phương trình đã cho một nghiệm duy nhất $x=1$ .

Chọn A.

Ví dụ 4.2: Số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-x=sqrt[3]{{2x+1}}+1$ là

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. Vô nghiệm.

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

${{x}^{3}}-x=sqrt[3]{{2x+1}}+1Leftrightarrow {{x}^{3}}+x=2x+1+sqrt[3]{{2x+1}}$

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t$ với $tin mathbb{R}$ .

Khi đó phương trình đã cho có dạng $f(x)=f(sqrt[3]{{2x+1}})$ (*)

Ta có $f'(t)=3{{t}^{2}}+1>0,,forall tin mathbb{R}$ . Do đó phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $x=sqrt[3]{{2x+1}}Leftrightarrow {{x}^{3}}=2x+1Leftrightarrow {{x}^{3}}-2x-1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=frac{{1pm sqrt{5}}}{2}end{array} right.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 4.3 (THPT Minh Hà 2017 Lần 1).

Tìm $m$ để hệ phương trình $left{ begin{array}{l}x+2-sqrt{{{{x}^{2}}+2x+2}}=y-sqrt{{{{y}^{2}}-2y+2}}\xy-y=mend{array} right.$ có hai nghiệm phân biệt

A. $m>0$ B. $mge -frac{9}{4}$ C. $m>-frac{9}{4}$ D. $m<-frac{9}{4}$

Lời giải:

$left{ begin{array}{l}x+2-sqrt{{{{x}^{2}}+2x+2}}=y-sqrt{{{{y}^{2}}-2y+2}}\xy-y=mend{array} right.,,,,,,,begin{array}{*{20}{c}} {(1)} \ {(2)} end{array}$