Cực trị của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Khái niệm cực trị của hàm số:

Cho và .

+ được gọi là một điểm cực đại của nếu tồn tại khoảng sao cho

$left{ begin{array}{l}{{x}_{0}}in (a;b)subset D\f(x)<f({{x}_{0}}),forall xin (a;b)backslash text{ }!!{!!text{ }{{x}_{0}}text{ }!!}!!text{ }end{array} right.$

+ được gọi là một điểm cực tiểu của nếu tồn tại khoảng sao cho

$left{ begin{array}{l}{{x}_{0}}in (a;b)subset D\f(x)>f({{x}_{0}}),forall xin (a;b)backslash text{ }!!{!!text{ }{{x}_{0}}text{ }!!}!!text{ }end{array} right.$

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ và $f$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì $f'({{x}_{0}})=0$ .

Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Định lí 1:

Định lí 2:

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm ${{x}_{0}},$ $,f'({{x}_{0}})=0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm chứa ${{x}_{0}}$ .

Chú ý: Nếu $f'left( {{{x}_{0}}} right)=f''left( {{{x}_{0}}} right)=0$ thì không thể xác định được ${{x}_{0}}$ là cực trị hay không.

Ví dụ: Hàm số $y={{x}^{3}},,y={{x}^{4}}$

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số không chứa tham số

Phương pháp:

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa 2017) Giá trị cực đại của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ là?

A. 4 B. 1 C. 0 D. $-1$

Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: $D=mathbb{R}$

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-3Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=1end{array} right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và yCĐ = 4.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2)

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-3Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=1end{array} right.$

$y''=6x;,,y''(1)=6>0;,,y''(-1)=-6<0Rightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và yCĐ = 4.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$ .

A. 1 B. $-1$ C. 0 D. 2

Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4xRightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=pm 1end{array} right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,x=1$ và ${{y}_{{CT}}}=y(1)=y(-1)=1$

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2):

$y''=12{{x}^{2}}-4$

Ta có $y''(-1)=8>0;,,y''(1)=8>0;,,y''(0)=-4<0$ .

⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 2; hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,x=1$ và ${{y}_{{CT}}}=y(1)=y(-1)=1$ .

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3: Tìm điểm cực đại của hàm số $y=frac{{{{x}^{2}}+4}}{x}$

A. 2 B. $-2$ C. $-4$ D. 4

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }0}$ .

Ta có $y'=frac{{{{x}^{2}}-4}}{{{{x}^{2}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0Leftrightarrow x=pm 2$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-2$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.4: Điểm nào sau đây là điểm cực tiểu của hàm số $y=2sin x+1$

A. $-frac{pi }{2}$ B. $frac{pi }{2}$ C. 3 D. $-1$

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận)

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=2cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi ,,(kin mathbb{Z})$

$begin{array}{l}y''=-2sin x;,,\y''(frac{pi }{2}+kpi )=-2sin (frac{pi }{2}+kpi )=left{ begin{array}{l}-2sin (frac{pi }{2}+k2pi )=-2<0\-2sin (-frac{pi }{2}+k2pi )=2>0end{array} right.end{array}$

Suy ra $x=frac{pi }{2}+k2pi$ là các điểm cực đại và $x=-frac{pi }{2}+k2pi$ là các điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Kiểm tra được $y'(frac{pi }{2})=y'(-frac{pi }{2})=0$

Ta có $y''=-2sin x;,,y''(frac{pi }{2})=-2<0Rightarrow x=frac{pi }{2}$ là điểm cực đại của hàm số.

$y''(-frac{pi }{2})=2>0Rightarrow x=-frac{pi }{2}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số $y=sin x+cos x+2$ .

A. $frac{{5pi }}{4}+k2pi$ . B. $frac{pi }{4}+k2pi$ . C. $2+sqrt{2}$ . D. $2-sqrt{2}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=cos x-sin x=0Leftrightarrow tan x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{4}+k2pi \x=frac{{5pi }}{4}+k2pi end{array} right.,(kin mathbb{Z})$

$displaystyle y''=-cos x-sin x;,,y''(frac{pi }{4}+k2pi )=-sqrt{2}<0Rightarrow x=frac{pi }{4}+k2pi$ là các điểm cực đại của hàm số.

