Cực trị của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Khái niệm cực trị của hàm số:

Cho  và .

 được gọi là một điểm cực đại của  nếu tồn tại khoảng  sao cho

         left{ begin{array}{l}{{x}_{0}}in (a;b)subset D\f(x)<f({{x}_{0}}),forall xin (a;b)backslash text{ }!!{!!text{ }{{x}_{0}}text{ }!!}!!text{ }end{array} right.

 được gọi là một điểm cực tiểu của  nếu tồn tại khoảng  sao cho

        left{ begin{array}{l}{{x}_{0}}in (a;b)subset D\f(x)>f({{x}_{0}}),forall xin (a;b)backslash text{ }!!{!!text{ }{{x}_{0}}text{ }!!}!!text{ }end{array} right.

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

    Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm {{x}_{0}}và f có đạo hàm tại {{x}_{0}} thì f'({{x}_{0}})=0.

    Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Định lí 1:

Định lí 2:

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm {{x}_{0}},,f'({{x}_{0}})=0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm chứa {{x}_{0}}.

Chú ý: Nếu f'left( {{{x}_{0}}} right)=f''left( {{{x}_{0}}} right)=0 thì không thể xác định được {{x}_{0}} là cực trị hay không.

Ví dụ: Hàm số y={{x}^{3}},,y={{x}^{4}}

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số không chứa tham số

Phương pháp:

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa 2017) Giá trị cực đại của hàm số y={{x}^{3}}-3x+2 là?

     A. 4                         B. 1                           C. 0                             D. -1

                                                                        Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: D=mathbb{R}

Ta có y'=3{{x}^{2}}-3Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=1end{array} right.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ = 4.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2)

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=3{{x}^{2}}-3Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=1end{array} right.

y''=6x;,,y''(1)=6>0;,,y''(-1)=-6<0Rightarrow  Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ = 4.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2.

      A. 1                          B. -1                          C. 0                          D. 2

                                                                         Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=4{{x}^{3}}-4xRightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=pm 1end{array} right.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=-1,x=1 và {{y}_{{CT}}}=y(1)=y(-1)=1

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2):

y''=12{{x}^{2}}-4

Ta có y''(-1)=8>0;,,y''(1)=8>0;,,y''(0)=-4<0.

⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x=-1,x=1 và {{y}_{{CT}}}=y(1)=y(-1)=1.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3: Tìm điểm cực đại của hàm số y=frac{{{{x}^{2}}+4}}{x}

    A. 2                          B. -2                            C. -4                          D. 4

                                                                        Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }0}.

Ta có y'=frac{{{{x}^{2}}-4}}{{{{x}^{2}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0Leftrightarrow x=pm 2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x=-2.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.4: Điểm nào sau đây là điểm cực tiểu của hàm số y=2sin x+1

    A. -frac{pi }{2}                          B. frac{pi }{2}                              C. 3                                D. -1

                                                                         Lời giải:

Cách 1 (Tự luận)

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=2cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi ,,(kin mathbb{Z})

begin{array}{l}y''=-2sin x;,,\y''(frac{pi }{2}+kpi )=-2sin (frac{pi }{2}+kpi )=left{ begin{array}{l}-2sin (frac{pi }{2}+k2pi )=-2<0\-2sin (-frac{pi }{2}+k2pi )=2>0end{array} right.end{array}

Suy ra x=frac{pi }{2}+k2pi  là các điểm cực đại và x=-frac{pi }{2}+k2pi  là các điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Kiểm tra được y'(frac{pi }{2})=y'(-frac{pi }{2})=0

Ta có y''=-2sin x;,,y''(frac{pi }{2})=-2<0Rightarrow x=frac{pi }{2} là điểm cực đại của hàm số.

y''(-frac{pi }{2})=2>0Rightarrow x=-frac{pi }{2} là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số y=sin x+cos x+2.

      A. frac{{5pi }}{4}+k2pi .                     B. frac{pi }{4}+k2pi .                     C. 2+sqrt{2}.                      D. 2-sqrt{2}.

                                                                           Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=cos x-sin x=0Leftrightarrow tan x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{4}+k2pi \x=frac{{5pi }}{4}+k2pi end{array} right.,(kin mathbb{Z})

displaystyle y''=-cos x-sin x;,,y''(frac{pi }{4}+k2pi )=-sqrt{2}<0Rightarrow x=frac{pi }{4}+k2pi  là các điểm cực đại của hàm số.

y''(frac{{5pi }}{4}+k2pi )=sqrt{2}>0Rightarrow x=frac{{5pi }}{4}+k2pi  là các điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn B.

Ví dụ 1.6 (Đề minh họa lần 2 – 2017)

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }-2;2]  và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số  f(x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ?

                                                                 

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Tại sao đàn ông không có lông chân? Tướng số ra sao? 2022 | Mytranshop.com

    A. x=-2.                       B. x=-1.                       C. x=1.                         D. x=2.

                                                                           Lời giải:

Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x=1,{{y}_{{CT}}}=-2.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.7: Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên mathbb{R} và hàm số đạo hàm f'(x) của f(x) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=f(x).

                                                       

       A. 0                           B. 2                           C. 3                               D. 1

                                                                          Lời giải:

Hàm số có f'(x)>0,forall x>1;,,f'(x)<0,forall x<1 và f'(1)=0. Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực trị và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn đáp án D.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị một

Phương pháp

Chú ý:

Trong trường hợp f'({{x}_{0}})=0 không tồn tại hoặc left{ begin{array}{l}f'({{x}_{0}})=0\f''({{x}_{0}})=0end{array} right.  thì định lí 2 ở trên không dùng được.

Ví dụ 2.1 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-3)x+1 đạt cực đại tại x=0.

      A. {1}                     B. displaystyle text{ }!!{!!text{ }-3;1}                       C. displaystyle text{ }!!{!!text{ }-1}                      D. displaystyle text{ }!!{!!text{ }-3}

                                                                                Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+2m-3

Để x=0 là cực đại thì y'(0)=0Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=1\m=-3end{array} right.

Với m = 1 thì y'=-3{{x}^{2}}+2x;,y''=-6x+2Rightarrow y''(0)=2>0 nên x=0 là cực tiểu.

Với m=-3 thì y'=-3{{x}^{2}}-6x;,,y''=-6x-6Rightarrow y''(0)=-6<0 nên x=0 là cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-m+1)x+1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x=1.

         A. m=1,m=2.                   B. m=2.                      C. m=1.                  D. m=0.

                                                                           Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1

Để hàm số đạt cực đại tại x=1 thì y'(1)=0Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=1\m=2end{array} right.

Nếu m=1 thì y'={{x}^{2}}-2x+1;,,y''=2x-2Rightarrow y''(1)=0Rightarrow Hàm số không thể đạt cực trị.

Nếu m=2 thì y'={{x}^{2}}-4x+3;,,y''=2x-4Rightarrow y''(1)=-2<0Rightarrow Hàm số đạt cực đại tại x=1.

Vậy chọn B.

Chú ý:
Nếu trình bày lời giải theo hướng sau:

Hàm số đạt cực đại tại x=1Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y'(1)=0\y''(1)<0end{array} right. thì lời giải chưa chính xác. Vì định lí 2 chỉ phát biểu khi f''({{x}_{0}})ne 0.

Ví dụ 2.3: Cho hàm số y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-4)x+5 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1.

         A. m=1.                    B. m=-3.                   C. m=1,m=-3.                 D. -3le mle 1.

                                                                         Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-4

Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 thì y'(-1)=0Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=1\m=-3end{array} right.

Thử lại ta thấy m=-3 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án B.

Dạng 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị

Phương pháp:

Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6mx+m có hai điểm cực trị.

       A. min (0;2).                                    B. min (-infty ;0)cup (8;+infty ).

       C. min (-infty ;0)cup (2;+infty ).             D. min (0;8).

                                                                  Lời giải:

Ta có y'=3{{x}^{2}}-6mx+6m=3({{x}^{2}}-2mx+2m)

Để hàm số có hai điểm cực trị Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m=0 có hai nghiệm phân biệt Leftrightarrow Delta '>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>2\m<0end{array} right.

Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=(m-3){{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+3 không có cực trị.

      A. m=3                   B. m=0,m=3                     C. m=0                    D. mne 3

                                                                 Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Thiết kế nhà 3 phòng ngủ 1 phòng khách - 2022 | Mytranshop.com

Nếu m=3 thì y=-6{{x}^{2}}+3. Đây là một parabol nên luôn có một cực trị.

