Đường thẳng song song với mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng $displaystyle d$ và mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

$displaystyle d$ và $displaystyle left( alpha right)$ cắt nhau tại điểm $displaystyle M$ , kí hiêu $displaystyle left{ M right}=dcap left( alpha right)$ hoặc để đơn giản ta kí hiệu $displaystyle M=dcap left( alpha right)$ (h1)
$displaystyle d$ song song với $displaystyle left( alpha right)$ , kí hiệu $displaystyle dparallel left( alpha right)$ hoặc $displaystyle left( alpha right)parallel d$ ( h2)
$displaystyle d$ nằm trong $displaystyle left( alpha right)$ , kí hiệu $displaystyle dsubset left( alpha right)$ (h3)

2. Các định lí và tính chất.

Nếu đường thẳng $displaystyle d$ không nằm trong mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ và $displaystyle d$ song song với đường thẳng $displaystyle d'$ nằm trong $displaystyle left( alpha right)$ thì $displaystyle d$ song song với $displaystyle left( alpha right)$ .

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}dnotsubset left( alpha right)\dparallel d'\d'subset left( alpha right)end{array} right.Rightarrow dparallel left( alpha right)$

Cho đường thẳng $displaystyle d$ song song với mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ . Nếu mặt phẳng $displaystyle left( beta right)$ đi qua $displaystyle d$ và cắt $displaystyle left( alpha right)$ theo giao tuyến $displaystyle d'$ thì $displaystyle d'parallel d$ .

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}dparallel left( alpha right)\dsubset left( beta right)\left( alpha right)cap left( beta right)=d'end{array} right.Rightarrow d'parallel d$ .

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}left( alpha right)parallel d\left( beta right)parallel d\left( alpha right)cap left( beta right)=d'end{array} right.Rightarrow d'parallel d$ .

4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

B. Bài tập

Dạng 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng $displaystyle d$ songsong với mặt phẳng
$displaystyle left( alpha right)$
ta chứng minh $displaystyle d$ song song với một đường thẳng $displaystyle d'$ nằm trong $displaystyle left( alpha right)$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $displaystyle ABCD$ và $displaystyle ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là $displaystyle O$ và $displaystyle O'$ .

a) Chứng minh $displaystyle OO'$ song song với các mặt phẳng $displaystyle left( ADF right)$ và $displaystyle left( BCE right)$ .

b) Gọi $displaystyle M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $displaystyle AE,BD$ sao cho $displaystyle AM=frac{1}{3}AE,BN=frac{1}{3}BD$ . Chứng minh $displaystyle MN$ song song với $displaystyle left( CDEF right)$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 25 ý tưởng thiết kế phòng bếp nhỏ đẹp cho các căn hộ chung cư 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle OO'$ là đường trung bình của tam giác $displaystyle BDF$ ứng với cạnh $displaystyle DF$ nên $displaystyle OO'parallel DF$ , $displaystyle DFsubset left( ADF right)$

$displaystyle Rightarrow OO'parallel left( ADF right)$ .

Tương tự, $displaystyle OO'$ là đường trung bình của tam giác $displaystyle ACE$ ứng với cạnh $displaystyle CE$ nên $displaystyle OO'parallel CE$ , $displaystyle CEsubset left( CBE right)Rightarrow OO'parallel left( BCE right)$ .

b) Trong $displaystyle left( ABCD right)$ , gọi $displaystyle I=ANcap CD$

Do $displaystyle ABparallel CD$ nên $displaystyle frac{AN}{AI}=frac{BN}{BD}Rightarrow frac{AN}{AI}=frac{1}{3}$ .

Lại có $displaystyle frac{AM}{AE}=frac{1}{3}Rightarrow frac{AN}{AI}=frac{AM}{AE}$ $displaystyle Rightarrow MNparallel IE$ .

Mà $displaystyle Iin CDRightarrow IEsubset left( CDEF right)Rightarrow MNparallel left( CDEF right)$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là một hình bình hành. Gọi $displaystyle G$ là trọng tâm tam giác $displaystyle SAB$ , $displaystyle I$ là trung điểm của $displaystyle AB$ và $displaystyle M$ là điểm trên cạnh $displaystyle AD$ sao cho $displaystyle AM=frac{1}{3}AD$ .

a) Đường thẳng đi qua $displaystyle M$ và song song với $displaystyle AB$ cắt $displaystyle CI$ tại $displaystyle N$ . Chứng minh $displaystyle NGparallel left( SCD right)$ .

b) Chứng minh $displaystyle MGparallel left( SCD right)$ .

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle frac{IN}{IC}=frac{BJ}{BC}=frac{AM}{AD}=frac{1}{3}$ , $displaystyle frac{IG}{IS}=frac{1}{3}$

$displaystyle Rightarrow frac{IN}{IC}=frac{IG}{IS}Rightarrow NGparallel SC$ ,

mà $displaystyle SCsubset left( SCD right)$

$displaystyle Rightarrow NGparallel left( SCD right)$ .

b) Gọi $displaystyle E$ là giao điểm của $displaystyle IM$ và $displaystyle CD$

Ta có $displaystyle frac{IM}{IE}=frac{AM}{AD}=frac{1}{3}Rightarrow frac{IM}{IE}=frac{IG}{IS}$

$displaystyle Rightarrow MGparallel SE$ , $displaystyle SEsubset left( SCD right)Rightarrow GMparallel left( SCD right)$ .

Dạng 2: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc $displaystyle left( alpha right)$ chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: $displaystyle left{ begin{array}{l}left( alpha right)parallel d\dsubset left( beta right)\Min left( alpha right)cap left( beta right)end{array} right.Rightarrow left( alpha right)cap left( beta right)=d'parallel d,Min d'$

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ , $displaystyle M$ và $displaystyle N$ là hai điểm thuộc cạnh $displaystyle AB$ và $displaystyle CD$ , $displaystyle left( alpha right)$ là mặt phẳng qua $displaystyle MN$ và song song với $displaystyle SA$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp $displaystyle S.ABCD$ khi cắt bởi $displaystyle left( alpha right)$ .

b) Tìm điều kiện của $displaystyle MN$ để thiết diện là một hình thang.

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}Min left( alpha right)cap left( SAB right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAB right)end{array} right.$ $displaystyle Rightarrow left( SAB right)cap left( alpha right)=MQparallel SA,Qin SB$ .

Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle I=ACcap MN$

$displaystyle left{ begin{array}{l}Iin MNsubset left( alpha right)\Iin ACsubset left( SAC right)end{array} right.Rightarrow Iin left( alpha right)cap left( SAC right)$

Vậy $displaystyle begin{array}{l}left{ begin{array}{l}Iin left( SAC right)cap left( alpha right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAC right)end{array} right.\Rightarrow left( SAC right)cap left( alpha right)=IPparallel SA,Pin SCend{array}$

Từ đó ta có $displaystyle left( alpha right)cap left( SBC right)=PQ,left( alpha right)cap left( SAD right)=NP$ .

Thiết diện là tứ giác $displaystyle MNPQ$ .

b) Tứ giác $displaystyle MNPQ$ là một hình thang khi $displaystyle MNparallel PQ$ hoặc $displaystyle MQparallel NP$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Hướng Dẫn Chăm Sóc Da Vùng Kín Sau Khi Tẩy Lông 2022 | Mytranshop.com

Trường hợp 1:

Nếu $displaystyle MQparallel NP$ thì ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}MQparallel NP\MQparallel SAend{array} right.Rightarrow SAparallel NP$

Mà $displaystyle NPsubset left( SCD right)Rightarrow SAparallel left( SCD right)$ (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu $displaystyle MNparallel PQ$ thì ta có các mặt phẳng $displaystyle left( ABCD right),left( alpha right),left( SBC right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $displaystyle MN,BC,PQ$ nên $displaystyle MNparallel BC$ .

