Hàm số bậc hai, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

 

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa:

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y=a{{x}^{2}}+bx+cleft( ane 0 right).

2. Sự biến thiên

bullet text{  }TXĐ: D=mathbb{R}

bullet text{  }Khi a>0 hàm số đồng biến trên left( -frac{b}{2a};+infty  right), nghịch biến trênleft( -infty ;-frac{b}{2a} right) và có giá trị nhỏ nhất là -frac{Delta }{4a} khi x=-frac{b}{2a}. Khi a<0 hàm số đồng biến trên left( -infty ;-frac{b}{2a} right), nghịch biến trên left( -frac{b}{2a};+infty  right) và có giá trị lớn nhất là -frac{Delta }{4a} khi x=-frac{b}{2a}.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Khi a>0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là Ileft( -frac{b}{2a};-frac{Delta }{4a} right)

Khi a<0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là Ileft( -frac{b}{2a};-frac{Delta }{4a} right)

Đồ thị nhận đường thẳng x=-frac{b}{2a} làm trục đối xứng.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

  • DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI .

1. Phương pháp giải.

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm lày=a{{x}^{2}}+bx+c,,ane 0. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn displaystyle a,,b,c, từ đó suy ra hàm số cần tìm.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Xác định parabol left( P right)y=a{{x}^{2}}+bx+cane 0 biết:

a) left( P right) đi qua A(2;3) có đỉnh I(1;2)

b) c=2 và left( P right) đi qua Bleft( 3;-4 right) và có trục đối xứng là displaystyle x=-frac{3}{2}.

c) Hàm số y=a{{x}^{2}}+bx+c có giá trị nhỏ nhất bằng frac{3}{4} khi x=frac{1}{2} và nhận giá trị

bằng 1 khidisplaystyle x=1.

d) left( P right) đi qua M(4;3) cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho Delta INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3.

Lời giải:

a) Vì Ain left( P right) nên 3=4a+2b+c (1).

Mặt khác left( P right) có đỉnh I(1;2) nên -frac{b}{2a}=1Leftrightarrow 2a+b=0 (2) và Iin left( P right) suy ra 2=a+b+c (3)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Phong cách thiết kế nội thất Brutalism với những nét thô mộc tinh tế 2022 | Mytranshop.com

Từ (1), (2) và (3) ta có left{ begin{array}{l}4a+2b+c=3\2a+b=0\a+b+c=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=1\b=-2\c=3end{array} right.

Vậy left( P right) cần tìm là displaystyle y={{x}^{2}}-2x+3.

b) Ta có c=2 và left( P right) đi qua Bleft( 3;-4 right) nên -4=9a+3b+2Leftrightarrow 3a+b=-2 (4)

left( P right) có trục đối xứng là displaystyle x=-frac{3}{2} nên -frac{b}{2a}=-frac{3}{2}Leftrightarrow b=3a thay vào (4) ta được:

 3a+3a=-2Leftrightarrow a=-frac{1}{3}Rightarrow b=-1 .

Vậy left( P right) cần tìm là displaystyle y=-frac{1}{3}{{x}^{2}}-x+2.

c) Hàm số y=a{{x}^{2}}+bx+c có giá trị nhỏ nhất bằng frac{3}{4} khi x=frac{1}{2} nên ta có

         -frac{b}{2a}=frac{1}{2}Leftrightarrow a+b=0 (5),,,frac{3}{4}=a{{left( frac{1}{2} right)}^{2}}+bleft( frac{1}{2} right)+cLeftrightarrow a+2b+4c=3 (6) và displaystyle a>0

Hàm số y=a{{x}^{2}}+bx+c nhận giá trị bằng 1 khidisplaystyle x=1 nên a+b+c=1(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có left{ begin{array}{l}a+b=0\a+2b+4c=3\a+b+c=1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=1\b=-1\c=1end{array} right.

Vậy left( P right) cần tìm là displaystyle y={{x}^{2}}-x+1.

d) Vì left( P right) đi qua M(4;3) nên 3=16a+4b+c (8)

Mặt khác left( P right) cắt Ox tại N(3;0) suy ra 0=9a+3b+c(9), left( P right) cắt Ox tại P nên Pleft( t;0 right),,,t<3

Theo định lý Viét ta có 

Ta có {{S}_{Delta IBC}}=frac{1}{2}IH.NP với H là hình chiếu của Ileft( -frac{b}{2a};-frac{Delta }{4a} right) lên trục hoành

Do IH=left| -frac{Delta }{4a} right|NP=3-t nên {{S}_{Delta INP}}=1Leftrightarrow frac{1}{2}left| -frac{Delta }{4a} right|.left( 3-t right)=1

              Leftrightarrow left( 3-t right)left| {{left( frac{b}{2a} right)}^{2}}-frac{c}{a} right|=left| frac{2}{a} right|Leftrightarrow left( 3-t right)left| {{frac{left( t+3 right)}{4}}^{2}}-3t right|=left| frac{2}{a} right|Leftrightarrow {{left( 3-t right)}^{3}}=frac{8}{left| a right|} (10)

Từ (8) và (9) ta có 7a+b=3Leftrightarrow b=3-7a suy ra t+3=-frac{3-7a}{a}Leftrightarrow frac{1}{a}=frac{4-t}{3}

Thay vào (10) ta có {{left( 3-t right)}^{3}}=frac{8left( 4-t right)}{3}Leftrightarrow 3{{t}^{3}}-27{{t}^{2}}+73t-49=0Leftrightarrow t=1

Suy ra displaystyle a=1Rightarrow b=-4Rightarrow c=3.

