Các định nghĩa và các phép toán vecto , trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

 

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Định nghĩa    

    · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .

    · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

    · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu .

    · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .

    · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

    · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

    · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Chú ý:

     + Ta còn sử dụng kí hiệu  để biểu diễn vectơ.

     + Qui ước: Vectơ  cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

     + Mọi vectơ  đều bằng nhau.

2. Các phép toán

a. Tổng của hai vectơ

    · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .

    · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .

    · Tính chất: ;        

     ;    

     

b. Hiệu của hai vectơ

    · Vectơ đối của  là vectơ  sao cho . Kí hiệu vectơ đối của  là .

    · Vectơ đối của  là .

    · .

Chú ý:

+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB <=> 

+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC <=> 

c. Tích của vecto với một số

· Cho vectơ  và số k ∈ R.  là một vectơ được xác định như sau:

        +  cùng hướng với  nếu k ≠ 0,  ngược hướng với  nếu k < 0.

        + .

    · Tính chất:    

       ;    

      ;     

     

      <=> k = 0 hoặc .

    · Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
 và   cùng phương .

    · Điều kiện ba điểm thẳng hàng:    A, B, C thẳng hàng <=> ∃k ≠ 0: .

    · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương  và  tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: .

    Chú ý:

    · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

        M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

             +   

             +   (O tuỳ ý).

    · Hệ thức trọng tâm tam giác:

        G là trọng tâm của tam giác ABC  thì: 
             + 
             +  (O tuỳ ý).

B – BÀI TẬP

Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng

Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là 

Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 

Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ  khác . Tìm điểm M sao cho  cùng phương 

Hướng dẫn giải:

Gọi D là giá của 

Nếu  cùng phương  thì đường thẳng AM// D

Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // D

Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì  cùng phương 

Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau

Ta có thể dùng một trong các cách sau:

+ Sử dụng định nghĩa: 

+ Sử dụng tính chất của các hình. Nếu ABCD là hình bình hành thì

                             ,… (hoặc viết ngược lại)

+ Nếu 

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: 

Hướng dẫn giải:

Cách 1: EF là đường trung bình của D ABC nên EF//CD,

EF=BC=CD <=> EF=CD <=>  (1)

 cùng hướng  (2)

Từ (1),(2) suy ra  

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành

    EF=BC=CD và EF//CD <=> EFDC là hình bình hành <=>    

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.

Chứng minh: 

Hướng dẫn giải:

Ta có MC//AN và MC=AN <=> MACN là hình bình hành <=> 

Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm

của MD <=> =. Tứ giá IMKN là hình bình hành,

suy ra = <=> 

Dạng 3: Các phép toán vecto

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD.
Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

a) Tìm tổng 

b) Chứng minh : 

Hướng dẫn giải:

a) + Vì  nên ta có

                = ==

+ Vì  nên ta có

                = ==

+ Vì  nên ta có

               = =, E là đỉnh của hình bình hành AMED.

b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có 

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên 

Vậy 

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau:

Hướng dẫn giải:

a) , vì Þ k=

b) k= –        c) k= –

Dạng 3: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương

Ví dụ 1: Cho D ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ  theo hai vectơ .

Giải:
Ta có 

    

    

    

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ  theo hai vectơ .

Hướng dẫn giải:

    Ta có 

    mà 

    <=> 

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có 

<=> VT=(đpcm)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì .

Hướng dẫn giải: