A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.
1. Định nghĩa:
Cho đường thẳng . Phép biến hình biến mỗi điểm thuộc thành chính nó, biến mỗi điểm không thuộc thành điểm
sao cho là đường trung trực của đoạn được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng , hay còn gọi là phép đối xứng trục .
Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng được kí hiệu là . Như vậy với là hình chiếu vuông góc của trên .
Nếu thì được gọi là trục đối xứng của hình .
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng , với mỗi điểm , gọi .
– Nếu chọn là trục , thì
– Nếu chọn là trục , thì .
3. Tính chất phép đối xứng trục:
+ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC.
Phương pháp:
Để xác định ảnh của hình qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Dùng định nghĩa phép đối xứng trục
+ Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ.
+ Dùng biểu thức vec tơ của phép đối xứng trục.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng , cho điểm , đường thẳng và đường tròn .
a) Tìm ảnh của qua phép đối xứng trục .
A.. | B.. |
C.. | D.. |
b) Tìm ảnh của qua phép đối xứng trục .
A.. | B.. |
C. . | D.. |
c) Tìm ảnh của qua phép đối xứng trục .
A.. | B.. |
C. . | D.. |
d) Tìm ảnh của qua phép đối xứng qua đường thẳng .
A.. | B. . |
C. . | D.. |
Lời giải:
a) Gọi theo thứ tự là ảnh của qua , khi đó .
b) Tìm ảnh của .
Lấy (1)
Gọi là ảnh của qua phép đối xứng .
Ta có . Thay vào ta được
. Vậy .
c) Tìm ảnh của .
Cách 1: Ta thấy có tâm và bán kính .
Gọi là tâm và bán kính của thì và , do đó .
Cách 2: Lấy .
Gọi là ảnh của qua phép đối xứng . Ta có
thay vào ta được , hay .
d) Đường thẳng đi qua vuông góc với có phương trình .
Gọi thì tọa độ điểm là nghiệm của hệ .
Gọi đối xứng với qua thì là trung điểm của .
Ta có .
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng , và đường tròn .
a) Tìm ảnh của qua phép đối xứng trục .
A.. | B. . |
C. . | D.. |
b) Tìm ảnh của qua phép đối xứng trục .
A. . | B.. |
C.. | D.. |
Lời giải:
a) Tìm ảnh của .
Ta có nên .
Lấy . Đường thẳng đi qua vuông góc với có phương trình . Gọi , thì tọa độ của là nghiệm của hệ .
Gọi là ảnh của qua thì là trung điểm của nên
. Gọi thì đi qua và nên có phương trình . Vậy .
b) Tìm ảnh của .
Đường tròn có tâm và bán kính .
Đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình .
Gọi thì tọa độ của điểm là nghiệm của hệ .
Gọi thì là trung điểm của nên
Gọi thì là tâm của và bán kính của là .
Vậy .
Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.
Phương pháp:
Để dựng một điểm ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem như là giao điểm của một đường cố định và một với ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục.
Ví dụ 1. Dựng hình vuông biết hai đỉnh và nằm trên đường thẳng và hai đỉnh lần lượt thuộc hai đường thẳng .
Lời giải:
Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông , thỏa các điều kiện của bài toán. Do và là trục đối xứng của hình vuông . Mặt khác nên
.
Hai điểm đối xứng qua đường thẳng .
Nên , lại có .
Cách dựng:
Dựng , gọi
Dựng đường thẳng qua vuông góc với tại và cắt tại
Dựng đường tròn tâm đường kính cắt tại . (Kí hiệu các điểm theo thứ tự để tạo thành tứ giác )
Chứng minh: Từ cách dựng suy ra là hình vuông.
Biện luận:
Trường hợp 1.
cắt khi đó.
Nếu thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình.
Nếu thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.
Trường hợp 2.
, khi đó
Nếu song song và cách đều và thì có vô số nghiệm hình ()
Nếu hợp với một góc thì có một nghiệm hình ()
Nếu song song và không cách đều hoặc không hợp một góc thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn có bán kính khác nhau và đường thẳng . Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh lần lượt nằm trên và hai đỉnh còn lại nằm trên .
Lời giải:
Cách dựng:
Dựng đường tròn là ảnh của qua .
Từ điểm thuộc dựng điểm đối xứng với qua . Gọi
Lấy trên hai điểm sao cho .
Khi đó là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Dễ thấy là hình vuông có , . Mặt khác đối xứng qua mà hay thuộc .
Biện luận:
Số nghiệm hình bằng số giao điểm của và .
Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất : Nếu với di động trên hình thì di động trên hình – ảnh của hình qua phép đối xứng trục .
Ví dụ 1. Trên đường tròn cho hai điểm cố định . Đường tròn tiếp xúc ngoài với tại . Một điểm di động trên . cắt tại điểm thứ hai . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
Tìm quỹ tích điểm
Ví dụ 2. Cho tam giác có tâm đường tròn nội tiếp , là một điểm nằm trong tam giác. Gọi là các điểm đối xứng với lần lượt đối xứng qua . Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Lời giải:
Giả sử điểm nằm trong tam giác . Gọi lần lượt đối xứng với qua các cạnh . Ta sẽ chứng minh đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Hiển nhiên ta có vậy để chứng minh là trung trực của ta cần chứng minh .
Ta có
Tương tự
. Vậy nên là trung trực của .
Tương tự lần lượt là trung trực của và nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .