Lý thuyết toán học trọng tâm
Bài tập toán học ôn luyện theo Level
Preview
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Lý thuyết cơ bản
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho ba trục vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc . Gọi là các vecto đơn vị tương ứng trên các trục . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc (hoặc đơn giản là hệ tọa độ ).
Chú ý: và .
2. Tọa độ của vec to
Định nghĩa:
Tính chất: Cho , ta có:
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+
+.
+ cùng phương với .
.
+ .
3. Tọa độ của điểm
– Định nghĩa: .
– Tính chất: Cho
.
– Tọa độ trung điểm của đoạn : .
– Tọa độ trọng tâm của tam giác :
.
– Tọa độ trọng tâm của tứ diện là:
.
4. Tích có hướng của hai vecto
– Định nghĩa: Cho
– Tính chất:
+ ; ; .
+ ; .
+ .
+ cùng phương .
– Ứng dụng của tích có hướng:
+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto: và đồng phẳng ⇔.
+ Diện tích hình bình hành ABCD: .
+ Diện tích hình tam giác ABC: .
+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: .
+ Thể tích tứ diện ABCD: .
B. Bài tập
Dạng 1. Tìm tọa độ của điểm, vecto và các yếu tố liên quan đến vecto thỏa mãn một số điều kiện cho trước
A. Phương pháp
Các điểm đặc biệt của :
+ là trọng tâm của
.
+ là trực tâm của ( đồng phẳng).
+ là chân đường cao hạ từ đỉnh của .
+ là chân đường phân giác trong của góc .
Các điểm đặc biệt của tứ diện
– Trọng tâm của tứ diện là
.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto . Tìm tọa độ điểm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có .
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.2: Cho vecto , tọa độ vecto là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.3: Cho ba vecto , tọa độ vecto thỏa mãn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.4: Cho vecto , trong các vecto sau, vecto nào cùng phương với ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
cùng phương với Chọn B.
Ví dụ 1.5: Trong không gian , cho 2 vecto , tích vô hướng của và có giá trị bằng
A. 18. B. 34. C. 14. D. 0.
Lời giải:
Ta có .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.6: Trong không gian , cho ba điểm . Tính bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có .
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 1.7: Cho ba điểm . Tọa độ trọng tâm của tam giác là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Tọa độ trọng tâm của tam giác là .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.8: Trong không gian , cho tứ diện có, . Tọa độ trọng tâm của tứ diện là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Trọng tâm của tứ diện là .
Chọn đáp án C.
Ví dụ 1.9: Trong không gian , cho tam giác với . Xác định tọa độ điểm để là hình bình hành.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Để là hình bình hành thì .
Ta có .
Gọi .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.10: Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác có , và . Tìm tọa độ đỉnh ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Do là hình lăng trụ nên .
Chọn đáp án C.
Ví dụ 1.11: Cho hình hộp biết .
a) Xác định tọa độ đỉnh của hình hộp.
A. . B. . C. . D. .
b) Xác định tọa độ đỉnh của hình hộp.
A. . B. . C. . D. .
c) Xác định tọa độ đỉnh của hình hộp.
A. . B. . C. . D. .
d) Xác định tọa độ đỉnh của hình hộp.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
a) Gọi , ta có .
.
.
Chọn đáp án B.
b) Gọi . Ta có .
.
.
Chọn đáp án D.
c) Gọi , ta có .
.
.
Chọn đáp án A.
d) Gọi , ta có .
.
.
Chọn đáp án C.
Dạng 2. Tích có hướng và ứng dụng
Ví dụ 2.1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vecto . Tính .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2.2: Trong không gian , cho các điểm . Tính diện tích tam giác ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
.
.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2.3: Trong không gian , cho điểm . Điểm trong mặt phẳng có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện bằng 2 và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng 1 có thể là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Do với .
Theo giả thiết: .
Ta có .
Suy ra .
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2.4: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có điểm trùng với gốc tọa độ, với . Gọi là trung điểm cạnh . Giả sử , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Ta có .
Suy ra .
.
Do nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
.
Suy ra .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.5 (THPT Nguyễn Khuyến TP HCM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp chữ nhật có trùng với gộc tọa độ , các đỉnh , với và . Gọi là trung điểm của cạnh . Khi đó thể tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Tọa độ điểm .
.
.
.
Ta có .
.
Chọn đáp án C.