Giải phương trình số phức, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản

1. Căn bậc hai của số phức

Số phức $displaystyle text{w},text{=},text{x},text{+ yi}$ được gọi là một căn bậc hai của số phức $z=a+bi$

$Leftrightarrow {{text{w}}^{2}}=zLeftrightarrow ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})+2xyi=a+bi$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a\2xy=bend{array} right.$ .

Nhận xét:

2. Phương trình bậc hai ẩn phức

Chú ý: Định lí Viet vẫn đúng trên tập số phức.

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm căn bậc hai của $z$

A. Phương pháp

Cách 1: Biến đổi $z$ thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Cách 2: Giả sử $displaystyle text{w},text{=},text{x},text{+ yi}$ là một căn bậc hai của $z$ , khi đó

$Leftrightarrow {{text{w}}^{2}}=zLeftrightarrow ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})+2xyi=a+bi$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a\2xy=bend{array} right.$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi=a+bi$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a\2xy=bend{array} right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a) $z=5$ . b) $z=-3$ . c) $z=-1-2sqrt{6}i$ .

d) $z=1+4sqrt{3}i$ . e) $z=4+6sqrt{5}i$ .

Lời giải:

a) Căn bậc hai của $z=5$ là $pm sqrt{5}$ .

b) $z=-3=3{{i}^{2}}$ , suy ra $z=-3$ có hai căn bậc hai là $pm isqrt{3}$ .

c) $z=-1-2sqrt{6}i={{(sqrt{2})}^{2}}-2sqrt{2}.sqrt{3}i+{{(sqrt{3}i)}^{2}}={{(sqrt{2}-isqrt{3})}^{2}}$ .

Do đó $z=-1-2sqrt{6}i$ có hai căn bậc hai là $sqrt{2}-isqrt{3}$ và $sqrt{2}+isqrt{3}$ .

Cách 2: Giả sử $displaystyle text{w},text{=},text{x},text{+ yi}$ là một căn bậc hai của $z=-1-2sqrt{6}i$ , ta có

${{(x+yi)}^{2}}=-1-2sqrt{6}iLeftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi=-1-2sqrt{6}i$

$displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-1\2xy=-2sqrt{6}end{array} right.$ $displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y=frac{-sqrt{6}}{x}\{{x}^{2}}-{{left( frac{-sqrt{6}}{x} right)}^{2}}=-1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}=2\y=frac{-sqrt{6}}{x}end{array} right.$

Hệ phương trình có hai nghiệm $(sqrt{2};-sqrt{3});,(sqrt{2};sqrt{3})$ .

Do đó $z=-1-2sqrt{6}i$ có hai căn bậc hai là $sqrt{2}-isqrt{3}$ và $sqrt{2}+isqrt{3}$ .

d) $z=1+4sqrt{3}i=1+2.2.sqrt{3}i$ $={{2}^{2}}+2.2.sqrt{3}i+{{(isqrt{3})}^{2}}={{(2+isqrt{3})}^{2}}$

Do đó $z=1+4sqrt{3}i$ có hai căn bậc hai là $pm (2+isqrt{3})$ .

e) $z=4+6sqrt{5}i={{3}^{2}}+2.3.sqrt{5}i+{{(sqrt{5}i)}^{2}}={{(3+sqrt{5}i)}^{2}}$

Do đó z có hai căn bậc hai là $3+sqrt{5}i$ và $3-sqrt{5}i$ .

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai ẩn phức

A. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Một số mẹo khử mùi hôi nách nhanh chóng và hiệu quả 2022 | Mytranshop.com

a) ${{z}^{2}}+2z+5=0$ . b) ${{z}^{2}}-4z+20=0$ .

c) $({{z}^{2}}+i)({{z}^{2}}-2iz-1)=0$ . d) ${{z}^{2}}+(1-3i)z-2(1+i)=0$ .

Lời giải:

a) ${{z}^{2}}+2z+5=0$ .