$y''(frac{{5pi }}{4}+k2pi )=sqrt{2}>0Rightarrow x=frac{{5pi }}{4}+k2pi$ là các điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn B.

Ví dụ 1.6 (Đề minh họa lần 2 – 2017)

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên đoạn $displaystyle text{ }!![!!text{ }-2;2]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ?

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Động cơ bước là gì ? Cấu tạo, phân loại và các phương pháp điều khiển 2022 | Mytranshop.com

A. $x=-2$ . B. $x=-1$ . C. $x=1$ . D. $x=2$ .

Lời giải:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại $x=1,{{y}_{{CT}}}=-2$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.7: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $mathbb{R}$ và hàm số đạo hàm $f'(x)$ của $f(x)$ có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ .

A. 0 B. 2 C. 3 D. 1

Lời giải:

Hàm số có $f'(x)>0,forall x>1;,,f'(x)<0,forall x<1$ và $f'(1)=0$ . Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực trị và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn đáp án D.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị một

Phương pháp

Chú ý:

Trong trường hợp $f'({{x}_{0}})=0$ không tồn tại hoặc $left{ begin{array}{l}f'({{x}_{0}})=0\f''({{x}_{0}})=0end{array} right.$ thì định lí 2 ở trên không dùng được.

Ví dụ 2.1 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-3)x+1$ đạt cực đại tại $x=0$ .

A. {1} B. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }-3;1}$ C. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }-1}$ D. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }-3}$

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+2m-3$

Để $x=0$ là cực đại thì $y'(0)=0Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=1\m=-3end{array} right.$

Với m = 1 thì $y'=-3{{x}^{2}}+2x;,y''=-6x+2Rightarrow y''(0)=2>0$ nên $x=0$ là cực tiểu.

Với $m=-3$ thì $y'=-3{{x}^{2}}-6x;,,y''=-6x-6Rightarrow y''(0)=-6<0$ nên $x=0$ là cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-m+1)x+1$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ .

A. $m=1,m=2$ . B. $m=2$ . C. $m=1$ . D. $m=0$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1$

Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ thì $y'(1)=0Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=1\m=2end{array} right.$

Nếu $m=1$ thì $y'={{x}^{2}}-2x+1;,,y''=2x-2Rightarrow y''(1)=0Rightarrow$ Hàm số không thể đạt cực trị.

Nếu $m=2$ thì $y'={{x}^{2}}-4x+3;,,y''=2x-4Rightarrow y''(1)=-2<0Rightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ .

Vậy chọn B.

Chú ý:
Nếu trình bày lời giải theo hướng sau:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y'(1)=0\y''(1)<0end{array} right.$ thì lời giải chưa chính xác. Vì định lí 2 chỉ phát biểu khi $f''({{x}_{0}})ne 0$ .

Ví dụ 2.3: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-4)x+5$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ .

A. $m=1$ . B. $m=-3$ . C. $m=1,m=-3$ . D. $-3le mle 1$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-4$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ thì $y'(-1)=0Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=1\m=-3end{array} right.$

Thử lại ta thấy $m=-3$ là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án B.

Dạng 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị

Phương pháp:

Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6mx+m$ có hai điểm cực trị.

A. $min (0;2)$ . B. $min (-infty ;0)cup (8;+infty )$ .

C. $min (-infty ;0)cup (2;+infty )$ . D. $min (0;8)$ .

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+6m=3({{x}^{2}}-2mx+2m)$

Để hàm số có hai điểm cực trị $Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta '>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>2\m<0end{array} right.$

Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số $y=(m-3){{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+3$ không có cực trị.

A. $m=3$ B. $m=0,m=3$ C. $m=0$ D. $mne 3$

Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tổng hợp các công thức, cách sử dụng và dấu hiệu nhận biết các thì trong Tiếng Anh 2022 | Mytranshop.com

Nếu $m=3$ thì $y=-6{{x}^{2}}+3$ . Đây là một parabol nên luôn có một cực trị.

Nếu $mne 3$ , ta có $y'=3(m-3){{x}^{2}}-4mx$

Để hàm số không có cực trị thì phương trình $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $Leftrightarrow Delta 'le 0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}le 0Leftrightarrow m=0$

Chọn đáp án C.

Chú ý:
Ở ví dụ 3.2, hàm số đã cho có hệ số a chứa tham số nên ta phải xét hai trường hợp $a=0$ và $ane 0$ .

Ví dụ 3.3 (THPT Nguyễn Du – TP HCM 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=frac{1}{3}(m-1){{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+(m-3)x+4m-1$ có cực đại.

A. $min (-infty ;+infty )$ . B. $min (frac{3}{4};+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1}$ .

C. $min text{ }!![!!text{ }frac{3}{4};+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1}$ . D. $min (frac{3}{4};+infty )$ .

Lời giải:

Ta có $y'=(m-1){{x}^{2}}-2mx+m-3$

Nếu $m=1$ thì $y'=-2x-2=0Leftrightarrow x=-1,,,,y''=-2<0$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Do đó $m=1$ là một giá trị cần tìm.

Nếu $mne 1$ , hàm số có cực đại $Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta '>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-(m-1)(m-3)>0Leftrightarrow 4m-3>0Leftrightarrow m>frac{3}{4}$ .

Vậy $min (frac{3}{4};+infty )$ . Chọn đáp án D.

Ví dụ 3.4 (THPT Chuyên Bắc Giang 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{4}}+2(m-1){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$ có ba cực trị.

A. $m>1$ . B. $m<1$ . C. $mle 1$ . D. $mge 1$ .

Lời giải:

Ta có $y'=4{{x}^{3}}+4(m-1)x=4x({{x}^{2}}+m-1)Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=1-mend{array} right.$

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi y’ có ba nghiệm phân biệt $Leftrightarrow 1-m>0Leftrightarrow m<1$

Vậy chọn đáp B.

Ví dụ 3.5 (Chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 2)

Tìm m để hàm số $y=m{{x}^{4}}+({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+1$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

A. $-3<m<0$ . B. $0<m<3$ . C. $m<-3$ . D. $m>3$ .

Lời giải:

Ta có $y'=4m{{x}^{3}}+2({{m}^{2}}-9)x$

Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi và chỉ khi $y'$ có 3 nghiệm phân biệt và điểm cực tiểu là $x=0$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0\ab<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>0\m({{m}^{2}}-9)<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>0\-3<m<3end{array} right.Leftrightarrow 0<m<3$

Chọn đáp án B.

Dạng 4: Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Phương pháp:

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,,,,(ane 0)$ .

Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y'$ để có: $y=p(x).y'+ax+b$ .

Từ đây suy ra $Delta :,,y=ax+b$ là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của $y=frac{{2{{x}^{2}}+3x+3}}{{x+1}}$ .

Ví dụ 4.1 (Đề thi THPTQG 2017) Đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $AB$ ?

A. $Q(-1;10)$ . B. $M(0;-1)$ . C. $N(1;-10)$ . D. $P(1;0)$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x-9=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=3end{array} right.$

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(-1;6),,,B(3;-26)$ .

Phương trình đường thẳng $AB$ là $frac{{x-(-1)}}{{-1-3}}=frac{{y-6}}{{6-(-26)}}Leftrightarrow 8x+y+2=0$ .

Thay tọa độ các điểm $M,N,P,Q$ vào phương trình đường thẳng $AB$ ta được $N(1;-10)$ thuộc đường thẳng $AB$ . Chọn C.

Ví dụ 4.2 (Đề thi THPTQG 2017) Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:,,y=(2m-1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ .

A. $m=frac{3}{2}$ . B. $m=frac{3}{4}$ . C. $m=-frac{1}{2}$ . D. $m=frac{1}{4}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=2end{array} right.$

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A(0;1),,,B(2;-3)$ .

Phương trình đường thẳng $AB$ là $2x-y+1=0Leftrightarrow y=2x+1$ .

