Bất đẳng thức , trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa :

Cho a,,,b là hai số thực. Các mệnh đề ''a>b'',,,''a<b'',,,''age b'',,,''ale b'' được gọi là những bất đẳng thức.

2. Tính chất :

    * displaystyle a>b và b>cRightarrow a>c

    * a>bLeftrightarrow a+c>b+c

    * a>b và c>dRightarrow a+c>b+d

    * Nếu c>0 thì a>bLeftrightarrow ac>bc

Nếu c<0 thì a>bLeftrightarrow ac<bc

    * a>bge 0Rightarrow sqrt{a}>sqrt{b}

    * age bge 0Leftrightarrow {{a}^{2}}ge {{b}^{2}}

    *a>bge 0Rightarrow {{a}^{n}}>{{b}^{n}}

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.

    * -left| a right|le ale left| a right| với mọi số thực displaystyle a .

    * left| x right|<aLeftrightarrow -a<x<a ( Với a>0).

    * left| x right|>aLeftrightarrow left[ begin{array}{l}x>a\x<-aend{array} right. ( Với a>0).

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

    a) Đối với hai số không âm    

Cho displaystyle age 0,,,bge text{0}, ta có frac{a+b}{2}ge sqrt{ab} . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b.

    Hệ quả :

* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

    b) Đối với ba số không âm

Cho age 0,,,bge 0,,,cge 0, ta có frac{a+b+c}{3}ge sqrt[3]{abc}. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

    1. Phương pháp giải.

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) Age B ta có thể sử dụng các cách sau:

Ta đi chứng minh A-Bge 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A-B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

    2. Các ví dụ minh họa.

    Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

    Ví dụ 1 : Cho hai số thực a,b,c. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau

a) able frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}                                         b) able {{left( frac{a+b}{2} right)}^{2}}

c) displaystyle 3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)ge {{left( a+b+c right)}^{2}}        d) displaystyle {{left( a+b+c right)}^{2}}ge 3left( ab+bc+ca right)

Lời giải:

a) Ta có {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{(a-b)}^{2}}ge 0Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge 2ab. Đẳng thứcLeftrightarrow a=b.

b) Bất đẳng thức tương đương với {{left( frac{a+b}{2} right)}^{2}}-abge 0

              Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}ge 4abLeftrightarrow {{left( a-b right)}^{2}}ge 0 (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy raLeftrightarrow a=b

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Uống sữa bắp có tăng vòng 1? Bí quyết giúp vòng 1 căng mọng 2022 | Mytranshop.com

c) BĐT tương đương displaystyle 3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca

             Leftrightarrow {{left( a-b right)}^{2}}+{{left( b-c right)}^{2}}+{{left( c-a right)}^{2}}ge 0 (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy raLeftrightarrow a=b=c

d) BĐT tương đương displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2cage 3left( ab+bc+ca right)

             Leftrightarrow 2left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)-2left( ab+bc+ca right)ge 0
             Leftrightarrow {{left( a-b right)}^{2}}+{{left( b-c right)}^{2}}+{{left( c-a right)}^{2}}ge 0 (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy raLeftrightarrow a=b=c

    Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là “bổ đề” trong chứng minh các bất đẳng thức khác.

    Ví dụ 2 : Cho năm số thực a,b,c,d,e. Chứng minh rằng {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}ge a(b+c+d+e).

Lời giải:

Ta có : {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}-a(b+c+d+e)=

        =(frac{{{a}^{2}}}{4}-ab+{{b}^{2}})+(frac{{{a}^{2}}}{4}-ac+{{c}^{2}})+(frac{{{a}^{2}}}{4}-ad+{{d}^{2}})+(frac{{{a}^{2}}}{4}-ae+{{e}^{2}})

        ={{(frac{a}{2}-b)}^{2}}+{{(frac{a}{2}-c)}^{2}}+{{(frac{a}{2}-d)}^{2}}+{{(frac{a}{2}-e)}^{2}}ge 0Rightarrow  đpcm.

Đẳng thức xảy ra Leftrightarrow b=c=d=e=frac{a}{2}.

Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt

* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng

displaystyle ain left[ alpha ;beta right]Rightarrow left( a-alpha right)left( a-beta right)le 0 displaystyle left( * right)

displaystyle a,b,cin left[ alpha ;beta right]Rightarrow left( a-alpha right)left( b-alpha right)left( c-alpha right)+left( beta -a right)left( beta -b right)left( beta -c right)ge 0left( ** right)

    Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<2(ab+bc+ca).

