Đường thẳng song song với mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

Mục lục

A. Lý thuyết cơ bản
- 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
- 2. Các định lí và tính chất.
B. Bài tập

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng $displaystyle d$ và mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

$displaystyle d$ và $displaystyle left( alpha right)$ cắt nhau tại điểm $displaystyle M$ , kí hiêu $displaystyle left{ M right}=dcap left( alpha right)$ hoặc để đơn giản ta kí hiệu $displaystyle M=dcap left( alpha right)$ (h1)
$displaystyle d$ song song với $displaystyle left( alpha right)$ , kí hiệu $displaystyle dparallel left( alpha right)$ hoặc $displaystyle left( alpha right)parallel d$ ( h2)
$displaystyle d$ nằm trong $displaystyle left( alpha right)$ , kí hiệu $displaystyle dsubset left( alpha right)$ (h3)

2. Các định lí và tính chất.

Nếu đường thẳng $displaystyle d$ không nằm trong mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ và $displaystyle d$ song song với đường thẳng $displaystyle d'$ nằm trong $displaystyle left( alpha right)$ thì $displaystyle d$ song song với $displaystyle left( alpha right)$ .

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}dnotsubset left( alpha right)\dparallel d'\d'subset left( alpha right)end{array} right.Rightarrow dparallel left( alpha right)$

Cho đường thẳng $displaystyle d$ song song với mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ . Nếu mặt phẳng $displaystyle left( beta right)$ đi qua $displaystyle d$ và cắt $displaystyle left( alpha right)$ theo giao tuyến $displaystyle d'$ thì $displaystyle d'parallel d$ .

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}dparallel left( alpha right)\dsubset left( beta right)\left( alpha right)cap left( beta right)=d'end{array} right.Rightarrow d'parallel d$ .

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}left( alpha right)parallel d\left( beta right)parallel d\left( alpha right)cap left( beta right)=d'end{array} right.Rightarrow d'parallel d$ .

4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

B. Bài tập

Dạng 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng $displaystyle d$ songsong với mặt phẳng
$displaystyle left( alpha right)$
ta chứng minh $displaystyle d$ song song với một đường thẳng $displaystyle d'$ nằm trong $displaystyle left( alpha right)$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $displaystyle ABCD$ và $displaystyle ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là $displaystyle O$ và $displaystyle O'$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tuyệt chiêu sử dụng lệnh vát góc trong Cad chính xác nhất 2022 | Mytranshop.com

a) Chứng minh $displaystyle OO'$ song song với các mặt phẳng $displaystyle left( ADF right)$ và $displaystyle left( BCE right)$ .

b) Gọi $displaystyle M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $displaystyle AE,BD$ sao cho $displaystyle AM=frac{1}{3}AE,BN=frac{1}{3}BD$ . Chứng minh $displaystyle MN$ song song với $displaystyle left( CDEF right)$ .

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle OO'$ là đường trung bình của tam giác $displaystyle BDF$ ứng với cạnh $displaystyle DF$ nên $displaystyle OO'parallel DF$ , $displaystyle DFsubset left( ADF right)$

$displaystyle Rightarrow OO'parallel left( ADF right)$ .

Tương tự, $displaystyle OO'$ là đường trung bình của tam giác $displaystyle ACE$ ứng với cạnh $displaystyle CE$ nên $displaystyle OO'parallel CE$ , $displaystyle CEsubset left( CBE right)Rightarrow OO'parallel left( BCE right)$ .

b) Trong $displaystyle left( ABCD right)$ , gọi $displaystyle I=ANcap CD$

Do $displaystyle ABparallel CD$ nên $displaystyle frac{AN}{AI}=frac{BN}{BD}Rightarrow frac{AN}{AI}=frac{1}{3}$ .

Lại có $displaystyle frac{AM}{AE}=frac{1}{3}Rightarrow frac{AN}{AI}=frac{AM}{AE}$ $displaystyle Rightarrow MNparallel IE$ .