Nếu mne 3, ta có y'=3(m-3){{x}^{2}}-4mx

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y'=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất Leftrightarrow Delta 'le 0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}le 0Leftrightarrow m=0

Chọn đáp án C.

Chú ý:
Ở ví dụ 3.2, hàm số đã cho có hệ số a chứa tham số nên ta phải xét hai trường hợp a=0 và ane 0.

Ví dụ 3.3 (THPT Nguyễn Du – TP HCM 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm sốy=frac{1}{3}(m-1){{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+(m-3)x+4m-1 có cực đại.

       A. min (-infty ;+infty ).                         B. min (frac{3}{4};+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1}.

       C. min text{ }!![!!text{ }frac{3}{4};+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1}.                      D. min (frac{3}{4};+infty ).

                                                                Lời giải:

Ta có y'=(m-1){{x}^{2}}-2mx+m-3

Nếu m=1 thì y'=-2x-2=0Leftrightarrow x=-1,,,,y''=-2<0 nên x=-1 là điểm cực đại. Do đó m=1 là một giá trị cần tìm.

Nếu mne 1, hàm số có cực đại Leftrightarrow y'=0 có hai nghiệm phân biệt Leftrightarrow Delta '>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-(m-1)(m-3)>0Leftrightarrow 4m-3>0Leftrightarrow m>frac{3}{4} .

Vậy min (frac{3}{4};+infty )Chọn đáp án D.

Ví dụ 3.4 (THPT Chuyên Bắc Giang 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y={{x}^{4}}+2(m-1){{x}^{2}}+{{m}^{2}} có ba cực trị.

       A. m>1.                   B. m<1.                   C. mle 1.                    D. mge 1.

                                                                   Lời giải:

Ta có y'=4{{x}^{3}}+4(m-1)x=4x({{x}^{2}}+m-1)Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=1-mend{array} right.

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi y’ có ba nghiệm phân biệt Leftrightarrow 1-m>0Leftrightarrow m<1

Vậy chọn đáp B.

Ví dụ 3.5 (Chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 2)

Tìm m để hàm số y=m{{x}^{4}}+({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+1 có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

       A. -3<m<0.         B. 0<m<3.             C. m<-3.                D. m>3.

                                                                  Lời giải:

Ta có y'=4m{{x}^{3}}+2({{m}^{2}}-9)x

Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi và chỉ khi y' có 3 nghiệm phân biệt và điểm cực tiểu là x=0
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0\ab<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>0\m({{m}^{2}}-9)<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>0\-3<m<3end{array} right.Leftrightarrow 0<m<3

Chọn đáp án B.

Dạng 4: Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Phương pháp:

     Xét hàm số y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,,,,(ane 0).

     Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức y cho y' để có: y=p(x).y'+ax+b.

     Từ đây suy ra Delta :,,y=ax+b là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của y=frac{{2{{x}^{2}}+3x+3}}{{x+1}}.

Ví dụ 4.1 (Đề thi THPTQG 2017) Đồ thị của hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

     A. Q(-1;10).              B. M(0;-1).                C. N(1;-10).               D. P(1;0).

                                                                  Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=3{{x}^{2}}-6x-9=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=3end{array} right.

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(-1;6),,,B(3;-26).

Phương trình đường thẳng AB là frac{{x-(-1)}}{{-1-3}}=frac{{y-6}}{{6-(-26)}}Leftrightarrow 8x+y+2=0.

Thay tọa độ các điểm M,N,P,Q vào phương trình đường thẳng AB ta được N(1;-10) thuộc đường thẳng ABChọn C.

Ví dụ 4.2 (Đề thi THPTQG 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:,,y=(2m-1)x+3+m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1.

     A. m=frac{3}{2}.                  B. m=frac{3}{4}.                     C. m=-frac{1}{2}.                    D. m=frac{1}{4}.

                                                                 Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=2end{array} right.

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0;1),,,B(2;-3).

Phương trình đường thẳng AB là 2x-y+1=0Leftrightarrow y=2x+1.

dbot ABLeftrightarrow 2.(2m-1)=-1Leftrightarrow m=frac{1}{4}.

Chọn D.