Đảo lại nếu $displaystyle MNparallel BC$ thì $displaystyle left{ begin{array}{l}MNsubset left( alpha right)\BCsubset left( SBC right)\PQ=left( alpha right)cap left( SBC right)end{array} right.$

$displaystyle Rightarrow MNparallel PQ$ nên tứ giác $displaystyle MNPQ$ là hình thang.

Vậy để tứ giác $displaystyle MNPQ$ là hình thang thì điều kiện là $displaystyle MNparallel BC$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ , có đáy là hình vuông cạnh $displaystyle a$ và tam giác $displaystyle SAB$ đều. Một điểm $displaystyle M$ thuộc cạnh $displaystyle BC$ sao cho $displaystyle BM=x$ $displaystyle left( 0<x<a right)$ , $displaystyle left( alpha right)$ mặt phẳng đi qua $displaystyle M$ song song với $displaystyle SA$ và $displaystyle SB$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $displaystyle left( alpha right)$ .

b) Tính diện tích thiết diện theo $displaystyle a$ và $displaystyle x$ .

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}Min left( alpha right)cap left( SBC right)\left( alpha right)parallel SB\SBsubset left( SBC right)end{array} right.$ $displaystyle Rightarrow left( alpha right)cap left( SBC right)=MNparallel SB,$

$displaystyle Nin SC$ .Tương tự $displaystyle left{ begin{array}{l}Nin left( SAC right)cap left( alpha right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAC right)end{array} right.$
$displaystyle Rightarrow left( SAC right)cap left( alpha right)=NIparallel SA,Iin AC$

Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle Q=MIcap AD$ , thì ta có

$displaystyle left{ begin{array}{l}Qin left( SAD right)cap left( alpha right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAD right)end{array} right.Rightarrow left( SAD right)cap left( alpha right)=QPparallel SA,Pin SD$ .

Thiết diện là tứ giác $displaystyle MNPQ$ .

b) Do $displaystyle MNparallel SBRightarrow frac{CM}{CB}text{= }frac{CN}{CS}text{ }left( 1 right)$

Lại có $displaystyle INparallel SARightarrow frac{CI}{CA}=frac{CN}{CS}text{ }left( 2 right)$ . Từ $displaystyle left( 1 right)$ và $displaystyle left( 2 right)$ suy ra $displaystyle frac{CM}{CB}=frac{CI}{CA}Rightarrow IMparallel AB$

Mà $displaystyle ABparallel CDRightarrow IMparallel CD$ .

Ba mặt phẳng $displaystyle left( alpha right),left( ABCD right)$ và $displaystyle left( SCD right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $displaystyle MQ,CD,NP$ với $displaystyle MQparallel CDRightarrow MQparallel NP$ .

Vậy $displaystyle MNPQ$ là hình thang.

Ta có $displaystyle frac{MN}{SB}=frac{CM}{CB}=frac{DQ}{DA}=frac{PQ}{SA}$ , mà

$displaystyle SA=SB=aRightarrow MN=PQ$ . Do đó $displaystyle MNPQ$ là hình thang cân.

Từ $displaystyle frac{MN}{SA}=frac{CM}{CB}=frac{a-x}{a}Rightarrow MN=a-x$ ,

$displaystyle frac{PN}{DC}=frac{SN}{SC}=frac{BM}{BC}Rightarrow PN=BM=x$ , $displaystyle frac{IM}{AB}=frac{CM}{CB}Rightarrow IM=CM=a-x$

Gọi $displaystyle J$ là trung điểm của $displaystyle IM$ thì

$displaystyle NJ=sqrt{M{{N}^{2}}-M{{J}^{2}}}=sqrt{{{left( a-x right)}^{2}}-{{left( frac{a-x}{2} right)}^{2}}}=frac{sqrt{3}}{2}left( a-x right)$

$displaystyle {{S}_{MNPQ}}=frac{1}{2}NJleft( MQ+NP right)=frac{1}{2}.frac{sqrt{3}}{2}left( a-x right)left( a+x right)=frac{sqrt{3}}{4}left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} right)$ .

Đường thẳng song song với mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

2. Các định lí và tính chất.

B. Bài tập

Leave a Comment Cancel reply