Lời giải:

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :

a+b>cRightarrow ac+bc>{{c}^{2}}. Tương tự

bc+ba>{{b}^{2}};text{ }ca+cb>{{c}^{2}} cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm

    Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT |a-b|<c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả. 

    Ví dụ 8 : Cho a,b,cin [0;1]. Chứng minh : {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a

Lời giải:

Cách 1:
Vì a,b,cin [0;1]Rightarrow (1-{{a}^{2}})(1-{{b}^{2}})(1-{{c}^{2}})ge 0

Leftrightarrow 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} (*)

Ta có : {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}ge 0;text{ }{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}le {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a nên từ (*) ta suy ra

displaystyle {{a}^{text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}le 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a đpcm.

Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với displaystyle {{text{a}}^{text{2}}}left( 1-b right)+{{b}^{2}}left( 1-c right)+{{c}^{2}}left( 1-a right)le 1

Mà displaystyle a,b,cin left[ 0;1 right] displaystyle Rightarrow {{a}^{2}}le a,{{b}^{2}}le b,{{c}^{2}}le c do đó: 

           displaystyle {{a}^{2}}left( 1-b right)+{{b}^{2}}left( 1-c right)+{{c}^{2}}left( 1-a right)le aleft( 1-b right)+bleft( 1-c right)+cleft( 1-a right)

Ta chỉ cần chứng minh displaystyle aleft( 1-b right)+bleft( 1-c right)+cleft( 1-a right)le 1

Thật vậy: vì displaystyle a,b,cin left[ 0;1 right] nên theo nhận xét displaystyle left( ** right) ta có

displaystyle abc+left( 1-a right)left( 1-b right)left( 1-c right)ge 0  displaystyle Leftrightarrow displaystyle a+b+c-left( ab+bc+ca right)le 1

 displaystyle Leftrightarrow displaystyle aleft( 1-b right)+bleft( 1-c right)+cleft( 1-a right)le 1

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

    1. Phương pháp giải.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Chương Hàm số mũ và hàm số logarit, trắc nghiệm toán học lớp 12, có đáp án và lời giải 2022 | Mytranshop.com

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:

* Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm

* BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích

* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

Đối với hai số:{{x}^{2}},,+,{{y}^{2}},,ge ,,2xy;,,,,,,,,{{x}^{2}},,+,{{y}^{2}},,ge ,,frac{{{(x,+,y)}^{2}}}{2};,,,,,,,xyle ,,{{left( frac{x+y}{2} right)}^{2}}.

Đối với ba số: abcle frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{3},,,abcle {{left( frac{a+b+c}{3} right)}^{3}}

    2. Các ví dụ minh họa.

    Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

    Ví dụ 1: Cho displaystyle a,b là số dương thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2. Chứng minh rằng

a) left( frac{a}{b}+frac{b}{a} right)left( frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{a}^{2}}} right)ge 4         b) {{left( a+b right)}^{5}}ge 16absqrt{left( 1+{{a}^{2}} right)left( 1+{{b}^{2}} right)}

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

frac{a}{b}+frac{b}{a}ge 2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2,,,frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{a}^{2}}}ge 2sqrt{frac{a}{{{b}^{2}}}.frac{b}{{{a}^{2}}}}=frac{2}{sqrt{ab}}

Suy ra left( frac{a}{b}+frac{b}{a} right)left( frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{a}^{2}}} right)ge frac{4}{sqrt{ab}} (1)

Mặt khác ta có 2={{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge 2sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=2abRightarrow able 1 (1)

Từ (1) và (2) suy ra left( frac{a}{b}+frac{b}{a} right)left( frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{a}^{2}}} right)ge 4 ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=1.

b) Ta có displaystyle {{left( a+b right)}^{5}}=left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} right)left( {{a}^{3}}+3a{{b}^{2}}+3{{a}^{2}}b+{{b}^{3}} right)

Áp dụng BĐT côsi ta có

displaystyle {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}ge 2sqrt{2ableft( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)}=4sqrt{ab} 

và  displaystyle left( {{a}^{3}}+3a{{b}^{2}} right)+left( 3{{a}^{2}}b+{{b}^{3}} right)ge 2sqrt{left( {{a}^{3}}+3a{{b}^{2}} right)left( 3{{a}^{2}}b+{{b}^{3}} right)}displaystyle =4sqrt{ableft( 1+{{b}^{2}} right)left( {{a}^{2}}+1 right)}

Suy ra displaystyle left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} right)left( {{a}^{3}}+3a{{b}^{2}}+3{{a}^{2}}b+{{b}^{3}} right)displaystyle ge 16absqrt{left( {{a}^{2}}+1 right)left( {{b}^{2}}+1 right)}

Do đó {{left( a+b right)}^{5}}ge 16absqrt{left( 1+{{a}^{2}} right)left( 1+{{b}^{2}} right)} ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=1.

    Ví dụ 2: Cho displaystyle a,b,c là số dương. Chứng minh rằng

a) left( a+frac{1}{b} right)left( b+frac{1}{c} right)left( c+frac{1}{a} right)ge 8

b) {{a}^{2}}(1+{{b}^{2}})+{{b}^{2}}(1+{{c}^{2}})+{{c}^{2}}(1+{{a}^{2}})ge 6abc

c) (1+a)(1+b)(1+c)ge {{left( 1+sqrt[3]{abc} right)}^{3}}

d) {{a}^{2}}sqrt{bc}+{{b}^{2}}sqrt{ac}+{{c}^{2}}sqrt{ab}le {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

                           displaystyle a+frac{1}{b}ge 2sqrt{frac{a}{b}},,,b+frac{1}{c}ge 2sqrt{frac{b}{c}},,,c+frac{1}{a}ge 2sqrt{frac{c}{a}}

Suy ra left( a+frac{1}{b} right)left( b+frac{1}{c} right)left( c+frac{1}{a} right)ge 8sqrt{frac{a}{b}}.sqrt{frac{b}{c}}.sqrt{frac{c}{a}}=8 ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có

1+{{a}^{2}}ge 2sqrt{{{a}^{2}}}=2a, tương tự ta có 1+{{b}^{2}}ge 2b,,,1+{{c}^{2}}ge 2c

Suy ra {{a}^{2}}(1+{{b}^{2}})+{{b}^{2}}(1+{{c}^{2}})+{{c}^{2}}(1+{{a}^{2}})ge 2left( {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a right)

Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}age 3sqrt{{{a}^{2}}b.{{b}^{2}}c.{{c}^{2}}a}=3abc

Suy ra {{a}^{2}}(1+{{b}^{2}})+{{b}^{2}}(1+{{c}^{2}})+{{c}^{2}}(1+{{a}^{2}})ge 6abc. ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

c) Ta có (1+a)(1+b)(1+c)=1+left( ab+bc+ca right)+left( a+b+c right)+abc

Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

          ab+bc+cage 3sqrt[3]{ab.bc.ca}=3{{left( sqrt[3]{abc} right)}^{2}} và displaystyle a+b+cge 3sqrt[3]{abc}

Suy ra (1+a)(1+b)(1+c)ge 1+3{{left( sqrt[3]{abc} right)}^{2}}+3sqrt[3]{abc}+abc={{left( 1+sqrt[3]{abc} right)}^{3}} ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có

               displaystyle {{a}^{2}}sqrt{bc}le {{a}^{2}}left( frac{b+c}{2} right),,,,{{b}^{2}}sqrt{ac}le {{b}^{2}}left( frac{a+c}{2} right),,displaystyle ,{{c}^{2}}sqrt{ab}le {{c}^{2}}left( frac{a+b}{2} right)

Suy ra displaystyle {{a}^{2}}sqrt{bc}+{{b}^{2}}sqrt{ac}+{{c}^{2}}sqrt{ab} displaystyle le frac{{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}a+{{a}^{2}}c+{{c}^{2}}a+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}b}{2} (1)

Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  5 mẫu mặt bằng nhà vườn cấp 4 đẹp nên tham khảo trước khi xây nhà 2022 | Mytranshop.com

                {{a}^{2}}ble frac{{{a}^{3}}+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{3},,,{{b}^{2}}ale frac{{{b}^{3}}+{{b}^{3}}+{{a}^{3}}}{3},,,{{a}^{2}}cle frac{{{a}^{3}}+{{a}^{3}}+{{c}^{3}}}{3},

               {{c}^{2}}ale frac{{{c}^{3}}+{{c}^{3}}+{{a}^{3}}}{3},,,{{b}^{2}}cle frac{{{b}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{3},,,{{c}^{2}}ble frac{{{c}^{3}}+{{c}^{3}}+{{b}^{3}}}{3}

Suy ra {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}a+{{a}^{2}}c+{{c}^{2}}a+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}ble 2left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} right) (2)

Từ (1) và (2) suy ra {{a}^{2}}sqrt{bc}+{{b}^{2}}sqrt{ac}+{{c}^{2}}sqrt{ab}le {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

  • Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.
  • Khi gặp BĐT có dạng x+y+zge a+b+c(hoặc xyzge abc), ta thường đi chứng minh displaystyle x+yge 2a(hoặcdisplaystyle able {{x}^{2}}), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.
  • Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

    Ví dụ 5: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng:

a) displaystyle frac{ab}{c}+frac{bc}{a}+frac{ac}{b}ge a+b+c                       b) displaystyle frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{c}^{2}}}+frac{c}{{{a}^{2}}}ge frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có displaystyle frac{ab}{c}+frac{bc}{a}ge 2sqrt{frac{ab}{c}.frac{bc}{a}}=2b

Tương tự ta có displaystyle frac{bc}{a}+frac{ac}{b}ge 2c,,,frac{ac}{b}+frac{ba}{c}ge 2a.

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được

              displaystyle 2left( frac{ab}{c}+frac{bc}{a}+frac{ac}{b} right)ge 2left( a+b+c right)displaystyle Leftrightarrow frac{ab}{c}+frac{bc}{a}+frac{ac}{b}ge a+b+c (ĐPCM)

Đẳng thức xảy ra khi displaystyle a=b=c .

b) Áp dụng BĐT côsi ta có displaystyle frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{1}{a}ge 2sqrt{frac{a}{{{b}^{2}}}.frac{1}{a}}=frac{2}{b}

Tương tự ta có displaystyle frac{b}{{{c}^{2}}}+frac{1}{b}ge frac{2}{c},,,frac{c}{{{a}^{2}}}+frac{1}{c}ge frac{2}{a}

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được

          displaystyle frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{c}^{2}}}+frac{c}{{{a}^{2}}}+frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}ge frac{2}{a}+frac{2}{b}+frac{2}{c}displaystyle Leftrightarrow frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{c}^{2}}}+frac{c}{{{a}^{2}}}ge frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c} ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi displaystyle a=b=c .

    Ví dụ 6: Cho a,b,c dương sao cho {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3. Chứng minh rằng

a) frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}ge 3abc

b) frac{ab}{c}+frac{bc}{a}+frac{ca}{b}ge 3.

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}ge 2sqrt{frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}.frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}}=2{{b}^{3}}ac

Tương tự ta có frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}ge 2ab{{c}^{3}},,,frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}+frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}ge 2{{a}^{3}}bc

Cộng vế với vế ta có 2left( frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b} right)ge 2abcleft( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)

                          Leftrightarrow frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}ge 3abc. ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi displaystyle a=b=c=1 .

b) BĐT tương đương với {{left( frac{ab}{c}+frac{bc}{a}+frac{ca}{b} right)}^{2}}ge 9

       Leftrightarrow {{left( frac{ab}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{bc}{a} right)}^{2}}+{{left( frac{ca}{b} right)}^{2}}+2left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)ge 9Leftrightarrow {{left( frac{ab}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{bc}{a} right)}^{2}}+{{left( frac{ca}{b} right)}^{2}}ge 3

Áp dụng BĐT côsi ta có{{left( frac{ab}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{bc}{a} right)}^{2}}ge 2sqrt{{{left( frac{ab}{c} right)}^{2}}.{{left( frac{bc}{a} right)}^{2}}}=2{{b}^{2}}

Tương tự ta có {{left( frac{bc}{a} right)}^{2}}+{{left( frac{ca}{b} right)}^{2}}ge 2{{c}^{2}},,,{{left( frac{ca}{b} right)}^{2}}+{{left( frac{ab}{c} right)}^{2}}ge 2{{text{a}}^{2}}

Cộng vế với vế và rút gọn ta được {{left( frac{ab}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{bc}{a} right)}^{2}}+{{left( frac{ca}{b} right)}^{2}}ge 3 ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi displaystyle a=b=c=1 .

Leave a Comment