Ví dụ 4.3 (THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên)

Giả sử đồ thị hàm số y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3(m+6)x+1 có 2 cực trị. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là

    A. y=2x+{{m}^{2}}+6m+1.                 B. y=2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1.

    C. y=-2x+{{m}^{2}}+6m+1               D. Tất cả đều sai.

                                                               Lời giải:

Ta có y'=3{{x}^{2}}-6mx+3(m+6)

Lấy y chia cho frac{1}{3}y' ta được: y=frac{1}{3}y'.(x-m)+2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y=2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1

Vậy chọn B.

Ví dụ 4.4: Giá trị của m để khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y={{x}^{3}}+3mx+1 bằng frac{2}{{sqrt{5}}} là

     A. m=pm 2.                    B. m=-2.                    C. m=-2;,m=3.                  D. min varnothing .

                                                                  Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Ta có y'=3{{x}^{2}}+3mRightarrow y'=0Leftrightarrow {{x}^{2}}=-m.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Các cách uống ca cao giảm cân đúng cách và hiệu quả tại nhà 2022 | Mytranshop.com

Hàm số có cực trị Leftrightarrow y' có hai nghiệm phân biệt Leftrightarrow m<0.

Lấy y chia cho y' ta được y=frac{1}{3}x.y'+2mx+1.

Suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị là Delta :,,y=2mx+1Leftrightarrow 2mx-y+1=0.

Theo giả thiết d(M,Delta )=frac{2}{{sqrt{5}}}Leftrightarrow frac{{|2m.0-3+1|}}{{sqrt{{4{{m}^{2}}+1}}}}=frac{2}{{sqrt{5}}}Leftrightarrow frac{2}{{sqrt{{4{{m}^{2}}+1}}}}=frac{2}{{sqrt{5}}}Leftrightarrow m=pm 2

Mà m<0 nên m=-2.

Chọn B.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 5.1(Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2017 Lần 3)

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-{{m}^{3}}+m có hai điểm cực trị {{x}_{1}},{{x}_{2}} thỏa mãn x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7.

      A. m=0.                   B. m=pm frac{9}{2}.                    C. m=pm frac{1}{2}.                       D. m=pm 2.

                                                                 Lời giải:

Ta có y'=3{{x}^{2}}-6mx+3({{m}^{2}}-1)=3,[{{x}^{2}}-2mx+({{m}^{2}}-1)text{ }!!]!!text{ }

Do Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1=1>0,forall min mathbb{R} nên hàm số luôn có hai điểm cực trị {{x}_{1}},{{x}_{2}}.

Theo định lí Viet, ta có: left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1end{array} right.

Ta có x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7

Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-3({{m}^{2}}-1)=7Leftrightarrow {{m}^{2}}=4Leftrightarrow m=pm 2.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.2 (THPT Hưng Nhân – Thái Bình 2017 Lần 2)

Cho hàm số y={{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+3mx-m. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

       A. 0<m<1              B. m<0                  C. m>1                   D. left[ begin{array}{l}m<0\m>1end{array} right.

                                                               Lời giải:

Ta có y'=3{{x}^{2}}-2(2m+1)x+3m

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt Leftrightarrow Delta '>0Leftrightarrow {{(2m+1)}^{2}}-3.3m>0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5m+1>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>1\m<frac{1}{4}end{array} right.

Khi đó hai cực trị {{x}_{1}},{{x}_{2}} thỏa mãn hệ thức Viet left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{{2(2m+1)}}{3}\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=mend{array} right.

Hai cực trị này nằm về hai phía cua trục tung Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m<0.

Vậy m<0.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c,,(ane 0) có ba điểm cực trị tạo thành:

       a) Tam giác vuông.                             

       b) Tam giác đều.

       c) Tam giác có diện tích bằng {{S}_{0}}.

                                                              Lời giải:

y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x(2a{{x}^{2}}+b)Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\2a{{x}^{2}}+b=0end{array} right.