$dbot ABLeftrightarrow 2.(2m-1)=-1Leftrightarrow m=frac{1}{4}$ .

Chọn D.

Ví dụ 4.3 (THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên)

Giả sử đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3(m+6)x+1$ có 2 cực trị. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là

A. $y=2x+{{m}^{2}}+6m+1$ . B. $y=2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1$ .

C. $y=-2x+{{m}^{2}}+6m+1$ D. Tất cả đều sai.

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3(m+6)$

Lấy $y$ chia cho $frac{1}{3}y'$ ta được: $y=frac{1}{3}y'.(x-m)+2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1$

Vậy chọn B.

Ví dụ 4.4: Giá trị của $m$ để khoảng cách từ điểm $M(0;3)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3mx+1$ bằng $frac{2}{{sqrt{5}}}$ là

A. $m=pm 2$ . B. $m=-2$ . C. $m=-2;,m=3$ . D. $min varnothing$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+3mRightarrow y'=0Leftrightarrow {{x}^{2}}=-m$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Phong cách thiết kế nội thất Art & Crafts là gì? 2022 | Mytranshop.com

Hàm số có cực trị $Leftrightarrow y'$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m<0$ .

Lấy $y$ chia cho $y'$ ta được $y=frac{1}{3}x.y'+2mx+1$ .

Suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị là $Delta :,,y=2mx+1Leftrightarrow 2mx-y+1=0$ .

Theo giả thiết $d(M,Delta )=frac{2}{{sqrt{5}}}Leftrightarrow frac{{|2m.0-3+1|}}{{sqrt{{4{{m}^{2}}+1}}}}=frac{2}{{sqrt{5}}}Leftrightarrow frac{2}{{sqrt{{4{{m}^{2}}+1}}}}=frac{2}{{sqrt{5}}}Leftrightarrow m=pm 2$

Mà $m<0$ nên $m=-2$ .

Chọn B.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 5.1(Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2017 Lần 3)

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-{{m}^{3}}+m$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7$ .

A. $m=0$ . B. $m=pm frac{9}{2}$ . C. $m=pm frac{1}{2}$ . D. $m=pm 2$ .

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3({{m}^{2}}-1)=3,[{{x}^{2}}-2mx+({{m}^{2}}-1)text{ }!!]!!text{ }$

Do $Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1=1>0,forall min mathbb{R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .

Theo định lí Viet, ta có: $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1end{array} right.$

Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7$

$Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-3({{m}^{2}}-1)=7Leftrightarrow {{m}^{2}}=4Leftrightarrow m=pm 2$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.2 (THPT Hưng Nhân – Thái Bình 2017 Lần 2)

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+3mx-m$ . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

A. $0<m<1$ B. $m<0$ C. $m>1$ D. $left[ begin{array}{l}m<0\m>1end{array} right.$

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-2(2m+1)x+3m$

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta '>0Leftrightarrow {{(2m+1)}^{2}}-3.3m>0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5m+1>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>1\m<frac{1}{4}end{array} right.$

Khi đó hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn hệ thức Viet $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{{2(2m+1)}}{3}\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=mend{array} right.$

Hai cực trị này nằm về hai phía cua trục tung $Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m<0$ .

Vậy $m<0$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c,,(ane 0)$ có ba điểm cực trị tạo thành:

a) Tam giác vuông.

b) Tam giác đều.

c) Tam giác có diện tích bằng ${{S}_{0}}$ .

Lời giải:

$y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x(2a{{x}^{2}}+b)Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\2a{{x}^{2}}+b=0end{array} right.$

Với $ab<0$ thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $A(0;c),,B(-sqrt{{-frac{b}{{2a}}}};frac{{-{{b}^{2}}+4ac}}{{4a}});,$ $,C(sqrt{{-frac{b}{{2a}}}};frac{{-{{b}^{2}}+4ac}}{{4a}})$

Ta có $AB=AC=sqrt{{frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}-frac{b}{{2a}}}};,,BC=2sqrt{{-frac{b}{{2a}}}}Rightarrow Delta ABC$ cân tại A.

