Hệ tọa độ trong không gian, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản

1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian

Cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc $O$ . Gọi $overrightarrow{i},overrightarrow{j},,overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị tương ứng trên các trục $Ox,Oy,Oz$ . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc $Oxyz$ (hoặc đơn giản là hệ tọa độ $Oxyz$ ).

Chú ý: ${{overrightarrow{i}}^{2}}={{overrightarrow{j}}^{2}}={{overrightarrow{k}}^{2}}=1$ và $overrightarrow{i}.overrightarrow{j}=overrightarrow{i}.overrightarrow{k}=overrightarrow{j}.overrightarrow{k}=0$ .

2. Tọa độ của vec to

Định nghĩa: $displaystyle overrightarrow{u}(x;y;z)Leftrightarrow overrightarrow{u}=x.overrightarrow{i}+y.overrightarrow{j}+z.overrightarrow{k}$

Tính chất: Cho $displaystyle overrightarrow{u}(x;y;z),,overrightarrow{v}(x';y';z')$ , ta có:

+ $overrightarrow{u}=overrightarrow{v}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'\y=y'\z=z'end{array} right.$ .

+ $overrightarrow{u}pm overrightarrow{v}=(xpm x';ypm y';zpm z')$ .

+ $koverrightarrow{u}=(kx;ky;kz)$ .

+ $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$ .

+ $overrightarrow{u}bot overrightarrow{v}Leftrightarrow xx'+yy'+zz'=0$ .

+ $|overrightarrow{u}|=sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}Rightarrow |overrightarrow{u}{{|}^{2}}=,{{overrightarrow{u}}^{2}}$

+ $overrightarrow{0}(0;0;0),,,overrightarrow{i}(1;0;0),,overrightarrow{,j}(0;1;0),,,overrightarrow{k}(0;0;1)$ .

+ $overrightarrow{u}$ cùng phương với $overrightarrow{v},(overrightarrow{v}ne overrightarrow{0})Leftrightarrow overrightarrow{u}=koverrightarrow{v},(kin mathbb{R})$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=kx'\y=ky'\z=kz'end{array} right.Leftrightarrow frac{x}{x'}=frac{y}{y'}=frac{z}{z'}$ .

$(x',y',z'ne 0)$ .

+ $displaystyle cos (overrightarrow{u},overrightarrow{v})=frac{overrightarrow{u}.overrightarrow{v}}{|overrightarrow{u}|.|overrightarrow{v}|}$ $displaystyle =frac{xx'+yy'+zz'}{sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}.sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}}}$ .

3. Tọa độ của điểm

– Định nghĩa: $M(x;y;z)Leftrightarrow overrightarrow{OM}=(x;y;z)$ .

– Tính chất: Cho $A({{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}}),,B({{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}})$

$overrightarrow{AB}=({{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}};{{z}_{B}}-{{z}_{A}})$

$AB=|overrightarrow{AB}|=sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}+{{({{z}_{B}}-{{z}_{A}})}^{2}}}$ .

– Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$ : $Mleft( frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} right)$ .

– Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ :

$Gleft( frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} right)$ .

– Tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là:

$Gleft( frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}+{{x}_{D}}}{4},frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}+{{y}_{D}}}{4};frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}+{{z}_{D}}}{4} right)$ .

4. Tích có hướng của hai vecto

– Định nghĩa: Cho $displaystyle overrightarrow{u}(x;y;z),,overrightarrow{v}(x';y';z')$

– Tính chất:

+ $left[ overrightarrow{i},overrightarrow{j} right],=overrightarrow{k}$ ; $left[ overrightarrow{j},overrightarrow{k} right]=overrightarrow{i}$ ; $left[ overrightarrow{k},overrightarrow{i} right]=overrightarrow{j}$ .

+ $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]bot overrightarrow{u}$ ; $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]bot overrightarrow{v}$ .

+ $left| left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right] right|=|overrightarrow{u}|.|overrightarrow{v}|.sin (overrightarrow{u},overrightarrow{v})$ .

+ $overrightarrow{u},overrightarrow{v}$ cùng phương $Leftrightarrow left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]=overrightarrow{0}$ .

– Ứng dụng của tích có hướng:

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto: và đồng phẳng ⇔.

+ Diện tích hình bình hành ABCD: .

+ Diện tích hình tam giác ABC: .

+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: .

+ Thể tích tứ diện ABCD: .

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm tọa độ của điểm, vecto và các yếu tố liên quan đến vecto thỏa mãn một số điều kiện cho trước

A. Phương pháp

Các điểm đặc biệt của $Delta ABC$ :

+ $G$ là trọng tâm của $Delta ABCLeftrightarrow overrightarrow{OG}=frac{1}{3}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})$

$Rightarrow Gleft( frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} right)$ .

+ $H$ là trực tâm của $Delta ABCLeftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow{AH}bot overrightarrow{BC}\overrightarrow{BH}bot overrightarrow{AC}end{array} right.$ ( $overrightarrow{AH},overrightarrow{BC},overrightarrow{AC}$ đồng phẳng).

+ $A'$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của $Delta ABCLeftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow{AA'}bot overrightarrow{BC}\overrightarrow{BA'}=koverrightarrow{BC}end{array} right.$ .

+ $D$ là chân đường phân giác trong của góc $widehat{A}Leftrightarrow overrightarrow{DB}=-frac{AB}{AC}.overrightarrow{DC}$ .

Các điểm đặc biệt của tứ diện $ABCD$

– Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là

$Gleft( frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}+{{x}_{D}}}{4},frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}+{{y}_{D}}}{4};frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}+{{z}_{D}}}{4} right)$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho vecto $overrightarrow{AO}=3(overrightarrow{i}+4overrightarrow{j})-2overrightarrow{k}+5overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ điểm $A$ .

A. $A(3;-2;5)$ . B. $A(-3;-17;2)$ . C. $A(3;17;-2)$ . D. $A(3;5;-2)$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bảng giá vợt cầu lông proace mới nhất 2020 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Ta có $overrightarrow{i}=(1;0;0),,overrightarrow{j}=(0;1;0),,overrightarrow{k}=(0;0;1)$ .

$overrightarrow{AO}=3(overrightarrow{i}+4overrightarrow{j})-2overrightarrow{k}+5overrightarrow{j}=(3;17;-2)$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Cho vecto $overrightarrow{a}(2;-5;3),,overrightarrow{b}(0;2;-1),,overrightarrow{c}(1;7;2)$ , tọa độ vecto $overrightarrow{d}=overrightarrow{a}-4overrightarrow{b}-2overrightarrow{c}$ là

A. $overrightarrow{d}(0;-27;3)$ . B. $overrightarrow{d}(0;27;3)$ . C. $overrightarrow{d}(0;-27;-3)$ . D. $overrightarrow{d}(0;-2;3)$ .

Lời giải:

Ta có:

$overrightarrow{a}=(2;-5;3),,-4overrightarrow{b}=(0;-8;4),,-2overrightarrow{c}=(-2;-14;-4)$ $Rightarrow overrightarrow{d}=overrightarrow{a}-4overrightarrow{b}-2overrightarrow{c}=(0;-27;3)$

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3: Cho ba vecto $overrightarrow{a}=(1;2;3),,overrightarrow{c}=(4;0;-4)$ , tọa độ vecto $overrightarrow{d}$ thỏa mãn $2overrightarrow{d}-3overrightarrow{a}=overrightarrow{c}$ là

A. $overrightarrow{d}=left( frac{7}{2};3;frac{5}{2} right)$ . B. $overrightarrow{d}=left( frac{7}{2};-3;frac{5}{2} right)$ . C. $overrightarrow{d}=(7;3;5)$ . D. $overrightarrow{d}=left( frac{7}{2};3;-frac{5}{2} right)$ .

