Phép đối xứng trục, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

by

 

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa:

Cho đường thẳng displaystyle d. Phép biến hình biến mỗi điểm displaystyle M thuộc displaystyle d thành chính nó, biến mỗi điểm displaystyle M không thuộc displaystyle d thành điểm
displaystyle M' sao cho displaystyle d là đường trung trực của đoạn displaystyle MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng displaystyle d, hay còn gọi là phép đối xứng trục displaystyle d.

Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng displaystyle d được kí hiệu là . Như vậy  với displaystyle I là hình chiếu vuông góc của displaystyle M trên displaystyle d.

Nếu  thì displaystyle d được gọi là trục đối xứng của hình displaystyle left( H right).

 

 

 

 

 

 

 

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng displaystyle Oxy, với mỗi điểm displaystyle Mleft( x;y right), gọi .

– Nếu chọn displaystyle d là trục displaystyle Ox, thì displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x\y'=-yend{array} right.

– Nếu chọn displaystyle d là trục displaystyle Oy, thì displaystyle left{ begin{array}{l}x'=-x\y'=yend{array} right..

3. Tính chất phép đối xứng trục:

+ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.

+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC.

Phương pháp:

Để xác định ảnh displaystyle left( H' right) của hình displaystyle left( H right) qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau:

+ Dùng định nghĩa phép đối xứng trục

+ Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ.

+ Dùng biểu thức vec tơ của phép đối xứng trục.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng displaystyle Oxy, cho điểm displaystyle Mleft( 1;5 right), đường thẳng displaystyle d:x+2y+4=0 và đường tròn displaystyle left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0.

a) Tìm ảnh của displaystyle M qua phép đối xứng trục displaystyle Ox.

   A.displaystyle M'left( -1;5 right). B.displaystyle M'left( -1;-5 right).
   C.displaystyle M'left( 1;-5 right).  D.displaystyle M'left( 0;-5 right).

b) Tìm ảnh của displaystyle dqua phép đối xứng trục displaystyle Ox.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  BST mẫu nhà cấp 4 3 gian được xây dựng nhiều nhất hiện nay - 2022 | Mytranshop.com
   A.displaystyle d':2x-2y+4=0. B.displaystyle d':x-2y+2=0.
   C.displaystyle d':3x-2y+4=0 .  D.displaystyle d':x-2y+4=0.

c) Tìm ảnh của displaystyle left( C right)qua phép đối xứng trục displaystyle Ox.

   A.displaystyle left( C' right):{{left( x+2 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=9. B.displaystyle left( C' right):{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=9.
   C.displaystyle left( C' right):{{left( x+3 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=9 .  D.displaystyle left( C' right):{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=9.

d) Tìm ảnh của displaystyle M qua phép đối xứng qua đường thẳng displaystyle d.

   A.M'left( -5;-7 right). B.M'left( 5;7 right) .
   C.M'left( -5;7 right) .  D.M'left( 5;-7 right).

   Lời giải:

a) Gọi displaystyle M',d',left( C' right) theo thứ tự là ảnh của displaystyle M,d,left( C right) qua , khi đó displaystyle M'left( 1;-5 right).

b) Tìm ảnh của displaystyle d.

Lấy displaystyle Mleft( x;y right)in dRightarrow displaystyle x+2y+4=0 (1)

Gọi displaystyle Nleft( x';y' right) là ảnh của displaystyle M qua phép đối xứng .

Ta có displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x\y'=-yend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'\y=-y'end{array} right.. Thay vào displaystyle left( 1 right) ta được

displaystyle x'-2y'+4=0. Vậy displaystyle d':x-2y+4=0.

c) Tìm ảnh của displaystyle left( C right).

Cách 1: Ta thấy displaystyle left( C right) có tâm displaystyle Ileft( -1;2 right) và bán kính displaystyle R=3.

Gọi displaystyle I',R' là tâm và bán kính của displaystyle left( C' right)thì displaystyle I'left( -1;-2 right) và displaystyle R'=R=3, do đó displaystyle left( C' right):{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=9.

Cách 2: Lấy displaystyle Pleft( x;y right)in left( C right)Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0text{ }left( 2 right).

Gọi displaystyle Qleft( x';y' right) là ảnh của displaystyle P qua phép đối xứng . Ta có

displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x\y'=-yend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}x=x'\y=-y'end{array} right. thay vào displaystyle left( 2 right) ta được displaystyle x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+2x'+4y'-4=0, hay displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y-4=0.

d) Đường thẳng displaystyle {{d}_{1}} đi qua displaystyle M vuông góc với displaystyle d có phương trình displaystyle 2x-y+3=0.

Gọi displaystyle I=dcap {{d}_{1}} thì tọa độ điểm displaystyle I là nghiệm của hệ displaystyle left{ begin{array}{l}x+2y+4=0\2x-y+3=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=-2\y=-1end{array} right.Rightarrow Ileft( -2;-1 right).

Gọi displaystyle M' đối xứng với displaystyle M qua displaystyle d thì displaystyle I là trung điểm của displaystyle MM'.