Mà $displaystyle Iin CDRightarrow IEsubset left( CDEF right)Rightarrow MNparallel left( CDEF right)$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là một hình bình hành. Gọi $displaystyle G$ là trọng tâm tam giác $displaystyle SAB$ , $displaystyle I$ là trung điểm của $displaystyle AB$ và $displaystyle M$ là điểm trên cạnh $displaystyle AD$ sao cho $displaystyle AM=frac{1}{3}AD$ .

a) Đường thẳng đi qua $displaystyle M$ và song song với $displaystyle AB$ cắt $displaystyle CI$ tại $displaystyle N$ . Chứng minh $displaystyle NGparallel left( SCD right)$ .

b) Chứng minh $displaystyle MGparallel left( SCD right)$ .

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle frac{IN}{IC}=frac{BJ}{BC}=frac{AM}{AD}=frac{1}{3}$ , $displaystyle frac{IG}{IS}=frac{1}{3}$

$displaystyle Rightarrow frac{IN}{IC}=frac{IG}{IS}Rightarrow NGparallel SC$ ,

mà $displaystyle SCsubset left( SCD right)$

$displaystyle Rightarrow NGparallel left( SCD right)$ .

b) Gọi $displaystyle E$ là giao điểm của $displaystyle IM$ và $displaystyle CD$

Ta có $displaystyle frac{IM}{IE}=frac{AM}{AD}=frac{1}{3}Rightarrow frac{IM}{IE}=frac{IG}{IS}$

$displaystyle Rightarrow MGparallel SE$ , $displaystyle SEsubset left( SCD right)Rightarrow GMparallel left( SCD right)$ .

Dạng 2: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc $displaystyle left( alpha right)$ chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: $displaystyle left{ begin{array}{l}left( alpha right)parallel d\dsubset left( beta right)\Min left( alpha right)cap left( beta right)end{array} right.Rightarrow left( alpha right)cap left( beta right)=d'parallel d,Min d'$

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ , $displaystyle M$ và $displaystyle N$ là hai điểm thuộc cạnh $displaystyle AB$ và $displaystyle CD$ , $displaystyle left( alpha right)$ là mặt phẳng qua $displaystyle MN$ và song song với $displaystyle SA$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp $displaystyle S.ABCD$ khi cắt bởi $displaystyle left( alpha right)$ .

b) Tìm điều kiện của $displaystyle MN$ để thiết diện là một hình thang.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Uống Sữa Trước Khi Ngủ Có Tốt Không? Nên Uống Khi Nào Thì Tốt 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}Min left( alpha right)cap left( SAB right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAB right)end{array} right.$ $displaystyle Rightarrow left( SAB right)cap left( alpha right)=MQparallel SA,Qin SB$ .

Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle I=ACcap MN$

$displaystyle left{ begin{array}{l}Iin MNsubset left( alpha right)\Iin ACsubset left( SAC right)end{array} right.Rightarrow Iin left( alpha right)cap left( SAC right)$

Vậy $displaystyle begin{array}{l}left{ begin{array}{l}Iin left( SAC right)cap left( alpha right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAC right)end{array} right.\Rightarrow left( SAC right)cap left( alpha right)=IPparallel SA,Pin SCend{array}$

Từ đó ta có $displaystyle left( alpha right)cap left( SBC right)=PQ,left( alpha right)cap left( SAD right)=NP$ .

Thiết diện là tứ giác $displaystyle MNPQ$ .

b) Tứ giác $displaystyle MNPQ$ là một hình thang khi $displaystyle MNparallel PQ$ hoặc $displaystyle MQparallel NP$ .

Trường hợp 1:

Nếu $displaystyle MQparallel NP$ thì ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}MQparallel NP\MQparallel SAend{array} right.Rightarrow SAparallel NP$

Mà $displaystyle NPsubset left( SCD right)Rightarrow SAparallel left( SCD right)$ (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu $displaystyle MNparallel PQ$ thì ta có các mặt phẳng $displaystyle left( ABCD right),left( alpha right),left( SBC right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $displaystyle MN,BC,PQ$ nên $displaystyle MNparallel BC$ .