Lời giải:

$2overrightarrow{d}-3overrightarrow{a}=overrightarrow{c}Rightarrow overrightarrow{d}=frac{3}{2}overrightarrow{a}+frac{1}{2}overrightarrow{c}$ $=left( frac{3}{2}+2;3;frac{9}{2}-2 right)=left( frac{7}{2};3;frac{5}{2} right)$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4: Cho vecto $overrightarrow{u}=(3;2;-5)$ , trong các vecto sau, vecto nào cùng phương với $overrightarrow{u}$ ?

A. $overrightarrow{a}=(6;-4;10)$ . B. $overrightarrow{b}=left( 2;frac{4}{3};-frac{10}{3} right)$ . C. $overrightarrow{c}=(6;4;10)$ . D. $overrightarrow{d}=(1;-4;2)$ .

Lời giải:

$overrightarrow{u}({{u}_{1}};{{u}_{2}};{{u}_{3}})$ cùng phương với $overrightarrow{v}({{v}_{1}};{{v}_{2}};{{v}_{3}})$ $Leftrightarrow frac{{{u}_{1}}}{{{v}_{1}}}=frac{{{u}_{2}}}{{{v}_{2}}}=frac{{{u}_{3}}}{{{v}_{3}}}Rightarrow$ Chọn B.

Ví dụ 1.5: Trong không gian $Oxyz$ , cho 2 vecto $displaystyle overrightarrow{a}=(5;7;2),overrightarrow{b}=(1;3;-4)$ , tích vô hướng của $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ có giá trị bằng

A. 18. B. 34. C. 14. D. 0.

Lời giải:

Ta có $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=5.1+7.3+2(-4)=5+21-8=18$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.6: Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(-1;-2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Tính $cos widehat{BAC}$ bằng

A. $frac{9}{2}$ . B. $frac{-9}{2sqrt{35}}$ . C. $frac{9}{sqrt{35}}$ . D. $frac{9}{2sqrt{35}}$ .

Lời giải:

Ta có $displaystyle overrightarrow{AB}=(1;5;-2),overrightarrow{AC}=(5;4;-1)$ .

$cos widehat{BAC}=cos left( overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right)$ $=frac{overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}}{left| overrightarrow{AB} right|.left| overrightarrow{AC} right|}=frac{9}{2sqrt{35}}$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.7: Cho ba điểm $A(1;-1;1),B(0;1;2),C(1;0;1)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

A. $Gleft( frac{2}{3};0;frac{4}{3} right)$ . B. $Gleft( frac{2}{3};frac{4}{3};0 right)$ . C. $Gleft( frac{2}{3};0;-frac{4}{3} right)$ . D. $Gleft( -frac{2}{3};0;frac{4}{3} right)$ .

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $left{ begin{array}{l}{{x}_{G}}=frac{1}{3}({{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}})=frac{2}{3}\{{y}_{G}}=frac{1}{3}({{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}})=0\{{z}_{G}}=frac{1}{3}({{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}})=frac{4}{3}end{array} right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.8: Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có $A(1;0;2),B(-2;1;3)$ , $C(3;2;4),D(6;9;-5)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là

A. $G(-2;-3;-1)$ . B. $G(-2;3;1)$ . C. $G(2;3;1)$ . D. $(2;3;-1)$ .

Lời giải:

Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là $left{ begin{array}{l}{{x}_{G}}=frac{1}{4}({{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}})=2\{{y}_{G}}=frac{1}{4}({{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}})=3\{{z}_{G}}=frac{1}{4}({{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}})=1end{array} right.$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bảng giá ốc siết cáp mới nhất tháng 09/2021 | Kiến Thức Xây Dựng 2022 | Mytranshop.com

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.9: Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0;-2),,B(2;1;-1),,C(1;-2;2)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.

A. $D(0;-3;1)$ . B. $D(0;3;1)$ . C. $D(3;0;1)$ . D. $D(0;-3;-1)$ .

Lời giải:

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $displaystyle overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$ .

Ta có $displaystyle overrightarrow{AB}=(1;1;1)$ .

Gọi $D(x;y;z)Rightarrow overrightarrow{DC}=(1-x;-2-y;2-z)$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}1=1-x\1=-2-y\1=2-zend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=0\y=-3\z=1end{array} right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.10: Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $A(1;1;1)$ , $B(1;2;1),,C(1;1;2)$ và $A'(2;2;1)$ . Tìm tọa độ đỉnh $B'$ ?

