Phép vị tự, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

 

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

Cho điểm displaystyle I và một số thực displaystyle kne 0. Phép biến hình biến mỗi điểm displaystyle M thành điểm displaystyle M' sao cho displaystyle overrightarrow{IM'}=k.overrightarrow{IM} được gọi là phép vị tự tâm displaystyle I, tỉ số displaystyle k. Kí hiệu displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}

Vậy displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}left( M right)=M'Leftrightarrow overrightarrow{IM'}=k.overrightarrow{IM}.

2. Biểu thức tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho displaystyle Ileft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)displaystyle Mleft( x;y right), gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{V}_{left( I;k right)}}left( M right) thì 

displaystyle left{ begin{array}{l}x'=kx+left( 1-k right){{x}_{0}}\y'=ky+left( 1-k right){{y}_{0}}end{array} right..

3. Tính chất:

  • – Nếu displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}left( M right)=M',{{V}_{left( I;k right)}}left( N right)=N' thì displaystyle overrightarrow{M'N'}=koverrightarrow{MN} và displaystyle M'N'=left| k right|MN.

4. Tâm vị tự của hai đường tròn.

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn displaystyle left( I;R right) và displaystyle left( I';R' right)

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng displaystyle Oxy, cho đường thẳng displaystyle d có phương trình displaystyle 5x+2y-7=0. Hãy viết phương trình của đường thẳng displaystyle d' là ảnh của displaystyle d qua phép vị tự tâm displaystyle O tỉ số displaystyle k=-2.

Lời giải:

Cách 1:
Lấy displaystyle Mleft( x;y right)in dRightarrow 5x+2y-7=0text{ }left( * right).

Gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{V}_{left( O;-2 right)}}left( M right). Theo biểu thức tọa độ ta có

displaystyle left{ begin{array}{l}x'=-2x+text{ }!![!!text{ }1-left( -2 right)text{ }!!]!!text{ }.0\y'=-2y+text{ }!![!!text{ }1-left( -2 right)text{ }!!]!!text{ }.0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=-frac{1}{2}x'\y=-frac{1}{2}y'end{array} right..

Thay vào displaystyle left( * right) ta được displaystyle -frac{5}{2}x'-y'-7=0Leftrightarrow 5x'+2y'+14=0

Vậy displaystyle d':5x+2y+14=0.

Cách 2: Do displaystyle d' song song hoặc trùng với displaystyle d nên phương trình có dạng : displaystyle 5x+2y+c=0. Lấy displaystyle Mleft( 1;1 right)thuộc displaystyle d. Gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{V}_{left( O;-2 right)}}left( M right) ta có displaystyle overrightarrow{OM'}=-2overrightarrow{OM}Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=-2\y'=-2end{array} right.. Thay vào displaystyle left( * right)ta được displaystyle c=14.

Vậy displaystyle d':5x+2y+14=0.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng displaystyle Oxy, cho đường tròn displaystyle left( C right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=4. Tìm ảnh của đường tròn displaystyle left( C right) qua phép vị tự tâm displaystyle Ileft( -1;2 right) tỉ số displaystyle k=3

Lời giải:

Đường tròn displaystyle left( C right) có tâm displaystyle Jleft( 1;1 right), bán kính displaystyle R=2.

Gọi displaystyle J'left( x';y' right)={{V}_{left( I;3 right)}}left( J right)Rightarrow overrightarrow{IJ'}=3overrightarrow{IJ}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'-1=3left( 1+1 right)\y'-1=3left( 1-2 right)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=7\y'=-2end{array} right.

displaystyle Rightarrow J'left( 7;-2 right).

Gọi displaystyle left( C' right) là ảnh của displaystyle left( C right) qua phép vị tự displaystyle {{V}_{left( I;3 right)}} thìdisplaystyle left( C' right) có tâm displaystyle J'left( 7;-2 right), bán kính displaystyle R'=3R=6.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Tập Yoga Có Tăng Cân Không? Tư Thế Tập Nào Phù Hợp Nhất? 2022 | Mytranshop.com

Vậy displaystyle left( C' right):{{left( x-7 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=36.

Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

Phương pháp:

Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn displaystyle left( O;R right) và displaystyle left( O';2R right) đựng nhau, với displaystyle One O'. Tìm tâm vị tự của hai đương tròn displaystyle left( O right) và displaystyle left( O' right).

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn displaystyle left( C right):{{left( x-2 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=4 và displaystyle left( C' right):{{left( x-8 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=16. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Lời giải:

Đường tròn displaystyle left( C right) có tâm displaystyle Ileft( 1;2 right),bán kính displaystyle R=2; đường tròn displaystyle left( C' right) có tâm displaystyle I'left( 8;4 right), bán kínhdisplaystyle R'=4. Do displaystyle Ine I' và displaystyle Rne R' nên có hai phép vị tự displaystyle {{V}_{left( J;2 right)}} và displaystyle {{V}_{left( J';-2 right)}} biến displaystyle left( C right) thành displaystyle left( C' right). Gọi displaystyle Jleft( x;y right)

Với displaystyle k=2khi đó displaystyle overrightarrow{JI'}=2overrightarrow{JI}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}8-x=2left( 2-x right)\4-y=2left( 1-y right)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=-4\y=-2end{array} right..

displaystyle Rightarrow Jleft( -4;-2 right).

Tương tự với displaystyle k=-2, tính được displaystyle J'left( 4;2 right).

 

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một hình displaystyle left( H right) nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình displaystyle left( H right)) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.