Ta có displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}_{I}}=frac{{{x}_{M}}+{{x}_{M'}}}{2}\{{y}_{I}}=frac{{{y}_{M}}+{{y}_{M'}}}{2}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{M'}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{M}}=-5\{{y}_{M'}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{M}}=-7end{array} right.Rightarrow M'left( -5;-7 right).

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng displaystyle d:x+y-2=0, displaystyle {{d}_{1}}:x+2y-3=0 và đường tròn displaystyle left( C right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=4.

a) Tìm ảnh của displaystyle {{d}_{1}} qua phép đối xứng trục displaystyle d.

   A.displaystyle {{d}_{1}}':x+y-3=0. B.displaystyle {{d}_{1}}':2x+2y-3=0 .
   C.displaystyle {{d}_{1}}':2x+2y-1=0  .  D.displaystyle {{d}_{1}}':2x+y-3=0.

b) Tìm ảnh của displaystyle left( C right) qua phép đối xứng trục displaystyle d.

   A.displaystyle left( C' right):{{left( x-2 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=4 . B.displaystyle left( C' right):{{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=4.
   C.displaystyle left( C' right):{{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}=4.  D.displaystyle left( C' right):{{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=4.

 Lời giải:

a) Tìm ảnh của displaystyle {{d}_{1}}.

Ta có displaystyle {{d}_{1}}cap d=Ileft( 1;1 right) nên .

Lấy displaystyle Mleft( 3;0 right)in {{d}_{1}}. Đường thẳng displaystyle {{d}_{2}} đi qua displaystyle M vuông góc với displaystyle d có phương trình displaystyle x-y-3=0. Gọi displaystyle {{M}_{0}}=dcap {{d}_{2}}, thì tọa độ của displaystyle {{M}_{0}} là nghiệm của hệ displaystyle left{ begin{array}{l}x+y-2=0\x-y-3=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=frac{5}{2}\y=-frac{1}{2}end{array} right.Rightarrow {{M}_{0}}left( frac{5}{2};-frac{1}{2} right).

Gọi displaystyle M' là ảnh của displaystyle M qua  thì displaystyle {{M}_{0}} là trung điểm của displaystyle MM' nên

displaystyle M'left( 2;-1 right). Gọi  thì displaystyle {{d}_{1}}' đi qua displaystyle I và displaystyle M' nên có phương trình displaystyle frac{x-1}{1}=frac{y-1}{-2}Leftrightarrow 2x+y-3=0. Vậy displaystyle {{d}_{1}}':2x+y-3=0.

b) Tìm ảnh của displaystyle left( C right).

Đường tròn displaystyle left( C right) có tâm displaystyle Jleft( 1;-1 right) và bán kính displaystyle R=2.

Đường thẳng displaystyle {{d}_{3}} đi qua displaystyle J và vuông góc với displaystyle d có phương trình displaystyle x-y-2=0.

Gọi displaystyle {{J}_{0}}={{d}_{3}}cap d thì tọa độ của điểm displaystyle {{J}_{0}} là nghiệm của hệ displaystyle left{ begin{array}{l}x+y-2=0\x-y-2=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=2\y=0end{array} right.Rightarrow {{J}_{0}}left( 2;0 right).

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  #10 Cách trang trí bàn học đơn giản gọn gàng và hiệu quả 2022 | Mytranshop.com

Gọi  thì displaystyle {{J}_{0}} là trung điểm của displaystyle JJ' nên displaystyle J'left( 3;1 right)

Gọi  thì displaystyle J' là tâm của displaystyle left( C' right) và bán kính của displaystyle left( C' right) là displaystyle R'=R=2.

Vậy displaystyle left( C' right):{{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=4.

Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm displaystyle M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem displaystyle M như là giao điểm của một đường cố định và một với ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục.

Ví dụ 1. Dựng hình vuông displaystyle ABCD biết hai đỉnh displaystyle A và displaystyle C nằm trên đường thẳng displaystyle {{d}_{1}} và hai đỉnh displaystyle B,D lần lượt thuộc hai đường thẳng displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}}.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông displaystyle ABCD, thỏa các điều kiện của bài toán. Do displaystyle A,Cin {{d}_{2}} và displaystyle AC là trục đối xứng của hình vuông displaystyle ABCD. Mặt khác displaystyle Bin {{d}_{2}} nên displaystyle Din {{d}_{2}}'

displaystyle Rightarrow D={{d}_{2}}'cap {{d}_{3}}.

Hai điểm displaystyle B,D đối xứng qua đường thẳng displaystyle {{d}_{1}}.

Nên , lại có displaystyle Din {{d}_{3}}Rightarrow D={{d}_{3}}cap {{d}_{2}}'.

 

Cách dựng:

Dựng , gọi displaystyle D={{d}_{2}}cap {{d}_{2}}'

Dựng đường thẳng qua displaystyle Dvuông góc với displaystyle {{d}_{1}} tại displaystyle O và cắt displaystyle {{d}_{2}}tại displaystyle B

Dựng đường tròn tâm displaystyle O đường kính displaystyle BD cắt displaystyle {{d}_{1}} tại displaystyle A,C. (Kí hiệu các điểm displaystyle A,C theo thứ tự để tạo thành tứ giác displaystyle ABCD)

Chứng minh: Từ cách dựng suy ra displaystyle ABCD là hình vuông.

