Elip, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định {{F}_{1}},,,{{F}_{2}} với {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2cleft( c>0 right) và hằng số a>c. Elip(E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a.

Các điểm {{F}_{1}},,,{{F}_{2}} là tiêu điểm của (E). Khoảng cách {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c là tiêu cự của (E). M{{F}_{1}},,,M{{F}_{2}}được gọi là bán kính qua tiêu.

2) Phương trình chính tắc của elip:

Với {{F}_{1}}left( -c;0 right),,,{{F}_{2}}left( c;0 right)

displaystyle Mleft( x;y right)in left( E right)Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,,,left( 1 right) trong đó {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} (1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)

3) Hình dạng và tính chất của elip:

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái {{F}_{1}}left( -c;0 right), tiêu điểm phải {{F}_{2}}left( c;0 right)

+ Các đỉnh : {{A}_{1}}left( -a;0 right),,,{{A}_{2}}left( a;0 right),,,{{B}_{1}}left( 0;-b right),,,{{B}_{2}}left( 0;b right)

+ Trục lớn : {{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a, nằm trên trục Ox; trục nhỏ :{{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b, nằm trên trục Oy

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x=pm a,,y=pm b gọi là hình chữ nhật cơ sở.

+ Tâm sai : e=frac{c}{a}<1

+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm Mleft( {{x}_{M}};{{y}_{M}} right) thuộc (E) là:

               M{{F}_{1}}=a+e{{x}_{M}}=a+frac{c}{a}{{x}_{M}},,,M{{F}_{2}}=a-e{{x}_{M}}=a-frac{c}{a}{{x}_{M}}

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip.

1. Phương pháp giải.

Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng a,,b và {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} ta tìm được c elip từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.

2. Các ví dụ.

Ví dụ. Elip có phương trình sau displaystyle frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{y}^{2}}}{1}=1 . Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm và tâm sai

Lời giải:

Từ phương trình của (E) ta có displaystyle a=2,,,b=1Rightarrow c=sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=sqrt{3}.

Suy ra tọa độ các đỉnh là {{A}_{1}}left( -2;0 right);,,{{A}_{2}}left( 2;0 right);,,{{B}_{1}}left( 0;-1 right);,,{{B}_{2}}left( 0;1 right)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Ai đã đặt tên cho dòng sông? 2022 | Mytranshop.com

Độ dài trục lớn displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}=4, độ dài trục bé {{B}_{1}}{{B}_{2}}=2

Tiêu cự {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2sqrt{3}, tiêu điểm là {{F}_{1}}left( -sqrt{3};0 right);,,{{F}_{2}}left( sqrt{3};0 right),

Tâm sai của (E) là displaystyle e=frac{c}{a}=frac{sqrt{3}}{2}

Ta có 4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=100Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{4}=1 suy ra a=5;,,b=2Rightarrow c=sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=sqrt{21}

Do đó tọa độ các đỉnh là {{A}_{1}}left( -5;0 right);,,{{A}_{2}}left( 5;0 right);,,{{B}_{1}}left( 0;-2 right);,,{{B}_{2}}left( 0;-2 right)

Độ dài trục lớn displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}=10, độ dài trục bé {{B}_{1}}{{B}_{2}}=4

Tiêu cự {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2sqrt{21}, tiêu điểm là {{F}_{1}}left( -sqrt{21};0 right);,,{{F}_{2}}left( sqrt{21};0 right),

Tâm sai của (E) là displaystyle e=frac{c}{a}=frac{sqrt{21}}{5}

DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip.

1. Phương pháp giải.

Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:

+ Gọi phương trình chính tắc elip là frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1left( a>b>0 right)

+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm các đại lượng a,,b của elip từ đó viết được phương trình chính tắc của nó.

2. Các ví dụ.

Ví dụ.Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai e=frac{2}{3}

b) (E)có tọa độ một đỉnh là left( 0;sqrt{5} right) và đi qua điểm Mleft( frac{4sqrt{10}}{5};-1 right)

c) (E) có tiêu điểm thứ nhất left( -sqrt{3};0 right) và đi qua điểm M(1;frac{4sqrt{33}}{5}).

d) Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng y+2=0 và có diện tích bằng 48.

e) (E) có tâm sai bằng frac{sqrt{5}}{3} và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (E) có dạng: frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1left( a>b>0 right)

a) (E) có độ dài trục lớn là 6 suy ra 2a=6Leftrightarrow a=3, Tâm sai e=frac{2}{3} nên frac{c}{a}=frac{2}{3}Rightarrow c=2,,,{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=5

Vậy phương trình chính tắc (E) là frac{{{x}^{2}}}{9}+frac{{{y}^{2}}}{5}=1

b) (E) có một đỉnh có tọa độ là left( 0;sqrt{5} right) nằm trên trục tung nên b=sqrt{5} do đó phương trình chính tắc của (E) có dạng: frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{5}=1left( a>sqrt{5} right).

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Xây nhà hai tầng với 500 triệu có được không? 2022 | Mytranshop.com

Mặt khác (E) đi qua điểm Mleft( frac{4sqrt{10}}{5};-1 right) nên frac{160}{25{{a}^{2}}}+frac{1}{5}=1Rightarrow {{a}^{2}}=8

Vậy phương trình chính tắc (E) là frac{{{x}^{2}}}{8}+frac{{{y}^{2}}}{5}=1

c) (E) có tiêu điểm {{F}_{1}}(-sqrt{3};0)nên c=sqrt{3} suy ra {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{b}^{2}}+3 (1)

Mặt khác M(1;frac{4sqrt{33}}{5})in (E)Rightarrow frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{528}{25{{b}^{2}}}=1 (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

             frac{1}{{{b}^{2}}+3}+frac{528}{25{{b}^{2}}}=1Leftrightarrow 25{{b}^{4}}-478{{b}^{2}}-1584=0Leftrightarrow {{b}^{2}}=22Rightarrow {{a}^{2}}=25

Vậy phương trình chính tắc (E) là frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{22}=1

d) (E) có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng y+2=0 suy ra b=2

Mặt khác hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 48 nên 2a.2b=48Rightarrow b=6

Vậy phương trình chính tắc (E) là frac{{{x}^{2}}}{36}+frac{{{y}^{2}}}{4}=1

e) (E) có tâm sai bằng frac{sqrt{5}}{3} suy ra frac{sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}{a}=frac{sqrt{5}}{3} hay 4{{a}^{2}}=9{{b}^{2}} (3)

Hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 suy ra 4left( a+b right)=20 (4).

Từ (3) và (4) suy ra a=3,,,b=2

Vậy phương trình chính tắc (E) là displaystyle frac{{{x}^{2}}}{9}+frac{{{y}^{2}}}{4}=1

DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1left( a>b>0 right) ta làm như sau

  • Giả sử Mleft( {{x}_{M}};{{y}_{M}} right), điểm Min left( E right)Leftrightarrow frac{x_{M}^{2}}{{{a}^{2}}}+frac{y_{M}^{2}}{{{b}^{2}}}=1 ta thu được phương trình thứ nhất.
  • Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn {{x}_{M}},,,{{y}_{M}} ta tìm được tọa độ của điểm M

2. Các ví dụ:

Ví dụ: Cho elip (E) : displaystyle frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{y}^{2}}}{1}=1 và Cleft( 2;0 right). Tìm A,,B thuộc (E) biết A,,B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABCđều.

Lời giải:

Giả sử Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right). Vì A,,B đối xứng nhau qua trục hoành nên Bleft( {{x}_{0}};-{{y}_{0}} right) với {{y}_{0}}>0.

Vì Ain left( E right) nên frac{x_{0}^{2}}{4}+frac{y_{0}^{2}}{1}=1Leftrightarrow y_{0}^{2}=1-frac{x_{0}^{2}}{4} (1)

Vì tam giác ABC đều nên A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}Rightarrow {{left( -2{{y}_{0}} right)}^{2}}={{left( 2-{{x}_{0}} right)}^{2}}+{{left( -{{y}_{0}} right)}^{2}}

                                                            Leftrightarrow 3y_{0}^{2}=4-4{{x}_{0}}+x_{0}^{2} (2)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Mantozơ, trắc nghiệm hóa học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Thay (1) vào (2) ta có

3left( 1-frac{x_{0}^{2}}{4} right)=4-4{{x}_{0}}+x_{0}^{2}Leftrightarrow 7x_{0}^{2}-16{{x}_{0}}+4=0 ⇔ {{x}_{0}}=2 hoặc {{x}_{0}}=frac{2}{7}

+ Nếu {{x}_{0}}=2 thay vào (1) ta có{{y}_{0}}=0 . Trường hợp này loại vì Aequiv C

+ Nếu {{x}_{0}}=frac{2}{7} thay vào (1) ta có {{y}_{0}}=pm frac{4sqrt{3}}{7}

Vậy displaystyle Aleft( frac{2}{7};frac{4sqrt{3}}{7} right)displaystyle Bleft( frac{2}{7};-frac{4sqrt{3}}{7} right) hoặc displaystyle Aleft( frac{2}{7};-frac{4sqrt{3}}{7} right)displaystyle Bleft( frac{2}{7};frac{4sqrt{3}}{7} right).

Leave a Comment