1. Các định nghĩa và khái niệm
• Cho đường thẳng Δ cố định. Một đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách Δ một khoảng R sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay mặt trụ.
• Δ là trục của mặt trụ, d là đường sinh của mặt trụ, R là bán kính mặt trụ.
• Phần mặt trụ E nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P’) (đều vuông góc với trục Δ) cùng với hai hình tròn giao tuyến (C), (C’) của E với (P), (P’) được gọi là hình trụ.
• Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.
2. Các yếu tố của hình trụ
• Các đường tròn (C), (C’) là các đường tròn đáy. Các hình tròn (C), (C’) được gọi là các mặt đáy của hình trụ. Bán kính R của (C) và (C’) là bán kính của hình trụ.
• Chiều cao h của hình trụ là khoảng cách giữa hai đáy. Nếu O, O’ là tâm của hai đáy thì OO’ = h. Đoạn thẳng OO’ được gọi là trục của hình trụ.
• Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy là mặt xung quanh của hình trụ. Nếu M ∈ (C) và M ∈ (C’) sao cho MM’ // OO’ thì MM’ được gọi là đường sinh của hình trụ. Ta có : MM’ = OO’ = h.
• Khối trụ là vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình chữ nhật OO’M’M xung quanh cạnh OO’ của nó.
3. Giao của một hình trụ và một mặt phẳng
Trong phần này, ta chỉ xét giao của một hình trụ và các mặt phẳng đặc biệt.
• Mặt phẳng (P) song song và cách trục hình trụ một khoảng R : (P) và hình trụ có chung một đường sinh duy nhất, khi đó (P) được gọi là tiếp xúc với hình trụ.
• Mặt phẳng (Q) song song và cách trục hình trụ một khoảng d < R : Mặt phẳng (Q) cắt hình trụ theo một hình chữ nhật có hai cạnh là hai đường sinh của hình trụ và hai cạnh kia là hai dây cung lần lượt ở hai đáy hình trụ.
• Mặt phẳng (P) song song với đáy và cắt tất cả các đường sinh của hình trụ : (P) cắt hình trụ theo một đường tròn bằng với đường tròn đáy, tâm của đường tròn này nằm trên trục hình trụ.
• Mặt phẳng (P) không song song với trục, đáy nhưng cắt tất cả các đường sinh của hình trụ : (P) cắt hình trụ theo một elip.
4. Diện tích xung quanh của hình trụ, thể tích khối trụ
• Diện tích xung quanh của hình trụ là diện tích của mặt xung quanh hình trụ, không kể diện tích hai đáy.
Sxq = 2
Rh
• Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
V = R2h
5. Các khái niệm nội tiếp, ngoại tiếp
• Hình lăng trụ nội tiếp trong hình trụ
– Hình lăng trụ được gọi là nội tiếp trong hình trụ nếu hai đáy của lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ.
– Hình lăng trụ nội tiếp trong hình trụ thì là lăng trụ đứng và có các cạnh bên là các đường sinh của hình trụ.
• Hình trụ nội tiếp và ngoại tiếp mặt cầu
– Hình trụ C được gọi là nội tiếp trong mặt cầu (S) nếu hai đáy hình trụ là hai đường tròn trên mặt cầu (S).
– Hình trụ C’ có bán kính R và chiều cao 2R được gọi là ngoại tiếp mặt cầu (S) nếu trục của hình trụ là một đường kính của mặt cầu.
– Nếu hình trụ C’ ngoại tiếp mặt cầu (S) thì các đường sinh của hình trụ đều tiếp xúc với mặt cầu, các mặt đáy của hình trụ là tiếp diện với mặt cầu.
Ví dụ:
Một hình trụ có bán kính đáy là R, thiết diện qua trục là một hình vuông. Thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho là:
A. 2R3 B. 4R3 C. 4
R3 D. 8R3
Giải
Nếu ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ thì DBB’D’ là thiết diện qua trục hình trụ nên DB = BB’= 2R. Cạnh đáy của lăng trụ là R.
Vậy thể tích của lăng trụ là V = (R)2.2R = 4R3.
Chọn đáp án B.