Hàm số liên tục, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

I. Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số $fleft( x right)$ xác định trên (a; b) liên tục tại ${{x}_{0}}$ ∈ (a; b) nếu
Hàm số $fleft( x right)$ không liên tục tại x0 gọi là gián đoạn tại ${{x}_{0}}$ .

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.
• Hàm số $fleft( x right)$ xác định trên (a; b) và liên tục tại mọi điểm ${{x}_{0}}$ ∈ (a; b) gọi là liên tục trên khoảng (a; b).
• Hàm số $fleft( x right)$ xác định trên [a; b], liên tục trên (a; b) và được gọi là liên tục trên [a; b].

III. Một số định lí về hàm số liên tục
Định lí 1: Các hàm số đa thức liên tục trên tập số thực R. Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Định lí 2: Nếu $fleft( x right)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục trên khoảng K thì:
a) Các hàm số $fleft( x right)$ ± $g(x)$ , $fleft( x right)$ . $g(x)$ liên tục trên K.

Định lí 3: Nếu hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên [a; b], f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số M nằm giữa f(a) và f(b) có ít nhất 1 số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = M.

Hệ quả: Nếu hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Điều này có nghĩa là phương trình $fleft( x right)$ = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).

IV. Các dạng bài tập:

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn.

Phương pháp giải:

+ Hàm số y = f(x) liên tục tại $x={{x}_{0}}$ $Leftrightarrow underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},f(x)=f({{x}_{0}})$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Phun mày màu nâu tây 2022 | Mytranshop.com

+ Hàm số y = f(x) liên tục tại $x={{x}_{0}}$ $Leftrightarrow underset{xto x_{0}^{+}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto x_{0}^{-}}{mathop{lim }},f(x)=f({{x}_{0}})$ .

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) tại x = 2

b) tại x = 1.

Lời giải:

a) Ta có f(2) = 1.

$underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{2-7x+5{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-3x+2}$ $=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{(x-2)(-{{x}^{2}}+3x-1)}{(x-1)(x-2)}$ $=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{-{{x}^{2}}+3x-1}{x-1}$ $=1=f(2)$

Vậy hàm số liên tục tại x = 2.

b) Ta có: f(1) = -2.1= -2

$underset{xto {{1}^{+}}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto {{1}^{+}}}{mathop{lim }},(-2x)=-2$

$underset{xto {{1}^{-}}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto {{1}^{-}}}{mathop{lim }},frac{x-1}{sqrt{2-x}-1}$ $=underset{xto {{1}^{-}}}{mathop{lim }},frac{(x-1)(sqrt{2-x}+1)}{(sqrt{2-x}-1)(sqrt{2-x}+1)}$

$=underset{xto {{1}^{-}}}{mathop{lim }},frac{(x-1)(sqrt{2-x}+1)}{1-x}$ $=underset{xto {{1}^{-}}}{mathop{lim }},(-sqrt{2-x}-1)=-2$ = $underset{xto {{1}^{+}}}{mathop{lim }},f(x)=f(1)$

Vậy hàm số liên tục tại x = 1.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

Lời giải:

Tập xác định của f(x) là D = R.

+ Nếu x ≠ 3, thì $f(x)=frac{{{x}^{2}}-2x-3}{x-3}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $(-infty ,3);(3,+infty )$ .

+ Nếu x = 3, ta có f(3) = 5.

$underset{xto 3}{mathop{lim }},f(x)$ $=underset{xto 3}{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-2x-3}{x-3}$ $=underset{xto 3}{mathop{lim }},frac{(x+1)(x-3)}{x-3}$ $=underset{xto 3}{mathop{lim }},(x+1)=4ne f(3)$

Do đó f(x) không liên tục tại x = 3.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-infty ,3);(3,+infty )$ nhưng gián đoạn tại x = 3.

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

Lời giải:

Ta có f(2) = m.

$underset{xto 2}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}$ $=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{(x+1)(x-2)}{x-2}$ $=underset{xto 2}{mathop{lim }},(x+1)=3$

Để hàm số liên tục tại x = 2 $Leftrightarrow underset{xto 2}{mathop{lim }},f(x)=f(2)$ $Leftrightarrow m=3$

Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng đoạn

Phương pháp:

Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:

1. $f(x)=tan 2x+cos x$ 2. $f(x)=frac{sqrt{x-1}+2}{{{x}^{2}}-3x+2}$

Lời giải:

1. TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{pi }{4}+kfrac{pi }{2},kin mathbb{Z} right}$

Vậy hàm số liên tục trên $D$

2. Điều kiện xác định: $left{ begin{array}{l}x-1ge 0\{{x}^{2}}-3x+2ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>1\xne 2end{array} right.$

Vậy hàm số liên tục trên $left( 1;2 right)cup left( 2;+infty right)$ .

Ví dụ 2 Xác định a để hàm số sau liên tục trên $mathbb{R}$ :

Lời giải:

Hàm số xác định trên $mathbb{R}$

Với $x<2Rightarrow$ hàm số liên tục

Với $x>2Rightarrow$ hàm số liên tục

Với $x=2$ ta có $underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},(1-a)x=2(1-a)=f(2)$

$underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{{{a}^{2}}(x-2)}{sqrt{x+2}-2}=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},{{a}^{2}}(sqrt{x+2}+2)=4{{a}^{2}}$

Hàm số liên tục trên $mathbb{R}Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại $x=2$

$Leftrightarrow underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},f(x)Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=2(1-a)Leftrightarrow a=-1,a=frac{1}{2}$ .

Vậy $a=-1,a=frac{1}{2}$ là những giá trị cần tìm.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Chiêm ngưỡng bản vẽ nhà 2 tầng mái thái độc đáo tại Lạng Sơn 2022 | Mytranshop.com

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp giải :

+ Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm, chỉ cần tìm được 2 số a và b sao cho :

$f(a).f(b)<0$ và hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b].

+ Nếu phương trình có chứa tham số, thì chọn a và b sao cho :

f(a) và f(b) không còn chứa tham số hay chứa tham số nhưng có dấu không đổi ; hoặc f(a).f(b) chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : Phương trinh trình $2{{x}^{3}}-10x-7=0$ có ít nhất hai nghiệm.

Lời giải :

Xét hàm số $f(x)=2{{x}^{3}}-10x-7$ . Vì hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0 ; 3].

Mặt khác, ta có : f(-1) = 1 ; f(0) = -7 và f(3) = 17.

Do đó : f(-1).f(0) < 0 và f(0).f(3) < 0.

Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) và một nghiệm thuộc khoảng (0; 3).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình $(1-{{m}^{2}}){{x}^{5}}-3x-1=0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Lời giải:

Xét hàm số $f(x)=(1-{{m}^{2}}){{x}^{5}}-3x-1$ .

Vì f(0) = – 1 < 0 và $f(-1)={{m}^{2}}+1>0$ nên f(0).f(-1) < 0 với mọi m (1)

Mặt khác, f(x) là hàm đa thức, liên tục trên R, nên liên tục trên đoạn [-1; 0] (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0), nghĩa là phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Hàm số liên tục, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng đoạn

Phương pháp:

Leave a Comment Cancel reply