Phương trình lượng giác cơ bản, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

 

A. Lí thuyết cơ bản

 

1. Phương trình sin x=a    (1)

  • |a|,>1: Phương trình (1) vô nghiệm.
  • |a|,le 1: Gọi alpha  là một cung sao cho sin x=sin alpha . Khi đó

    (1)Leftrightarrow sin x=sin alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=alpha +k2pi \x=pi -alpha +k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z}).

    Phương trình sin x=sin {{beta }^{0}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x={{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\x=pi -{{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}end{array} right.(kin mathbb{Z}).

  • + Các trường hợp đặc biệt:

displaystyle sin x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi ,,kin mathbb{Z}

displaystyle sin x=-1Leftrightarrow x=-frac{pi }{2}+k2pi ,,kin mathbb{Z}sin x=0Leftrightarrow x=kpi ,,(kin mathbb{Z})

  • Chú ý:

    • + Tổng quát: sin f(x)=sin g(x) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2pi \f(x)=pi -g(x)+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})
    • sin x=aLeftrightarrow left[ begin{array}{l}x=arcsin a+k2pi \x=pi -arcsin a+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z}).
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

 

2. Phương trình cos x=a    (2)

  • |a|,>1: Phương trình (1) vô nghiệm.
  • |a|,le 1: Gọi alpha  là một cung sao cho cos x=cos alpha . Khi đó

    (2)Leftrightarrow cos x=cos alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=alpha +k2pi \x=-alpha +k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z}).

    Phương trình cos x=cos {{beta }^{0}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x={{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\x=-{{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}end{array} right.(kin mathbb{Z}).

  • Các trường hợp đặc biệt: 

displaystyle cos x=1Leftrightarrow x=k2pi ,,kin mathbb{Z}.

displaystyle cos x=-1Leftrightarrow x=pi +k2pi ,,kin mathbb{Z}.cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).

  • Chú ý:

    • + Tổng quát: cos f(x)=cos g(x)Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2pi \f(x)=-g(x)+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})
    • cos x=aLeftrightarrow left[ begin{array}{l}x=arccos a+k2pi \x=-arccos a+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z}).
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

 

3. Phương trình tan x=a     (3)

  • + TXĐ: D=mathbb{R}backslash left{ frac{pi }{2}+kpi ,kin mathbb{Z} right}.
  • forall ain mathbb{R}, tồn tại cung alpha  sao cho tan alpha =a. Khi đó:

    (3)Leftrightarrow tan x=tan alpha Leftrightarrow x=alpha +kpi ,,kin mathbb{Z}.

  • + Phương trình tan x=tan {{beta }^{0}}Leftrightarrow x={{beta }^{0}}+k{{180}^{0}},,kin mathbb{Z}.
  • Chú ý:

    • +  Tổng quát: tan f(x)=tan g(x)Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi ,(kin mathbb{Z}).
    • tan x=aLeftrightarrow x=arctan a+kpi ,(kin mathbb{Z}).
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

 

4. Phương trình cot x=a     (4)

  • + TXĐ: D=mathbb{R}backslash left{ kpi ,kin mathbb{Z} right}.
  • forall ain mathbb{R}, tồn tại cung alpha  sao cho cot alpha =a. Khi đó:

    (4)Leftrightarrow cot x=cot alpha Leftrightarrow x=alpha +kpi ,,kin mathbb{Z}.

  • + Phương trình cot x=cot {{beta }^{0}}Leftrightarrow x={{beta }^{0}}+k{{180}^{0}},,kin mathbb{Z}.
  • Chú ý:

    • + Tổng quát: cot f(x)=cot g(x)Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi ,(kin mathbb{Z}).
    • + cot x=a⇔x=arccota+kπ, (k∈ℤ)
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

 

B. Bài tập

 

1. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình sin left( frac{2x}{3}-frac{pi }{3} right)=0.

    A. x=kpi ,,(kin mathbb{Z}).                                B. x=frac{2pi }{3}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z}).

    C. x=frac{pi }{3}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).                         D. x=frac{pi }{2}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z}).

Lời giải:

Phương trình sin left( frac{2x}{3}-frac{pi }{3} right)=0Leftrightarrow frac{2x}{3}-frac{pi }{3}=kpi

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Uống Sữa Trước Khi Ngủ Có Những Lợi Ích Và Hạn Chế Nào 2022 | Mytranshop.com

Leftrightarrow frac{2x}{3}=frac{pi }{3}+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z}).

Chọn D.

Ví dụ 2: Giải phương trình cot (3x-1)=-sqrt{3}.

    A. x=frac{1}{3}+frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}).                 B. x=frac{1}{3}+frac{pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}).

    C. x=frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}).                        D. x=frac{1}{3}-frac{pi }{6}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).