Đảo lại nếu $displaystyle MNparallel BC$ thì $displaystyle left{ begin{array}{l}MNsubset left( alpha right)\BCsubset left( SBC right)\PQ=left( alpha right)cap left( SBC right)end{array} right.$

$displaystyle Rightarrow MNparallel PQ$ nên tứ giác $displaystyle MNPQ$ là hình thang.

Vậy để tứ giác $displaystyle MNPQ$ là hình thang thì điều kiện là $displaystyle MNparallel BC$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ , có đáy là hình vuông cạnh $displaystyle a$ và tam giác $displaystyle SAB$ đều. Một điểm $displaystyle M$ thuộc cạnh $displaystyle BC$ sao cho $displaystyle BM=x$ $displaystyle left( 0<x<a right)$ , $displaystyle left( alpha right)$ mặt phẳng đi qua $displaystyle M$ song song với $displaystyle SA$ và $displaystyle SB$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $displaystyle left( alpha right)$ .

b) Tính diện tích thiết diện theo $displaystyle a$ và $displaystyle x$ .

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}Min left( alpha right)cap left( SBC right)\left( alpha right)parallel SB\SBsubset left( SBC right)end{array} right.$ $displaystyle Rightarrow left( alpha right)cap left( SBC right)=MNparallel SB,$

$displaystyle Nin SC$ .Tương tự $displaystyle left{ begin{array}{l}Nin left( SAC right)cap left( alpha right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAC right)end{array} right.$
$displaystyle Rightarrow left( SAC right)cap left( alpha right)=NIparallel SA,Iin AC$

Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle Q=MIcap AD$ , thì ta có

$displaystyle left{ begin{array}{l}Qin left( SAD right)cap left( alpha right)\left( alpha right)parallel SA\SAsubset left( SAD right)end{array} right.Rightarrow left( SAD right)cap left( alpha right)=QPparallel SA,Pin SD$ .

Thiết diện là tứ giác $displaystyle MNPQ$ .

b) Do $displaystyle MNparallel SBRightarrow frac{CM}{CB}text{= }frac{CN}{CS}text{ }left( 1 right)$

Lại có $displaystyle INparallel SARightarrow frac{CI}{CA}=frac{CN}{CS}text{ }left( 2 right)$ . Từ $displaystyle left( 1 right)$ và $displaystyle left( 2 right)$ suy ra $displaystyle frac{CM}{CB}=frac{CI}{CA}Rightarrow IMparallel AB$

Mà $displaystyle ABparallel CDRightarrow IMparallel CD$ .

Ba mặt phẳng $displaystyle left( alpha right),left( ABCD right)$ và $displaystyle left( SCD right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $displaystyle MQ,CD,NP$ với $displaystyle MQparallel CDRightarrow MQparallel NP$ .

Vậy $displaystyle MNPQ$ là hình thang.

Ta có $displaystyle frac{MN}{SB}=frac{CM}{CB}=frac{DQ}{DA}=frac{PQ}{SA}$ , mà

$displaystyle SA=SB=aRightarrow MN=PQ$ . Do đó $displaystyle MNPQ$ là hình thang cân.

Từ $displaystyle frac{MN}{SA}=frac{CM}{CB}=frac{a-x}{a}Rightarrow MN=a-x$ ,

$displaystyle frac{PN}{DC}=frac{SN}{SC}=frac{BM}{BC}Rightarrow PN=BM=x$ , $displaystyle frac{IM}{AB}=frac{CM}{CB}Rightarrow IM=CM=a-x$

Gọi $displaystyle J$ là trung điểm của $displaystyle IM$ thì

$displaystyle NJ=sqrt{M{{N}^{2}}-M{{J}^{2}}}=sqrt{{{left( a-x right)}^{2}}-{{left( frac{a-x}{2} right)}^{2}}}=frac{sqrt{3}}{2}left( a-x right)$

$displaystyle {{S}_{MNPQ}}=frac{1}{2}NJleft( MQ+NP right)=frac{1}{2}.frac{sqrt{3}}{2}left( a-x right)left( a+x right)=frac{sqrt{3}}{4}left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} right)$ .

Đường thẳng song song với mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

2. Các định lí và tính chất.

B. Bài tập

Leave a Comment Cancel reply