Biện luận:

Trường hợp 1.
displaystyle {{d}_{2}} cắt displaystyle {{d}_{3}} khi đó.

Nếu displaystyle {{d}_{2}}'cap {{d}_{3}} thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình.

Nếu displaystyle {{d}_{2}}'parallel {{d}_{3}} thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.

Trường hợp 2.
displaystyle {{d}_{2}}parallel {{d}_{3}}, khi đó

Nếu displaystyle {{d}_{1}} song song và cách đều displaystyle {{d}_{2}} và displaystyle {{d}_{3}}thì có vô số nghiệm hình (displaystyle h2)

Nếu displaystyle {{d}_{1}} hợp với displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}} một góc displaystyle 45{}^circ  thì có một nghiệm hình (displaystyle h3)

Nếu displaystyle {{d}_{1}} song song và không cách đều displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}} hoặc displaystyle {{d}_{1}} không hợp displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}} một góc displaystyle 45{}^circ  thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.

 Ví dụ 2. Cho hai đường tròn displaystyle left( C right),left( C' right) có bán kính khác nhau và đường thẳng displaystyle d. Hãy dựng hình vuông displaystyle ABCD có hai đỉnh displaystyle A,C lần lượt nằm trên displaystyle left( C right),left( C' right) và hai đỉnh còn lại nằm trên displaystyle d.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Hồ sơ thiết kế bản vẽ thi công | Cốp Pha Việt 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Cách dựng:

Dựng đường tròn displaystyle left( {{C}_{1}} right) là ảnh của displaystyle left( C right) qua .

Từ điểm displaystyle C thuộc displaystyle left( {{C}_{1}} right)cap left( C' right) dựng điểm displaystyle Ađối xứng với displaystyle C qua displaystyle d. Gọi displaystyle I=ACcap d

Lấy trên displaystyle d hai điểm displaystyle BD sao cho displaystyle IB=ID=IA.

Khi đó displaystyle ABCD là hình vuông cần dựng.

Chứng minh:

Dễ thấy displaystyle ABCD là hình vuông có displaystyle B,Din d, displaystyle Cin left( C' right). Mặt khác displaystyle A,C đối xứng qua displaystyle d mà  hay displaystyle A thuộc displaystyle left( C right).

Biện luận:

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của displaystyle left( {{C}_{1}} right) và displaystyle left( C' right).

Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất : Nếu  với displaystyle M di động trên hình displaystyle left( H right) thì displaystyle N di động trên hình displaystyle left( H' right)– ảnh của hình displaystyle left( H right) qua phép đối xứng trục displaystyle d.

Ví dụ 1. Trên đường tròn displaystyle left( O,R right) cho hai điểm cố định displaystyle A,B. Đường tròn displaystyle left( O';R' right) tiếp xúc ngoài với displaystyle left( O right) tại displaystyle A. Một điểm displaystyle M di động trên displaystyle left( O right). displaystyle MA cắt displaystyle left( O' right) tại điểm thứ hai displaystyle A'. Qua displaystyle A' kẻ đường thẳng song song với displaystyle AB cắt displaystyle MB tại displaystyle B'.

Tìm quỹ tích điểm displaystyle B'

Ví dụ 2. Cho tam giác displaystyle ABC có tâm đường tròn nội tiếp displaystyle I, displaystyle P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi displaystyle A',B',C' là các điểm đối xứng với displaystyle P lần lượt đối xứng qua displaystyle IA,IB,IC. Chứng minh các đường thẳng displaystyle AA',BB',CC'đồng quy.

Lời giải:

 

Giả sử điểm displaystyle P nằm trong tam giác displaystyle IAB. Gọi displaystyle {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}} lần lượt đối xứng với displaystyle P qua các cạnh displaystyle BC,CA,AB. Ta sẽ chứng minh displaystyle AA',BB',CC' đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}.

Hiển nhiên ta có displaystyle A{{P}_{2}}=A{{P}_{3}} vậy để chứng minh displaystyle AA' là trung trực của displaystyle {{P}_{2}}{{P}_{3}} ta cần chứng minh displaystyle widehat{{{P}_{2}}AA'}=widehat{{{P}_{3}}AA'}.

Ta có displaystyle widehat{{{P}_{3}}AA'}=widehat{{{P}_{3}}AP}+widehat{PAA'}=2alpha +2beta

Tương tự displaystyle widehat{{{P}_{2}}AA'}=widehat{{{P}_{2}}AC}+widehat{CAA'}=widehat{CAP}+widehat{CAA'}
displaystyle =2alpha +2beta . Vậy displaystyle widehat{{{P}_{2}}AA'}=widehat{{{P}_{3}}AA'} nên displaystyle AA' là trung trực của displaystyle {{P}_{2}}{{P}_{3}}.

Tương tự displaystyle BB',CC' lần lượt là trung trực của displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{3}} và displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}} nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}.

Leave a Comment