I – Giao điểm của hai đồ thị
Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2) : y = g(x).
– Toạ độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ: 
– Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x).
Vậy số nghiệm của phương trình trên cũng là số giao điểm của (C1) và (C2).
+ (C1) cắt (C2) tại n điểm khác nhau khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) có n nghiệm phân biệt.
+ (C1) ∩ (C2) = Ø khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm.
* Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Áp dụng tính chất trên để biện luận số nghiệm của một phương trình theo tham số bằng đồ thị, ta biến đổi phương trình sao cho vế bên trái là biểu thức của một hàm số đã vẽ đồ thị, vế bên phải là hàm hằng có chứa tham số với đồ thị là đường thẳng nằm ngang.
Dựa vào sự thay đổi của đường thẳng theo tham số, ta tìm sự tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số và suy ra số nghiệm của phương trình.
II – Đường cong tiếp xúc
– Để chứng minh hai đồ thị (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) tiếp xúc nhau, ta chứng tỏ hoành độ tiếp điểm của chúng phải thoả hệ phương trình:
Trong trường hợp này, (C1) và (C2) có chung tiếp tuyến tại tiếp điểm.
– Đế chứng minh đường cong (C): y = f(x) tiếp xúc với trục hoành, ta có thể chứng tỏ hoành độ tiếp điểm thỏa mãn hệ phương trình:
– Để chứng minh parabol (P) : y = ax2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = px + q, ta có thể chứng tỏ phương trình hoành độ giao điểm ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.
– Với hàm bậc ba ta còn có thể chứng tỏ (C) : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tiếp xúc với trục hoành với điều kiện f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2) = 0.
III- Họ parabol tiếp xúc với đường thẳng cố định
Với các bài toán về họ parabol tiếp xúc với một đường thẳng cố định, ta có thể gặp các yêu cầu:
1. Chứng tỏ họ parabol (Pm) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
2. Chứng tỏ trong các tiếp tuyến với họ parabol (Pm), có một tiếp tuyến cố định.
3. Chứng tỏ các đường cong trong họ parabol (Pm), luôn tiếp xúc nhau tại 1 điểm cố định.
Các yêu cầu trên đều có chung một trong hai cách giải như sau:
a, Nếu họ (Pm) luôn chạy qua điểm cố định, ta chỉ cần chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến với họ (Pm) tại điểm cố định là hằng số (đạo hàm tại điểm cố định là hằng số).
b, Trường hợp họ (Pm) không chạy qua điểm cố định, ta gọi tiếp tuyến phải tìm là (d) : y = Ax + B
Parabol (Pm): y = f(x, m) có tiếp tuyến cố định (d) khi và chỉ khi phương trình f(x, m) = Ax + B luôn có nghiệm kép
Sử dụng điều kiện luôn có nghiệm kép (Δ = 0, ∀m ) dẫn đến việc đồng nhất đa thức và suy ra giá trị của A, B.
Ghi chú:
Với yêu cầu chứng tỏ họ đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định, ta gọi parabol cố định là
(P) : y = ax2 + bx + c.
Họ đường thẳng (dm) : y = f(x, m) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình f(x, m) = ax2 + bx + c luôn có
nghiệm kép. Bài toán Δ = 0 với mọi m cũng dẫn đến việc đồng nhất đa thức để suy ra các giá trị của a, b, c.
IV – Phương trình tiếp tuyến với đường cong
Trong các bài toán tiếp tuyến với đường cong, ta có thể gặp các yêu cầu :
1. Tìm điểm trong mặt phẳng toạ độ để từ đó kẻ được một hoặc hai hoặc ba,… tiếp tuyến đến đồ thị (C) : y = f(x).
2. Tìm các điểm trong mặt phẳng toạ độ để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C) : y = f(x).
3. Tìm các điểm trên một đường thẳng cho trước để từ đó vẽ được một hoặc hai hoặc ba,… tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y = f(x).
4. Tìm giá trị của tham số m để từ một điểm trong mặt phẳng toạ độ vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x, m) và chúng vuông góc nhau.
Với các yêu cầu trên, ta có cách giải tổng quát như sau :
Gọi tiếp tuyến (Δ) tại tiếp điểm M0(x0 ; y0) có phương trình: y – y0 = f'(x0)(x – x0).
Tiếp tuyến qua điểm M(xM ; yM) thì : yM – y0 = f'(x0)(xM – x0) là phương trình theo ẩn số duy nhât x0. Tuỳ theo số nghiệm x0 mà ta có sô tiếp tuyến tương ứng.
Trường hợp có thêm yêu cầu có hai tiếp tuyến vuông góc nhau, ta phải chứng tỏ phương trình trên có hai nghiệm x’ và x” thoả mãn f'(x’).f'(x”) = -1.
V – Điểm cố định mà họ đồ thị (Cm) đi qua
Để tìm toạ độ điểm cố định mà họ đồ thị (Cm) : y = f(x, m) đi qua, ta phân biệt :
a) Trường hợp biểu thức y = f(x, m) chứa tham số m ở bậc một thì ta biến đổi :
y = f(x, m) ⇔ A(x,y)m + B(x,y) = 0. (1)
Điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua có tọa độ thoả phương trình (1) với mọi m, tức có toạ độ là nghiệm của hệ: 
b) Trường hợp biểu thức y = f(x, m) chứa tham số m ở bậc lớn hơn 1, ta biến đổi và sắp xếp biểu thức ở dạng đa thức theo m có bậc nhỏ dần. Chẳng hạn m có bậc 2 :
y = f(x, m) ⇔ A(x,y)m2 + B(x,y)m + C(x,y) = 0. (2)
Tọa độ điểm cố định mà (Cm) : y = f(x, m) luôn đi qua khi m thay đổi là nghiệm của hệ:
VI – Quỹ tích một điểm
Để tìm quỹ tích điểm M(x ; y), ta tiến hành các bước :
– Tìm tọa độ của M theo tham số m:
– Khử m để tìm một hệ thức liên hệ giữa X và y (không còn m) thì đó là phương trình của quỹ tích.
– Giới hạn quỹ tích: Do điều kiện của tham số để có điểm M, sự giới hạn của m cho ta giới hạn của x hoặc y suy ra giới hạn của quỹ tích.
Trường hợp đặc biệt, toạ độ điểm M có dạng :
Biểu thức x hoặc y là hằng số thì đó là phương trình của quỹ tích, biểu thức còn lại phụ thuộc tham số m cho ta giới hạn của quỹ tích.
Ví dụ:
Cho (H) : 
và điểm A(0 ; 1). (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m để :
a) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của (H) ;
b) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Giải
a) Đường thẳng (d) qua A(0 ; 1) với hệ số góc m có phương trình y = mx + 1.
Hoành độ giao điểm của (d) với (H) là nghiệm của phương trình
Đồ thị (H) có đường tiệm cận đứng (Δ) : x = -2 phân cách hai nhánh của (H). Do đó để (d) cắt (H) tại hai
nhánh khác nhau thì (1) phải có hai nghiệm x1, x2 thoả x1 < -2 < x2, tức là
(m – 1)g(-2) < 0 (với g(x) = (m – 1)x2 + 2mx + 1)
⇔ (m – 1)[4(m – 1) – 4m + 1] < 0
⇔ (m – 1)(-3) < 0 ⇔ m > 1.
Vậy với m > 1 thì đường thẳng (d) cắt (H) tại hai nhánh khác nhau của nó.
b) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho -2 ∈ [x1, x2], tức là:
Vậy với m < 1 thì đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).