Đường tròn, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình đường tròn

– Phương trình đường tròn (C) tâm Ileft( a;b right), bán kính R là :{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}

Dạng khai triển của (C) là : displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0text{ } với  displaystyle c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}

– Phương trình displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0text{ }với điều kiện displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0, là phương trình đường tròn tâm Ileft( a;b right) bán kính R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}

2. Phương trình tiếp tuyến :

Cho đường tròn (C) : {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}

– Tiếp tuyến displaystyle Delta  của (C) tại điểm displaystyle Mleft( {{x}_{0~}};{{y}_{0}} right)là  đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM

nên phương trình là : displaystyle Delta :({{x}_{0}}-a)(x-a)+({{y}_{0}}-a)(y-a)={{R}^{2}}

– Đường thẳng displaystyle Delta displaystyle ax+by+c=0 là tiếp tuyến của (C) displaystyle Leftrightarrow d(I,Delta )=Rtext{ }

– Đường tròn (C) : displaystyle {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}} có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là displaystyle x=apm R.

Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến  còn lại đều có dạng : displaystyle y=kx+m

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.

1. Phương pháp giải.

Cách 1: + Đưa phương trình về dạng:  displaystyle left( C right),:,,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0text{ } (1)

+ Xét dấu biểu thức P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c

Nếu P>0 thì (1) là phương trình đường tròn left( C right) có tâm Ileft( a;b right) và bán kính R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}

Nếu Ple 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}=P (2).

Nếu P>0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm Ileft( a;b right) và bán kính R=sqrt{P}

Nếu Ple 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.

2. Các ví dụ.    

Ví dụ 1:
Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

a),,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+9=0                        (1)

b),,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=0,                      (2)

c),,2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-4y-1=0                      (3)

Lời giải:

a) Phương trình (1) có dạng displaystyle ,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0text{ }với a=-1;,,,b=2;,,,c=9

Ta có {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c=1+4-9<0

Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có: {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c=9+4-13=0

Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

c) Ta có: left( 3 right)Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-2y-frac{1}{2}=0Leftrightarrow {{left( x-frac{3}{2} right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=frac{5}{2}

Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm Ileft( frac{3}{2};1 right) bán kính R=frac{sqrt{10}}{2}

Ví dụ 2: Cho phương trình displaystyle ~{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4left( m-2 right)y+6-m=0 (1)

a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m

Lời giải:

displaystyle~{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4left( m-2 right)y+6-m=0

a) Phương trình (1)  là phương trình đường tròn khi và chỉ khi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0

Với a=m;,,b=2left( m-2 right);,,c=6-m

Hay {{m}^{2}}+4{{left( m-2 right)}^{2}}-6+m>0Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-15m+10>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>2\m<1end{array} right.

b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm Ileft( m;2left( m-2 right) right) và bán kính: R=sqrt{5{{m}^{2}}-15m+10}

DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn

1. Phương pháp giải.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Các khái niệm thường dùng trong di truyền học, trắc nghiệm sinh học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Cách 1:  +  Tìm toạ độ tâm Ileft( a;b right) của đường tròn (C)

+  Tìm bán kính R của đường tròn (C)

+  Viết phương trình của (C) theo dạng {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}.

Cách 2:  Giả sử phương trình đường tròn (C) là: displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0text{ } 

(Hoặc displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0text{ }).

+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.

+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).

Chú ý:

*  Ain left( C right)Leftrightarrow IA=R

left( C right) tiếp xúc với đường thẳng Delta  tại ALeftrightarrow IA=dleft( I;Delta  right)=R

left( C right) tiếp xúc với hai đường thẳng {{Delta }_{1}} và {{Delta }_{2}}Leftrightarrow dleft( I;{{Delta }_{1}} right)=dleft( I;{{Delta }_{2}} right)=R

2. Các ví dụ.

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn  trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâmIleft( 1;-5 right) và đi qua Oleft( 0;0 right).

b) Nhận AB làm đường kính với Aleft( 1;1 right),,,Bleft( 7;5 right).

c) Đi qua ba điểm: Mleft( -2;4 right),,,Nleft( 5;5 right),,,Pleft( 6;-2 right).

Lời giải:

a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI=sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}}=sqrt{26} nên có phương trình là {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+5 right)}^{2}}=26

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra Ileft( 4;3 right)

AI=sqrt{{{left( 4-1 right)}^{2}}+{{left( 3-1 right)}^{2}}}=sqrt{13}

Đường tròn cần tìm có đường kính làAB suy ra nó nhận Ileft( 4;3 right) làm tâm và bán kính R=AI=sqrt{13} nên có phương trình là {{left( x-4 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=13

c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0text{ }.

Do đường tròn đi qua ba điểm M,,N,,P nên ta có hệ phương trình:

                     left{ begin{array}{l}4+16+4a-8b+c=0\25+25-10a-10b+c=0\36+4-12a+4b+c=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=2\b=1\c=-20end{array} right.

Vậy phương  trình đường tròn cần tìm là: displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y-20=0text{ }

Nhận xét:  Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau

Gọi Ileft( x;y right) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm

Vì IM=IN=IPLeftrightarrow left{ begin{array}{l}I{{M}^{2}}=I{{N}^{2}}\I{{M}^{2}}=I{{P}^{2}}end{array} right. nên ta có hệ

left{ begin{array}{l}{{left( x+2 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}={{left( x-5 right)}^{2}}+{{left( y-5 right)}^{2}}\{{left( x+2 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}={{left( x-6 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=2\y=1end{array} right.

DẠNG 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn

1. Phương pháp giải.

– Vị trí tương đối của điểm M  và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM

+ Nếu IM<R suy ra M nằm trong đường tròn

+ Nếu IM=R suy ra M thuộc đường tròn

+ Nếu IM>R suy ra M nằm ngoài đường tròn

– Vị trí tương đối giữa đường thẳng Delta   và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d,(I;,Delta )

+ Nếu d,(I;,Delta )<R suy ra Delta  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt 

+ Nếu d,(I;,Delta )~=R suy ra Delta  tiếp xúc với đường tròn

+ Nếu d,(I;,Delta )>R suy ra Delta  không cắt đường tròn

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Chuyên thiết kế và thi công nội thất đẹp, uy tín trọn gói nhanh chóng 2022 | Mytranshop.com

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng Delta  và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.

– Vị trí tương đối giữa đường tròn (C)  và đường tròn (C’)

Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I’, bán kính R’ của đường tròn (C’) và tính II'R+R',,,left| R-R' right|

+ Nếu II'>R+R' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau 

+ Nếu II'~=R+R' suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

+ Nếu II'~<left| R-R' right| suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau

+ Nếu II'~=left| R-R' right| suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

+ Nếu ,left| R-R' right|<II'<R+R' suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn (C’) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng Delta :x-y+1=0 và đường tròn left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-4=0

a) Chứng minh điểm Mleft( 2;1 right) nằm trong đường tròn

b) Xét vị trí tương đối giữa Delta  và left( C right)

c) Viết phương trình đường thẳng Delta ' vuông góc với Delta  và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.

Lời giải:

a) Đường tròn (C) có tâm Ileft( 2;-1 right) và bán kính R=3.

Ta có IM=sqrt{{{left( 2-2 right)}^{2}}+{{left( 1+1 right)}^{2}}}=2<3=R do đó M nằm trong đường tròn.

b) Vì d,(I;,Delta )=frac{left| 2+1+1 right|}{sqrt{1+1}}=2sqrt{2}<3=R nên Delta  cắt left( C right) tại hai điểm phân biệt.

c) Vì Delta ' vuông góc với Delta  và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên Delta ' vuông góc với Delta  và đi qua tâm I của đường tròn (C).

Do đó Delta ' nhận vectơ overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left( 1;1 right) làm vectơ pháp tuyến suy ra Delta ':1left( x-2 right)+1left( y+1 right)=0 hay x+y-1=0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là Delta ':x+y-1=0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y-15=0 và left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0

a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O

Lời giải:

a) Cách 1: left( C right) có tâm Ileft( 1;3 right) và bán kính R=5left( C right) có tâm I'left( 3;1 right) và bán kính R=sqrt{13}

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Bài tập yoga giảm mỡ đùi đơn giản mà hiệu quả 2022 | Mytranshop.com

II'=sqrt{{{left( 3-1 right)}^{2}}+{{left( 1-3 right)}^{2}}}=2sqrt{2}

Ta thấy left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}<left| {{R}_{1}}+{{R}_{2}} right| suy ra hai đường tròn cắt nhau

Cách 2: Xét hệ phương trình

displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y-15=0\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y-15=0\x-y-3=0end{array} right.

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{left( y+3 right)}^{2}}+{{y}^{2}}-2left( y+3 right)-6y-15=0\x=y+3end{array} right.displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{y}^{2}}-y-6=0\x=y+3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}y=-2\y=3end{array} right.\x=y+3end{array} right.

Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là Aleft( 1;-2 right) và Bleft( 6;3 right)

b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận overrightarrow{AB}left( 5;5 right) làm vectơ chỉ phương suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là left{ begin{array}{l}x=1+5t\y=-2+5tend{array} right.

c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C”) có dạng {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0

(C”) đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ left{ begin{array}{l}1+4-2a+4b+c=0\36+9-12a-6b+c=0\c=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=frac{7}{2}\b=frac{1}{2}\c=0end{array} right.

Vậy (C”) : {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-7x-y=0

Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’) nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y-15+mleft( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3 right)=0 (*)

Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi -15+m.left( -3 right)=0Leftrightarrow m=-5

Khi đó phương trình (*) trở thành {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-7x-y=0

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-7x-y=0

DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

1. Phương pháp giải.

Cho đường tròn (C) tâm Ileft( a;b right), bán kính R 

– Nếu biết tiếp điểm là Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ overrightarrow{IM}left( {{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b right) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là left( {{x}_{0}}-a right)left( x-{{x}_{0}} right)+left( {{y}_{0}}-b right)left( y-{{y}_{0}} right)=0

– Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng Delta  tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi d,(I;,Delta )=R để xác định tiếp tuyến.

2. Các ví dụ.

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0 và điểm hai điểm Aleft( 1;-1 right);,,Bleft( 1;3 right)

a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm Ileft( 3;-1 right) bán kính R=sqrt{{{3}^{2}}+1-6}=2.

a) Ta có: IA=2=R;,IB=2sqrt{5}>R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận overrightarrow{IA}=left( 2;0 right) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2left( x-1 right)+0left( y+1 right)=0 hay x=1

b)  Phương trình đường thẳng Delta  đi qua B có dạng:

aleft( x-1 right)+bleft( y-3 right)=0 (với {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ne 0) hay displaystyle ax+by-a-3b=0

Đường thẳng Delta  là tiếp tuyến của đường tròn Leftrightarrow d,(I;,Delta )=R

displaystyle Leftrightarrow frac{left| 3a-b-a-3b right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2displaystyle Leftrightarrow {{left( a-2b right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}Leftrightarrow 3{{b}^{2}}-4ab=0displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}b=0\3b=4aend{array} right.

+ Nếu b=0, chọn a=1 suy ra phương trình tiếp tuyến là x=1.

+ Nếu 3b=4a, chọn a=3,,,b=4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3x+4y-15=0

Vậy qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là x=1 và 3x+4y-15=0

Leave a Comment