Cách 1: Ta có $Delta '=-4=4{{i}^{2}}$ . Suy ra phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=-1pm 2i$ .

Cách 2: ${{z}^{2}}+2z+5=0Leftrightarrow ({{z}^{2}}+2z+1)+4=0$ $Leftrightarrow {{(z+1)}^{2}}-{{(2i)}^{2}}=0$

$Leftrightarrow {{(z+1)}^{2}}=4{{i}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z+1=2i\z+1=-2iend{array} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=-1+2i\z=-1-2iend{array} right.$

b) ${{z}^{2}}-4z+20=0$ .

Cách 1: Ta có $Delta '=-16=16{{i}^{2}}$ . Suy ra phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=2pm 4i$ .

Cách 2: ${{z}^{2}}-4z+20=0Leftrightarrow ({{z}^{2}}-4z+4)+16=0$ $Leftrightarrow {{(z-2)}^{2}}-{{(4i)}^{2}}=0$

${{(z-2)}^{2}}={{(4i)}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z-2=4i\z-2=-4iend{array} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=2+4i\z=2-4iend{array} right.$ .

c) $({{z}^{2}}+i)({{z}^{2}}-2iz-1)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{z}^{2}}+i=0\{{z}^{2}}-2iz-1=0end{array} right.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là ${{z}_{1}}=frac{1}{sqrt{2}}-frac{1}{sqrt{2}}i;,{{z}_{2}}=-frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{2}}i;,{{z}_{3}}=i$ .

d) ${{z}^{2}}+(1-3i)z-2(1+i)=0$ .

Ta có $Delta ={{(1-3i)}^{2}}+8(1+i)=2i={{(1+i)}^{2}}$ .

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là $left[ begin{array}{l}z=frac{3i-1+1+i}{2}=2i\z=frac{3i-1-1-i}{2}=i-1end{array} right.$ .

Ví dụ 2.2 (THPT Chuyên KHTN – Hà Nội) Gọi ${{z}_{1}},,{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+z+1=0$ . Tính giá trị của $P=z_{1}^{2017}+z_{2}^{2017}$ .

A. $P=1$ . B. $P=-1$ . C. $P=0$ . D. $P=2$ .

Lời giải:

Cách 1: ${{z}^{2}}+z+1=0$ có $Delta =1-4=-3=3{{i}^{2}}$ .

Suy ra phương trình có nghiệm ${{z}_{1,2}}=frac{-1pm isqrt{3}}{2}=-frac{1}{2}pm frac{isqrt{3}}{2}Rightarrow z_{1}^{3}=z_{2}^{3}=1$ .

$Rightarrow left{ begin{array}{l}z_{1}^{2016}=1\z_{2}^{2016}=1end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}z_{1}^{2017}={{z}_{1}}\z_{2}^{2017}={{z}_{2}}end{array} right.$ $Rightarrow P={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-1$

Cách 2:

Ta có $z_{1}^{2}+{{z}_{1}}+1=0,Rightarrow z_{1}^{3}-1=0Rightarrow z_{1}^{3}=1$ $Rightarrow z_{1}^{2016}=1Rightarrow z_{1}^{2017}={{z}_{1}}$ .

Chứng minh tương tự $z_{2}^{2017}={{z}_{2}}$ .

$Rightarrow P={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-1$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.3 ( THPT Gia Lộc II) Gọi ${{z}_{1}},,{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình $2{{z}^{2}}-3z+2=0$ trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức $P=sqrt{z_{1}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}}$ .

A. $P=frac{sqrt{5}}{2}$ . B. $P=frac{5}{sqrt{2}}$ . C. $P=frac{3sqrt{3}}{4}$ . D. $P=frac{sqrt{3}}{4}$ .

Lời giải:

Theo định lí Viet có $left{ begin{array}{l}{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=frac{3}{2}\{{z}_{1}}{{z}_{2}}=1end{array} right.$ .