Vậy left( P right) cần tìm là displaystyle y={{x}^{2}}-4x+3.

  • DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI.

1. Phương pháp giải

Để vẽ đường parabol y=a{{x}^{2}}+bx+c ta thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh Ileft( -frac{b}{2a};-frac{Delta }{4a} right).

– Xác định trục đối xứng x=-frac{b}{2a} và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Tất tần tần về vị trí hậu vệ đá bóng cần biết 2022 | Mytranshop.com

a) y={{x}^{2}}+3x+2                                           b) y=-{{x}^{2}}+2sqrt{2}x

Lời giải:

a) Ta có -frac{b}{2a}=-frac{3}{2},,,-frac{Delta }{4a}=-frac{1}{4}

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y={{x}^{2}}+3x+2 có đỉnh là Ileft( -frac{3}{2};-frac{1}{4} right), đi qua các điểm

 Aleft( -2;0 right),,,Bleft( -1;0 right),,,Cleft( 0;2 right),,,Dleft( -3;2 right)

Nhận đường thẳng displaystyle x=-frac{3}{2} làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

b) Ta có -frac{b}{2a}=sqrt{2},,,-frac{Delta }{4a}=2

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y=-{{x}^{2}}+2sqrt{2}x có đỉnh là Ileft( sqrt{2};2 right), đi qua các điểm Oleft( 0;0 right),,,Bleft( 2sqrt{2};0 right)

Nhận đường thẳng displaystyle x=sqrt{2} làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ví dụ 2: Cho hàm số y={{x}^{2}}-6x+8

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y=m và đồ thị hàm số trên

c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên left[ -1;5 right]

Lời giải:

a) Ta có -frac{b}{2a}=3,,,-frac{Delta }{4a}=-1

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y={{x}^{2}}+3x+2 có đỉnh là Ileft( 3;-1 right), đi qua các điểm Aleft( 2;0 right),,,Bleft( 4;0 right)

Nhận đường thẳng displaystyle x=3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

b) Đường thẳng y=m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có

Với m<-1 đường thẳng y=m và parabol y={{x}^{2}}-6x+8 không cắt nhau

Với m=-1 đường thẳng y=m và parabol y={{x}^{2}}-6x+8 cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc)

Với m>-1 đường thẳng y=m và parabol y={{x}^{2}}-6x+8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Bầu 4 tháng đi bộ nhiều có sao không? Có lợi ích gì? 2022 | Mytranshop.com

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi xin left( -infty ;2 right)cup left( 4;+infty  right).

d) Ta có yleft( -1 right)=15,,,yleft( 5 right)=13,,,yleft( 3 right)=-1, kết hợp với đồ thị hàm số suy ra

displaystyle underset{left[ -1;5 right]}{mathop{max }},y=15 khi và chỉ khi x=-1

displaystyle underset{left[ -1;5 right]}{mathop{min }},y=-1 khi và chỉ khi x=3

  • DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số sau

a) 

b) 

Lời giải

a) Đồ thị hàm số  

gồm :

+ Vẽ đường thẳng y=x-2 đi qua displaystyle text{A}left( 2;0 right),,,Bleft( 0;-2 right) và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng displaystyle x=2

+ Parabol y=-{{x}^{2}}+2x có đỉnh Ileft( 1;2 right), trục đối xứng displaystyle x=1, đi qua các điểm Oleft( 0;0 right),,,Cleft( 2;0 right) và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng displaystyle x=2

 

b) Vẽ parabol left( P right) của đồ thị hàm số y={{x}^{2}}-x-2 có đỉnh Ileft( frac{1}{2};-frac{5}{4} right), trục đối xứng displaystyle x=frac{1}{2}, đi qua các điểm Aleft( -1;0 right),,,Bleft( 2;0 right),,C,left( 0;-2 right),,,Dleft( 1;-2 right).

Khi đó đồ thị hàm số y=left| {{x}^{2}}-x-2 right| gồm

+ Phần parabol left( P right) nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của left( P right) nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số  y={{x}^{2}}-3left| x right|+2                 

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số left( P right):,y={{x}^{2}}-3x+2 có đỉnh Ileft( frac{3}{2};-frac{1}{4} right), trục đối xứng displaystyle x=frac{3}{2}, đi qua các điểm Aleft( 1;0 right),,,Bleft( 2;0 right),,C,left( 0;2 right),,,Dleft( 3;2 right). Bề lõm hướng lên trên.

Khi đó đồ thị hàm số y={{x}^{2}}-3left| x right|+2 là left( {{P}_{1}} right) gồm phần bên phải trục tung của left( P right) và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.

 

Leave a Comment