a) Do điểm A luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C nên tam giác ABC vuông cân tại A

$Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}Leftrightarrow frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}+frac{b}{{2a}}=0Leftrightarrow$ $frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-8$

b) $Delta ABC$ đều $Leftrightarrow AB=BCLeftrightarrow -frac{b}{{2a}}+frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}=-frac{{2b}}{a}Leftrightarrow$ $frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-24$

“Vuông -8, đều -24”

c) Diện tích tam giác $ABC$ là: $S=sqrt{{-frac{{{{b}^{5}}}}{{32{{a}^{3}}}}}}$

Ví dụ 5.4 (Đề minh họa THPTQG 2017 Lần 1)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. $m=-frac{1}{{sqrt[3]{9}}}$ B. $m=-1$ C. $m=frac{1}{{sqrt[3]{9}}}$ D. $m=1$

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có $y'=4{{x}^{3}}+4mx=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=-mend{array} right.$

Hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow m<0$ . Khi đó $y(0)=1;,,y(sqrt{{-m}})=y(-sqrt{{-m}})=1-{{m}^{2}}$ . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $A(0;1);,B(sqrt{{-m}};1-{{m}^{2}});,C(-sqrt{{-m}};1-{{m}^{2}})$

Ta có $A{{B}^{2}}=-m+{{m}^{4}};,,A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{4}};,,B{{C}^{2}}=-4m$

Do $AB=AC$ nên $Delta ABC$ cân tại A. Để $Delta ABC$
$Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ $Leftrightarrow -2m+2{{m}^{4}}=-4mLeftrightarrow 2{{m}^{4}}+2m=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=0,,,,(L)\m=-1,,,(TM)end{array} right.$

Vậy chọn đáp án B.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông $Leftrightarrow frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-8Leftrightarrow frac{{{{{(2m)}}^{3}}}}{1}=-8Leftrightarrow 2m=-2Leftrightarrow m=-1$ .

Ví dụ 5.5 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m-1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

A. $m=3$ B. $m=0$ C. $m>0$ D. $m=sqrt[3]{3}$

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x({{x}^{2}}-m)Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=mend{array} right.$

Hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow m>0$ . Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là $A(0;m-1);,,B(sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1);,C(-sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1)$

$A{{B}^{2}}=m+{{m}^{4}};,,A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}};,,B{{C}^{2}}=4mRightarrow Delta ABC$ cân tại A.

Do đó $Delta ABC$ đều $Leftrightarrow AB=BCLeftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=4mLeftrightarrow {{m}^{4}}=3mLeftrightarrow left[ begin{array}{l}m=0\m=sqrt[3]{3}end{array} right.$

Vì $m>0Rightarrow m=sqrt[3]{3}$ . Chọn đáp án D.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức ta có $frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-24Leftrightarrow frac{{{{{(-2m)}}^{3}}}}{1}=-24Leftrightarrow m=sqrt[3]{3}$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.6: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+{{m}^{4}}$ . Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị $({{C}_{m}})$ có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

A. $m=sqrt[5]{{16}}$ . B. $m=16$ . C. $m=sqrt[3]{{16}}$ . D. $m=-sqrt[3]{{16}}$ .

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=mend{array} right.$ . Hàm số có 3 cực trị thì $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m>0$

Khi đó $A(0;2m+{{m}^{4}});,B(sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m+{{m}^{4}});,C(-sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m+{{m}^{4}})$ là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{{ABC}}}={{m}^{2}}sqrt{m}$ .

Theo giả thiết có ${{m}^{2}}sqrt{m}=4Leftrightarrow m=sqrt[5]{{16}}$ .

Chọn A.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow ab<0Leftrightarrow m>0$ .

Khi đó diện tích tam giác $S=sqrt{{-frac{{{{b}^{5}}}}{{32{{a}^{3}}}}}}=4Leftrightarrow -frac{{{{{(-2m)}}^{5}}}}{{32}}=16Leftrightarrow {{m}^{5}}=16Leftrightarrow m=sqrt[5]{{16}}$ .

Cực trị của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Leave a Comment Cancel reply