A. $B'(2;3;2)$ . B. $B'(2;3;0)$ . C. $B'(2;3;1)$ . D. $B'(2;3;-1)$ .

Lời giải:

Do $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $overrightarrow{BB'}=overrightarrow{AA'}Rightarrow B'(2;3;1)$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.11: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(1;0;1),,B(2;1;2),D(1;-1;1),C'(4;5;-5)$ .

a) Xác định tọa độ đỉnh $C$ của hình hộp.

A. $C(2;2;0)$ . B. $C(2;0;2)$ . C. $C(0;2;2)$ . D. $C(2;0;-2)$ .

b) Xác định tọa độ đỉnh $B'$ của hình hộp.

A. $B'(6;5;-4)$ . B. $B'(-4;5;-6)$ . C. $B'(4;-6;-5)$ . D. $B'(4;6;-5)$ .

c) Xác định tọa độ đỉnh $A'$ của hình hộp.

A. $A'(3;5;-6)$ . B. $A'(-3;-5;-6)$ . C. $A'(-3;5;6)$ . D. $A'(3;-5;-6)$ .

d) Xác định tọa độ đỉnh $D'$ của hình hộp.

A. $D'(3;-4;-6)$ . B. $D'(-3;4;-6)$ . C. $D'(3;4;-6)$ . D. $D'(3;4;6)$ .

Lời giải:

a) Gọi $C({{x}_{C}};{{y}_{C}};{{z}_{C}})$ , ta có $overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC}$ .

$overrightarrow{AD}=(0;-1;0),,overrightarrow{BC}=({{x}_{C}}-2;{{y}_{C}}-1;{{z}_{C}}-2)$ .

$overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{C}}-2=0\{{y}_{C}}-1=-1\{{z}_{C}}-2=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{C}}=2\{{y}_{C}}=0\{{z}_{C}}=2end{array} right.$ .

Chọn đáp án B.

b) Gọi $B'({{x}_{B'}};{{y}_{B'}};{{z}_{B'}})$ . Ta có $overrightarrow{CB}=overrightarrow{C'B'}$ .

$overrightarrow{CB}=(0;1;0),,overrightarrow{C'B'}=({{x}_{B'}}-4;{{y}_{B'}}-5;{{z}_{B'}}+5)$ .

$overrightarrow{CB}=overrightarrow{C'B'}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{B'}}-4=0\{{y}_{B'}}-5=0\{{z}_{B'}}+5=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{B'}}=4\{{y}_{B'}}=6\{{z}_{B'}}=-5end{array} right.$ .

Chọn đáp án D.

c) Gọi $A'({{x}_{A'}};{{y}_{A'}};{{z}_{A'}})$ , ta có $overrightarrow{BA}=overrightarrow{B'A'}$ .

$overrightarrow{BA}=(-1;-1;-1),,overrightarrow{B'A'}=({{x}_{A'}}-4;{{y}_{A'}}-6;{{z}_{A'}}+5)$ .

$overrightarrow{BA}=overrightarrow{B'A'}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{A'}}-4=-1\{{y}_{A'}}-6=-1\{{z}_{A'}}+5=-1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{A'}}=3\{{y}_{A'}}=5\{{z}_{A'}}=-6end{array} right.$ .

Chọn đáp án A.

d) Gọi $D'({{x}_{D'}};{{y}_{D'}};{{z}_{D'}})$ , ta có $overrightarrow{CD}=overrightarrow{C'D'}$ .

$overrightarrow{CD}=(-1;-1;-1),,overrightarrow{C'D'}=({{x}_{B'}}-4;{{y}_{B'}}-5;{{z}_{B'}}+5)$ .

$overrightarrow{CB}=overrightarrow{C'D'}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{D'}}-4=-1\{{y}_{D'}}-5=-1\{{z}_{D'}}+5=-1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{D'}}=3\{{y}_{D'}}=4\{{z}_{D'}}=-6end{array} right.$ .