Với ab<0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A(0;c),,B(-sqrt{{-frac{b}{{2a}}}};frac{{-{{b}^{2}}+4ac}}{{4a}});,,C(sqrt{{-frac{b}{{2a}}}};frac{{-{{b}^{2}}+4ac}}{{4a}})

Ta có AB=AC=sqrt{{frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}-frac{b}{{2a}}}};,,BC=2sqrt{{-frac{b}{{2a}}}}Rightarrow Delta ABC cân tại A.

a) Do điểm A luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C nên tam giác ABC vuông cân tại A 

       Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}Leftrightarrow frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}+frac{b}{{2a}}=0Leftrightarrow  frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-8

b) Delta ABC đều  Leftrightarrow AB=BCLeftrightarrow -frac{b}{{2a}}+frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}=-frac{{2b}}{a}Leftrightarrow  frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-24

“Vuông -8, đều -24”

c) Diện tích tam giác ABC là: S=sqrt{{-frac{{{{b}^{5}}}}{{32{{a}^{3}}}}}}

 Ví dụ 5.4 (Đề minh họa THPTQG 2017 Lần 1)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

       A. m=-frac{1}{{sqrt[3]{9}}}                    B. m=-1                    C. m=frac{1}{{sqrt[3]{9}}}                      D. m=1

                                                               Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có y'=4{{x}^{3}}+4mx=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=-mend{array} right.

Hàm số có 3 cực trị Leftrightarrow m<0. Khi đó y(0)=1;,,y(sqrt{{-m}})=y(-sqrt{{-m}})=1-{{m}^{2}}. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A(0;1);,B(sqrt{{-m}};1-{{m}^{2}});,C(-sqrt{{-m}};1-{{m}^{2}})

Ta có A{{B}^{2}}=-m+{{m}^{4}};,,A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{4}};,,B{{C}^{2}}=-4m

Do AB=AC nên Delta ABC cân tại A. Để Delta ABC
Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}Leftrightarrow -2m+2{{m}^{4}}=-4mLeftrightarrow 2{{m}^{4}}+2m=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=0,,,,(L)\m=-1,,,(TM)end{array} right.

Vậy chọn đáp án B.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông Leftrightarrow frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-8Leftrightarrow frac{{{{{(2m)}}^{3}}}}{1}=-8Leftrightarrow 2m=-2Leftrightarrow m=-1.

Ví dụ 5.5 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m-1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

      A. m=3                      B. m=0                       C. m>0                      D. m=sqrt[3]{3}

                                                                Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x({{x}^{2}}-m)Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=mend{array} right.

Hàm số có 3 cực trị Leftrightarrow m>0. Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;m-1);,,B(sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1);,C(-sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1)

A{{B}^{2}}=m+{{m}^{4}};,,A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}};,,B{{C}^{2}}=4mRightarrow Delta ABC cân tại A.

Do đó Delta ABC đều Leftrightarrow AB=BCLeftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=4mLeftrightarrow {{m}^{4}}=3mLeftrightarrow left[ begin{array}{l}m=0\m=sqrt[3]{3}end{array} right.

Vì m>0Rightarrow m=sqrt[3]{3}. Chọn đáp án D.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức ta có frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-24Leftrightarrow frac{{{{{(-2m)}}^{3}}}}{1}=-24Leftrightarrow m=sqrt[3]{3}.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.6: Cho hàm số y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+{{m}^{4}}. Với giá trị nào của m thì đồ thị ({{C}_{m}}) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

      A. m=sqrt[5]{{16}}.                  B. m=16.                    C. m=sqrt[3]{{16}}.                    D. m=-sqrt[3]{{16}}.

                                                                  Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có y'=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=mend{array} right.. Hàm số có 3 cực trị thì y'=0 có 3 nghiệm phân biệtLeftrightarrow m>0

Khi đóA(0;2m+{{m}^{4}});,B(sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m+{{m}^{4}});,C(-sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m+{{m}^{4}}) là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Diện tích tam giác ABC là {{S}_{{ABC}}}={{m}^{2}}sqrt{m}.

Theo giả thiết có {{m}^{2}}sqrt{m}=4Leftrightarrow m=sqrt[5]{{16}}.

Chọn A.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Hàm số có 3 cực trị Leftrightarrow ab<0Leftrightarrow m>0.

Khi đó diện tích tam giác S=sqrt{{-frac{{{{b}^{5}}}}{{32{{a}^{3}}}}}}=4Leftrightarrow -frac{{{{{(-2m)}}^{5}}}}{{32}}=16Leftrightarrow {{m}^{5}}=16Leftrightarrow m=sqrt[5]{{16}}.

Leave a Comment