Ta có $P=sqrt{z_{1}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}}=sqrt{{{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}}$ $=sqrt{frac{9}{4}-1}=frac{sqrt{5}}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.4 (THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}ne 0;,{{z}_{1}}+{{z}_{2}}ne 0$ và $frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=frac{1}{{{z}_{1}}}+frac{2}{{{z}_{2}}}$ . Tính $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|$ .

A. $frac{sqrt{2}}{2}$ . B. $frac{sqrt{3}}{2}$ . C. $2sqrt{3}$ . D. $frac{2}{sqrt{3}}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Các nhân tố ảnh hưởng đến sinh trưởng và phát triển ở động vật 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Cách 1:

Từ giả thiết, ta có $frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=frac{1}{{{z}_{1}}}+frac{2}{{{z}_{2}}}Leftrightarrow frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=frac{2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}$ $Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}})({{z}_{1}}+{{z}_{2}})$

$Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=2z_{1}^{2}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}Leftrightarrow 2z_{1}^{2}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}=0$

$Leftrightarrow 2{{left( frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right)}^{2}}+2left( frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right)+1=0Leftrightarrow frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=-frac{1}{2}pm frac{i}{2}$
$Rightarrow left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|,=,left| -frac{1}{2}pm frac{i}{2} right|,=frac{sqrt{2}}{2}$

Chọn A.

Cách 2: Đặt $x=frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}Rightarrow {{z}_{1}}=x.{{z}_{2}}$ và $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=,|x|$ .

Từ giả thiết $frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=frac{1}{{{z}_{1}}}+frac{2}{{{z}_{2}}}Leftrightarrow frac{1}{x.{{z}_{2}}+{{z}_{2}}}=frac{1}{x{{z}_{2}}}+frac{2}{{{z}_{2}}}$ $Leftrightarrow frac{1}{{{z}_{2}}(x+1)}=frac{1}{{{z}_{2}}}left( frac{1}{x}+2 right)Leftrightarrow frac{1}{x+1}=frac{1}{x}+2$

$Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2x+1=0Leftrightarrow x=-frac{1}{2}pm frac{1}{2}iRightarrow |x|,=frac{sqrt{2}}{2}$ .

Chọn A.

Dạng 3. Giải phương trình quy về bậc hai ẩn phức

A. Phương pháp

Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai.

Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai.

Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) ${{left( frac{iz+3}{z-2i} right)}^{2}}-3.frac{iz+3}{z-2i}-4=0$ . b) ${{z}^{3}}-8=0$ . c) $4{{z}^{4}}-3{{z}^{2}}-1=0$ .

Lời giải:

a) Đặt $frac{iz+3}{z-2i}=tRightarrow {{t}^{2}}-3t-4=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=-1\t=4end{array} right.$ .

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là ${{z}_{1}}=frac{4}{17}+frac{35}{17}i;,{{z}_{2}}=-frac{1}{2}+frac{5}{2}i$ .

b) ${{z}^{3}}-8=0Leftrightarrow (z-2)({{z}^{2}}+2z+4)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=2\{{z}^{2}}+2z+4=0end{array} right.$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=2\{{(z+1)}^{2}}=-3end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=2\{{(z+1)}^{2}}={{(isqrt{3})}^{2}}end{array} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=2\z=-1pm isqrt{3}end{array} right.$ .

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức là ${{z}_{1}}=2;,{{z}_{2,3}}=-1pm isqrt{3}$ .

c) $4{{z}^{4}}-3{{z}^{2}}-1=0$ .

Đặt ${{z}^{2}}=t$ . Phương trình trở thành $4{{t}^{2}}-3t-1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=1\t=-frac{1}{4}end{array} right.$ .

Với $t=1Rightarrow {{z}^{2}}=1Leftrightarrow z=pm 1$ .
Với $t=-frac{1}{4}Rightarrow {{z}^{2}}=frac{{{i}^{2}}}{4}Leftrightarrow z=pm frac{i}{2}$ .

