Công thức lượng giác , trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Công thức cộng:

begin{array}{l}sin (a+b),,=,,sin a.cos b,,+,,sin b.cos a\sin (a-b),,=,,sin a.cos b-sin b.cos a\cos (a+b),,=,,cos a.cos b,,-,,sin a.sin b\cos (a-b),,=,,cos a.cos b,+,,sin a.sin b\tan (a+b),,=,,frac{tan a+tan b}{1-tan a.tan b}\tan (a-b),,=,,frac{tan a-tan b}{1+tan a.tan b}end{array}

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi.

        displaystyle sin 2alpha =2sin alpha .cos alpha

        cos 2alpha ,,=,,{{cos }^{2}}alpha -{{sin }^{2}}alpha ,,=,,2{{cos }^{2}}alpha -1,,=,,1-2{{sin }^{2}}alpha

        tan 2alpha ,,=,,frac{2tan alpha }{1-{{tan }^{2}}alpha }    

b) Công thức hạ bậc.     

        begin{array}{l}{{sin }^{2}}alpha ,,=,,frac{1-cos 2alpha }{2}\{{cos }^{2}}alpha ,=,,frac{1+cos 2alpha }{2}\{{tan }^{2}}alpha ,=,,frac{1-cos 2alpha }{1+cos 2alpha }end{array}

3. Công thức biến đổi tích thành tổng.

        begin{array}{l}cos acos b=frac{1}{2}left[ cos (a+b)+cos (a-b) right]\sin asin b=-frac{1}{2}left[ cos (a+b)-cos (a-b) right]\sin acos b=frac{1}{2}left[ sin (a+b)+sin (a-b) right]end{array}

4. Công thức biển đổi tổng thành tích.

        cos a+cos b,,=,,2cos frac{a+b}{2}.cos frac{a-b}{2}

        cos a-cos b,,=,,-2sin frac{a+b}{2}.sin frac{a-b}{2}

        sin a+sin b,,=,,2sin frac{a+b}{2}.cos frac{a-b}{2}

        sin a-sin b,,=,,2cos frac{a+b}{2}.sin frac{a-b}{2}

       tan a+tan b,,=,,,frac{sin (a+b)}{cos a.cos b}

       tan a-tan b,,=,,frac{sin (a-b)}{cos a.cos b}

       cot a+cot b,,=,,frac{sin (a+b)}{sin a.sin b}

       cot a-cot b,,=,,frac{sin (b-a)}{sin a.sin b}

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp giải.

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos {{795}^{0}} .

b)Tính giá trị lượng giác sau: sin {{18}^{0}}

c)Tính các giá trị lượng giác sau: ,tan frac{7pi }{12}

d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot frac{5pi }{8}

Lời giải:

a) Vì {{795}^{0}}={{75}^{0}}+{{2.360}^{0}}={{30}^{0}}+{{45}^{0}}+{{2.360}^{0}} nên

cos {{795}^{0}}=cos {{75}^{0}}=cos {{30}^{0}}cos {{45}^{0}}-sin {{30}^{0}}sin {{45}^{0}}=frac{sqrt{3}}{2}.frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}.frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}

b) Vì {{54}^{0}}+{{36}^{0}}={{90}^{0}}nên sin {{54}^{0}}=cos {{36}^{0}}

Mà cos {{36}^{0}}=cos left( {{2.18}^{0}} right)=1-2{{sin }^{2}}{{18}^{0}}

sin {{54}^{0}}=sin left( {{18}^{0}}+{{36}^{0}} right)=sin {{18}^{0}}cos {{36}^{0}}+sin {{36}^{0}}cos {{18}^{0}}

=sin {{18}^{0}}.left( 1-2{{sin }^{2}}{{18}^{0}} right)+2sin {{18}^{0}}{{cos }^{2}}{{18}^{0}}=sin {{18}^{0}}.left( 1-2{{sin }^{2}}{{18}^{0}} right)+2sin {{18}^{0}}left( 1-{{sin }^{2}}{{18}^{0}} right)

=3sin {{18}^{0}}-4{{sin }^{3}}{{18}^{0}}

Do đó 3sin {{18}^{0}}-4{{sin }^{3}}{{18}^{0}}=1-2{{sin }^{2}}{{18}^{0}}Leftrightarrow left( sin {{18}^{0}}-1 right)left( 4{{sin }^{2}}{{18}^{0}}+2sin {{18}^{0}}-1 right)=0