Chọn đáp án C.

Dạng 2. Tích có hướng và ứng dụng

Ví dụ 2.1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vecto $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;-3;-1),overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3;-5;1)$ . Tính $left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right] right|$ .

A. $left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right] right|=(-8;-5;-1)$ . B. $left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right] right|=(8;5;1)$ .

C. $left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right] right|=20$ . D. $left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right] right|=3sqrt{10}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 10 cách trị thâm mắt bằng khoai tây đơn giản tại nhà 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

$left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=(-8;-5;-1)Rightarrow left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right] right|=sqrt{90}=3sqrt{10}$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2.2: Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(3;-4;0),B(0;2;4),C(4;2;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?

A. $frac{sqrt{491}}{2}$ . B. $frac{sqrt{490}}{2}$ . C. $frac{sqrt{494}}{2}$ . D. $frac{sqrt{394}}{2}$ .

Lời giải:

$left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(-18;7;-24)$ .

$S=frac{1}{2}sqrt{{{18}^{2}}+{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}=frac{sqrt{494}}{2}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3: Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;0;-2),B(3;-1;-4),C(-2;2;0)$ . Điểm $D$ trong mặt phẳng $(Oyz)$ có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện $ABCD$ bằng 2 và khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng 1 có thể là

A. $D(0;-3;-1)$ . B. $D(0;2;-1)$ . C. $(0;1;-1)$ . D. $D(0;3;-1)$ .

Lời giải:

Do $Din (Oyz)Rightarrow D(0;b;c)$ với $c<0$ .

Theo giả thiết: $dleft[ D,(Oxy) right]=1Leftrightarrow |c|,=1$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}c=1\c=-1end{array} right.Rightarrow D(0;b;-1)$ .

Ta có $overrightarrow{AB}=(1;-1;-2),overrightarrow{AC}=(-4;2;2),overrightarrow{AD}=(-2;b;1)$ .

Suy ra $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(2;6;-2)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}=6b-6$ .

${{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD} right|$ $=,|b-1|,=2Leftrightarrow left[ begin{array}{l}b=3\b=-1end{array} right.$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2.4: Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ, $B(a;0;0),D(0;a;0),A'(0;0;b)$ với $a>0,b>0$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CC'$ . Giả sử $a+b=4$ , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện $A'BDM$ ?

A. $max {{V}_{A'MBD}}=frac{64}{27}$ . B. $max {{V}_{A'MBD}}=1$ .

C. $max {{V}_{A'MBD}}=-frac{64}{27}$ . D. $max {{V}_{A'MBD}}=frac{27}{64}$ .

Lời giải:

Ta có $C(a;a;0),B'(a;0;b),D'(0;a;b),C'(a;a;b)$ $Rightarrow Mleft( a;a;frac{b}{2} right)$ .

Suy ra $overrightarrow{A'B}=(a;0;-b),overrightarrow{A'D}=(0;a;-b),overrightarrow{AM}=left( a;a;-frac{b}{2} right)$ .

$Rightarrow left[ overrightarrow{A'B},overrightarrow{A'D} right]=(ab;ab;{{a}^{2}})$ $Rightarrow left[ overrightarrow{A'B},overrightarrow{A'D} right].overrightarrow{A'M}=frac{3{{a}^{2}}b}{2}Rightarrow {{V}_{A'MBD}}=frac{{{a}^{2}}b}{4}$ .

Do $a,b>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

$4=a+b=frac{1}{2}a+frac{1}{2}a+bge 3.sqrt[3]{frac{1}{4}{{a}^{2}}b}Rightarrow {{a}^{2}}ble frac{64}{27}$ .

Suy ra $max {{V}_{A'MBD}}=frac{64}{27}$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5 (THPT Nguyễn Khuyến TP HCM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gộc tọa độ $O$ , các đỉnh $B(m;0;0)$ , $D(0;m;0),A'(0;0;n)$ với $m,n>0$ và $m+n=4$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Khi đó thể tích tứ diện $BDA'M$ đạt giá trị lớn nhất bằng