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức $z=pm 1;,z=pm frac{i}{2}$ .

Ví dụ 3.2: Giải các phương trình sau:

a) ${{z}^{3}}+3{{z}^{2}}+3z-63=0$ . b) ${{z}^{4}}-4{{z}^{3}}+7{{z}^{2}}-16z+12=0$ .

c) ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$ .

Lời giải:

a) ${{z}^{3}}+3{{z}^{2}}+3z-63=0Leftrightarrow (z-3)({{z}^{2}}+6z+21)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=3\{{z}^{2}}+6z+21=0end{array} right.$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=3\z=-3pm 2sqrt{3}iend{array} right.$ .

b) Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm $displaystyle z=1$ .

Phương trình tương đương $(z-1)({{z}^{3}}-3{{z}^{2}}+4z-12)=0$

$Leftrightarrow (z-1)(z-3)({{z}^{2}}+4)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=1\z=3\{{z}^{2}}=-4end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=1\z=3\z=pm 2iend{array} right.$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

c) ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$ (1)

Do $z=0$ không phải là nghiệm của phương trình (1) nên

$(1)Leftrightarrow {{z}^{2}}-z+frac{1}{2}+frac{1}{z}+frac{1}{{{z}^{2}}}=0$ $Leftrightarrow {{(z-frac{1}{z})}^{2}}-(z-frac{1}{z})+frac{5}{2}=0$ .

Đặt $y=z-frac{1}{z}$ , phương trình trở thành ${{y}^{2}}-y+frac{5}{2}=0Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-2y+5=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y=frac{1+3i}{2}\y=frac{1-3i}{2}end{array} right.$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Uống bột đậu xanh có tăng cân không? Cách làm bột đậu xanh đơn giản ngay tại nhà 2022 | Mytranshop.com

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 3.3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) ${{z}^{3}}+(2-2i){{z}^{2}}+(5-4i)z-10i=0$ biết phương trình có nghiệm thuần ảo

b) ${{z}^{4}}-2{{z}^{3}}-{{z}^{2}}-2z+1=0$ c) ${{left( frac{z-i}{z+1} right)}^{3}}=8$

Lời giải:

a) Giả sử $z=xi$ là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có:

$-{{x}^{3}}i-(2-2i){{x}^{2}}+(5-4i)xi-10i=0$

$Leftrightarrow (-2{{x}^{2}}+4x)+(-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-10)i=0$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-2{{x}^{2}}+4x=0\-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-10=0end{array} right.Leftrightarrow x=2$ $Rightarrow x=2i$ là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:

$(z-2i)({{z}^{2}}+2z+5)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=2i\{{z}^{2}}+2z+5=0end{array} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=2i\z=-1pm 2iend{array} right.$ .

b) Vì $z=0$ không là nghiệm của phương trình nên

Phương trình $Leftrightarrow {{(z+frac{1}{z})}^{2}}-2(z+frac{1}{z})-3=0$ $Leftrightarrow {{z}^{2}}+frac{1}{{{z}^{2}}}-2(z+frac{1}{z})-1=0$

Đặt $Z=z+frac{1}{z}$ , ta có: ${{Z}^{2}}-2Z-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}Z=-1\Z=3end{array} right.$ .

$bullet text{ }$ $Z=-1Leftrightarrow z+frac{1}{z}=-1Leftrightarrow {{z}^{2}}+z+1=0Leftrightarrow z=frac{-1pm sqrt{3}i}{2}$

$bullet text{ }$ $Z=3Leftrightarrow {{z}^{2}}+3z+1=0Leftrightarrow z=frac{-3pm sqrt{5}}{2}$ .

c) Đặt $Z=frac{z+i}{z+1}$ , ta có: ${{Z}^{3}}=8Leftrightarrow (Z-2)({{Z}^{2}}+2Z+4)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}Z=2\Z=-1pm sqrt{3}iend{array} right.$