Lời giải:

Ta có cot (3x-1)=-sqrt{3}Leftrightarrow cot (3x-1)=cot left( -frac{pi }{6} right)

       Leftrightarrow 3x-1=-frac{pi }{6}+kpi

       Leftrightarrow x=frac{1}{3}-frac{pi }{18}+kfrac{pi }{3}=frac{1}{3}+frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3}

Chọn A.

Ví dụ 3: Trên (0;pi ) phương trình sin 2x=-frac{1}{2} có bao nhiêu nghiệm?

    A. 0.                      B. 2.                    C. 3.                      D. Vô số nghiệm.

Lời giải:

Ta có displaystyle sin 2x=-frac{1}{2}Leftrightarrow sin 2x=sin frac{-pi }{6}

      displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x=-frac{pi }{6}+k2pi \2x=pi -left( -frac{pi }{6} right)+k2pi end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-frac{pi }{12}+kpi \x=frac{7pi }{12}+k2pi end{array} right..

Trên (0;pi ) ta có:

  • 0<-frac{pi }{12}+kpi <pi Leftrightarrow frac{1}{12}<k<frac{13}{12} với kin mathbb{Z}Rightarrow k=1Rightarrow x=frac{11pi }{12}.
  • 0<frac{7pi }{12}+kpi <pi Leftrightarrow frac{-7}{12}<k<frac{5}{12} với kin mathbb{Z}Rightarrow k=0Rightarrow x=frac{7pi }{12}.

Vậy phương trình có hai nghiệm trên (0;pi )Chọn C.

Ví dụ 4: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y=tan left( frac{pi }{4}-x right) và y=tan 2x bằng nhau?

    A. x=frac{pi }{4}+kfrac{pi }{2},,(kin mathbb{Z}).                           B. x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}).

    C. x=frac{pi }{12}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).                          D. x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z}),.

Lời giải:

Điều kiện: left{ begin{array}{l}cos left( frac{pi }{4}-x right)ne 0\cos 2xne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne -frac{pi }{4}+mpi \xne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2}end{array} right.Leftrightarrow xne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2},,(min mathbb{Z})

Xét phương trình tan left( frac{pi }{4}-x right)=tan 2x

                    Leftrightarrow 2x=frac{pi }{4}-x+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z})

Kết hợp với điều kiện ta có frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3}ne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2} Leftrightarrow kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z})

Vậy phương trình có nghiệm x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z}),.

Chọn D.

Ví dụ 5: Giải phương trình sin (2x+1)+cos (3x-1)=0.

    A. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}).                      B. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}).

    C. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+3+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}).                      D. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+6+k2pi \x=frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}).

Lời giải:

Phương trình displaystyle Leftrightarrow cos (3x-1)=-sin (2x+1)

                   displaystyle Leftrightarrow cos (3x-1)=cos left( frac{pi }{2}+2x+1 right)

                   Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3x-1=frac{pi }{2}+2x+1+k2pi \3x-1=-frac{pi }{2}-2x-1+k2pi end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right..

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Bạn có biết trẻ bị tiêu chảy có nên ăn trứng gà không? 2022 | Mytranshop.com

Chọn B.

Ví dụ 6: Gọi {{x}_{0}} là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình frac{2cos 2x}{1-sin 2x}=0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    A. {{x}_{0}}in left( 0;frac{pi }{4} right).    B. displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right).    C. displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{pi }{2};frac{3pi }{4} right).    D. displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{3pi }{4};pi  right).

Lời giải:

Điều kiện: 1-sin 2xne 0Leftrightarrow sin 2xne 1.

Phương trình displaystyle frac{2cos 2x}{1-sin 2x}=0

               displaystyle Leftrightarrow cos 2x=0Rightarrow left[ begin{array}{l}sin 2x=1,,,,,(L)\sin 2x=-1,,(TM)end{array} right.

               Leftrightarrow sin 2x=-1Leftrightarrow 2x=-frac{pi }{2}+k2pi .

               Leftrightarrow x=-frac{pi }{4}+kpi ,,(kin mathbb{Z})

Ta có -frac{pi }{4}+kpi >0Leftrightarrow kpi >frac{pi }{4}Leftrightarrow k>frac{1}{4}.

Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k=1Rightarrow x=frac{3pi }{4}in left[ frac{3pi }{4};pi  right].

Chọn D.

Ví dụ 7: Số nghiệm của phương trình left( sqrt{1-x}+sqrt{1+x} right)cos x=0

    A. 1 nghiệm.    B. 2 nghiệm.    C. Vô nghiệm.    D. Vô số nghiệm.

Lời giải:

TXĐ: D=text{ }!![!!text{ -1;1 }!!]!!text{ }.

Phương trình Leftrightarrow cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.

Chọn C.

Leave a Comment