A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình đường tròn
– Phương trình đường tròn (C) tâm , bán kính R là :
Dạng khai triển của (C) là : với
– Phương trình với điều kiện , là phương trình đường tròn tâm bán kính
2. Phương trình tiếp tuyến :
Cho đường tròn (C) :
– Tiếp tuyến của (C) tại điểm là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM
nên phương trình là :
– Đường thẳng : là tiếp tuyến của (C)
– Đường tròn (C) : có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là .
Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng :
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.
1. Phương pháp giải.
Cách 1: + Đưa phương trình về dạng: (1)
+ Xét dấu biểu thức
Nếu thì (1) là phương trình đường tròn có tâm và bán kính
Nếu thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (2).
Nếu thì (2) là phương trình đường tròn có tâm và bán kính
Nếu thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1:
Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.
(1)
(2)
(3)
Lời giải:
a) Phương trình (1) có dạng với
Ta có
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có:
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có:
Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm bán kính
Ví dụ 2: Cho phương trình (1)
a) Tìm điều kiện của để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m
Lời giải:
a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
Với
Hay
b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm và bán kính:
DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn
1. Phương pháp giải.
Cách 1: + Tìm toạ độ tâm của đường tròn (C)
+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)
+ Viết phương trình của (C) theo dạng .
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là:
(Hoặc ).
+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý:
*
* tiếp xúc với đường thẳng tại
* tiếp xúc với hai đường thẳng và
2. Các ví dụ.
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm và đi qua
b) Nhận làm đường kính với .
c) Đi qua ba điểm: .
Lời giải:
a) Đường tròn cần tìm có bán kính là nên có phương trình là
b) Gọi I là trung điểm của đoạn suy ra
Đường tròn cần tìm có đường kính là suy ra nó nhận làm tâm và bán kính nên có phương trình là
c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: .
Do đường tròn đi qua ba điểm nên ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau
Gọi và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm
Vì nên ta có hệ
DẠNG 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn
1. Phương pháp giải.
– Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính
+ Nếu suy ra M nằm trong đường tròn
+ Nếu suy ra M thuộc đường tròn
+ Nếu suy ra M nằm ngoài đường tròn
– Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính
+ Nếu suy ra cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
+ Nếu suy ra tiếp xúc với đường tròn
+ Nếu suy ra không cắt đường tròn
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
– Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C’)
Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I’, bán kính R’ của đường tròn (C’) và tính ,
+ Nếu suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau
+ Nếu suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
+ Nếu suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau
+ Nếu suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
+ Nếu suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn (C’) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng và đường tròn
a) Chứng minh điểm nằm trong đường tròn
b) Xét vị trí tương đối giữa và
c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.
Lời giải:
a) Đường tròn (C) có tâm và bán kính .
Ta có do đó M nằm trong đường tròn.
b) Vì nên cắt tại hai điểm phân biệt.
c) Vì vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên vuông góc với và đi qua tâm I của đường tròn (C).
Do đó nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến suy ra hay
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn và
a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B
c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O
Lời giải:
a) Cách 1: có tâm và bán kính , có tâm và bán kính
Ta thấy suy ra hai đường tròn cắt nhau
Cách 2: Xét hệ phương trình
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là và
b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận làm vectơ chỉ phương suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là
c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C”) có dạng
(C”) đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ
Vậy (C”) :
Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’) nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình
(*)
Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi
Khi đó phương trình (*) trở thành
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
1. Phương pháp giải.
Cho đường tròn (C) tâm , bán kính R
– Nếu biết tiếp điểm là thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
– Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi để xác định tiếp tuyến.
2. Các ví dụ.
Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình và điểm hai điểm
a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm bán kính .
a) Ta có: suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn
b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là hay
b) Phương trình đường thẳng đi qua B có dạng:
(với ) hay
Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
+ Nếu , chọn suy ra phương trình tiếp tuyến là .
+ Nếu , chọn suy ra phương trình tiếp tuyến là
Vậy qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là và