       Leftrightarrow sin {{18}^{0}}=1 hoặc sin {{18}^{0}}=frac{sqrt{5}-1}{2} hoặc sin {{18}^{0}}=frac{sqrt{5}+1}{2}

Vì 0<sin {{18}^{0}}<1 nên sin {{18}^{0}}=frac{sqrt{5}-1}{2}.

c) tan frac{7pi }{12}=tan left( frac{pi }{3}+frac{pi }{4} right)=frac{tan frac{pi }{3}+tan frac{pi }{4}}{1-tan frac{pi }{3}tan frac{pi }{4}}=frac{sqrt{3}+1}{1-sqrt{3}}=-2-sqrt{3}

d) cot frac{5pi }{8}=cot left( frac{pi }{2}+frac{pi }{8} right)=-tan frac{pi }{8}

Ta lại có 1=tan frac{pi }{4}=tan left( 2.frac{pi }{8} right)=frac{2tan frac{pi }{8}}{1-{{tan }^{2}}frac{pi }{8}} 

suy ra 1-{{tan }^{2}}frac{pi }{8}=2tan frac{pi }{8}Leftrightarrow {{tan }^{2}}frac{pi }{8}+2tan frac{pi }{8}-1=0

           Leftrightarrow tan frac{pi }{8}=-1-sqrt{2} hoặc tan frac{pi }{8}=-1+sqrt{2}

Do tan frac{pi }{8}>0 nên tan frac{pi }{8}=-1+sqrt{2}

Vậy cot frac{5pi }{8}=1-sqrt{2}

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) A=sin {{22}^{0}}30'cos {{202}^{0}}30'

b) B=4{{sin }^{4}}frac{pi }{16}+2cos frac{pi }{8}

c) C=frac{sin frac{pi }{5}-sin frac{2pi }{15}}{cos frac{pi }{5}-cos frac{2pi }{15}}        

d) D=sin frac{pi }{9}-sin frac{5pi }{9}+sin frac{7pi }{9}

    Lời giải:

a) Cách 1: Ta có cos {{202}^{0}}30'=cos left( {{180}^{0}}+{{22}^{0}}30' right)=-cos {{22}^{0}}30'

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  30 mẫu phòng ngủ màu tím cho cô nàng "thuỷ chung" 2022 | Mytranshop.com

Do đó A=-sin {{22}^{0}}30'cos {{22}^{0}}30'=-frac{1}{2}sin {{45}^{0}}=-frac{sqrt{2}}{4}

Cách 2: A=frac{1}{2}left[ sin left( {{22}^{0}}30'+{{202}^{0}}30' right)+sin left( {{22}^{0}}30'-{{202}^{0}}30' right) right]=frac{1}{2}left[ sin {{225}^{0}}+sin left( -{{180}^{0}} right) right]

                =frac{1}{2}left[ sin left( {{180}^{0}}+{{45}^{0}} right)-sin {{180}^{0}} right]=-frac{1}{2}sin {{45}^{0}}=-frac{sqrt{2}}{4}

b) B={{left( 2{{sin }^{2}}frac{pi }{16} right)}^{2}}+2cos frac{pi }{8}={{left[ 1-cos left( 2.frac{pi }{16} right) right]}^{2}}+2cos frac{pi }{8}

        =1-2cos frac{pi }{8}+{{cos }^{2}}frac{pi }{8}+2cos frac{pi }{8}=1+frac{1+cos frac{pi }{4}}{2}=1+frac{1+frac{sqrt{2}}{2}}{2}=frac{6+sqrt{2}}{4}

c) C=frac{sin frac{pi }{5}-sin frac{2pi }{15}}{cos frac{pi }{5}-cos frac{2pi }{15}}=frac{2cos frac{1}{2}left( frac{pi }{5}+frac{2pi }{15} right)sin frac{1}{2}left( frac{pi }{5}-frac{2pi }{15} right)}{-2sin frac{1}{2}left( frac{pi }{5}+frac{2pi }{15} right)sin frac{1}{2}left( frac{pi }{5}-frac{2pi }{15} right)}
        =-frac{cos frac{pi }{6}}{sin frac{pi }{6}}=-cot frac{pi }{6}=-sqrt{3}

d) D=left( sin frac{pi }{9}+sin frac{7pi }{9} right)-sin frac{5pi }{9}=2sin frac{4pi }{9}.cos frac{pi }{3}-sin frac{5pi }{9}=sin frac{4pi }{9}-sin frac{5pi }{9}=0

DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Cho cos 2x=-frac{4}{5}text{ }, với frac{pi }{4}<x<frac{pi }{2}.

a) Tính sin x,.

b) Tính ,cos x.

c) Tính sin left( x+frac{pi }{3} right).

d) Tính ,cos left( 2x-frac{pi }{4} right).

Lời giải:

Vì frac{pi }{4}<x<frac{pi }{2} nên sin x>0,text{ }cos x>0.

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

{{sin }^{2}}x=frac{1-cos 2x}{2}=frac{9}{10}Rightarrow sin x=frac{3}{sqrt{10}}

{{cos }^{2}}x=frac{1+cos 2x}{2}=frac{1}{10}Rightarrow cos x=frac{1}{sqrt{10}}

Theo công thức cộng, ta có

sin left( x+frac{pi }{3} right)=sin xcos frac{pi }{3}+cos xsin frac{pi }{3}=frac{3}{sqrt{10}}.frac{1}{2}+frac{1}{sqrt{10}}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{3+sqrt{3}}{2sqrt{10}}

cos left( 2x-frac{pi }{4} right)=cos 2xsin frac{pi }{4}+cos frac{pi }{4}sin 2x=-frac{4}{5}.frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}.2.frac{3}{sqrt{10}}.frac{1}{sqrt{10}}=-frac{sqrt{2}}{10}

DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.

1. Phương pháp giải.

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác.

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác alpha  làm cho biểu thức xác định thì

a) {{sin }^{4}}alpha +{{cos }^{4}}alpha =frac{3}{4}+frac{cos 4alpha }{4}

b) {{sin }^{6}}alpha +{{cos }^{6}}alpha =frac{5}{8}+frac{3}{8}cos 4alpha

c)  displaystyle frac{1-sin 2alpha }{1+sin 2alpha }={{cot }^{2}}(frac{pi }{4}+alpha )

Lời giải:

a) Ta có {{sin }^{4}}alpha +{{cos }^{4}}alpha ={{left( {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha right)}^{2}}-2{{sin }^{2}}alpha {{cos }^{2}}alpha =1-frac{1}{2}{{sin }^{2}}2alpha

                                     =1-frac{1-cos 4alpha }{4}=frac{3}{4}+frac{cos 4alpha }{4}

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Quy cách thép hình chữ U, I, L, H, C, V trong xây dựng 2022 | Mytranshop.com

b) Ta có

{{sin }^{6}}alpha +{{cos }^{6}}alpha ={{left( {{sin }^{2}}alpha right)}^{3}}+{{left( {{cos }^{2}}alpha right)}^{3}}+3{{sin }^{2}}alpha {{cos }^{2}}alpha left( {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha right)-3{{sin }^{2}}alpha {{cos }^{2}}alpha left( {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha right)

={{left( {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha right)}^{3}}-3{{sin }^{2}}alpha {{cos }^{2}}alpha =1-frac{3}{4}{{left( 2sin alpha cos alpha right)}^{2}}=1-frac{3}{4}{{sin }^{2}}2alpha

=1-frac{3}{8}left( 1-cos 4alpha right)=frac{5}{8}+frac{3}{8}cos 4alpha

c) Ta có frac{1-sin 2alpha }{1+sin 2alpha }=frac{{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha -2sin alpha cos alpha }{{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{{{left( sin alpha -cos alpha right)}^{2}}}{{{left( sin alpha +cos alpha right)}^{2}}}

                        =frac{{{left[ sqrt{2}cos left( alpha +frac{pi }{4} right) right]}^{2}}}{{{left[ sqrt{2}sin left( alpha +frac{pi }{4} right) right]}^{2}}}=frac{2{{cos }^{2}}left( alpha +frac{pi }{4} right)}{2{{sin }^{2}}left( alpha +frac{pi }{4} right)}={{cot }^{2}}left( alpha +frac{pi }{4} right)

Leave a Comment