Ví dụ 1. Cho hai điểm displaystyle B,C cố định và hai đường thẳng displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}. Dựng tam giác displaystyle ABC có đỉnh displaystyle A thuộc displaystyle {{d}_{1}} và trọng tâm displaystyle G thuộc displaystyle {{d}_{2}}.

Lời giải:


Phân tích:

Giả sử đã dựng được tam giác displaystyle ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi displaystyle I là trung điểm của displaystyle BC, theo tính chất trọng tâm ta có displaystyle overrightarrow{IA}=3overrightarrow{IG}

displaystyle Rightarrow {{V}_{left( I;3 right)}}left( G right)=A mà displaystyle Gin {{d}_{2}}Rightarrow Ain {{d}_{2}}'

Với displaystyle {{d}_{2}}' là ảnh của displaystyle {{d}_{2}} qua displaystyle {{V}_{left( I;3 right)}}.

Lại có displaystyle Ain {{d}_{1}}Rightarrow A={{d}_{1}}cap {{d}_{2}}'

Cách dựng:

Hai điểm displaystyle A;G là hai điểm cần dựng.

Chứng minh:

Rõ ràng từ cách dựng ta có displaystyle Ain {{d}_{1}},Gin {{d}_{2}} ; displaystyle I là trung điểm của displaystyle BC và displaystyle {{V}_{left( I;3 right)}}left( G right)=ARightarrow overrightarrow{IA}=3overrightarrow{IG}Rightarrow G là trọng tâm tam giác displaystyle ABC.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Smoothie là gì và nên uống smoothie vào lúc nào tốt nhất? 2022 | Mytranshop.com

Biện luận:

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của displaystyle {{d}_{1}} và displaystyle {{d}_{2}}'.

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn đồng tâm displaystyle left( {{C}_{1}} right) và displaystyle left( {{C}_{2}} right). Từ một điểm displaystyle Atrên đường tròn lớn displaystyle left( {{C}_{1}} right) hãy dựng đường thẳng displaystyle d cắt displaystyle left( {{C}_{2}} right) tại displaystyle B,C và cắt displaystyle left( {{C}_{1}} right) tại displaystyle D sao cho displaystyle AB=BC=CD.

Lời giải:

Phân tích:

 Cách dựng:

Đường thẳng displaystyle d chính là đường thẳng cần dựng.

Chứng minh:

Gọi displaystyle I là trung điểm của displaystyle AD thì displaystyle I cũng là trung điểm của displaystyle BC.

Vì displaystyle {{V}_{left( A;frac{1}{2} right)}}left( C right)=B nên displaystyle AB=BC, mặt khác displaystyle AD và displaystyle BC có chung trung điểm displaystyle I nên displaystyle IA=ID,IC=IC,displaystyle ID=CD+IC;IA=IB+AB suy ra displaystyle CD=AB. Vậy displaystyle AB=BC=CD.

Biện luận: Gọi displaystyle {{R}_{1}};{{R}_{2}} lần lượt là bán kính các đường tròn displaystyle left( {{C}_{1}} right) và displaystyle left( {{C}_{2}} right) ta có:

  • Nếu displaystyle {{R}_{1}}ge 2{{R}_{2}} thì có một nghiệm hình.
  • Nếu displaystyle {{R}_{1}}<2{{R}_{2}}thì có hai nghiệm hình.

 

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Để tìm tập hợp điểm displaystyle M ta có thể quy về tìm tập hợp điểm displaystyle N và tìm một phép vị tự displaystyle {{V}_{left( I;k right)}} nào đó sao cho displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}left( N right)=M suy ra quỹ tích điểm displaystyle M là ảnh của quỹ tích displaystyle N qua displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}.

Ví dụ 1. Cho đường tròn displaystyle left( O;R right) và một điểm displaystyle I nằm ngoài đường tròn sao cho displaystyle OI=3Rdisplaystyle A là một điểm thay đổi trên đường tròn displaystyle left( O;R right). Phân giác trong góc displaystyle widehat{IOA} cắt displaystyle IA tại điểm displaystyle M. Tìm tập hợp điểm displaystyle M khi displaystyle A di động trên displaystyle left( O;R right).

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có displaystyle frac{MI}{MA}=frac{OI}{OA}=frac{3R}{R}=3

displaystyle Rightarrow IM=frac{3}{4}IA

displaystyle Rightarrow overrightarrow{IM}=frac{3}{4}overrightarrow{IA}

displaystyle Rightarrow {{V}_{left( I;frac{3}{4} right)}}left( A right)=M , mà displaystyle A thuộc đường tròn displaystyle left( O;R right) nên displaystyle M thuộc displaystyle left( O';frac{3}{4}R right) ảnh của displaystyle left( O;R right) qua displaystyle {{V}_{left( I;frac{3}{4} right)}}. Vậy tập hợp điểm displaystyle M là displaystyle left( O';frac{3}{4}R right) ảnh của displaystyle left( O;R right) qua displaystyle {{V}_{left( I;frac{3}{4} right)}}.

 

Ví dụ 2. Cho tam giác displaystyle ABC. Qua điểm displaystyle M trên cạnh displaystyle ABvẽ các đường song song với các đường trung tuyến displaystyle AE và displaystyle BF, tương ứng cắt displaystyle BC và displaystyle CA tai displaystyle P,Q . Tìm tập hợp điểm displaystyle Rsao cho displaystyle MPRQ là hình bình hành.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  XuXu Tennis- Cửa hàng quần áo, phụ kiện Tennis, Quận Phú Nhuận 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Từ đó ta có displaystyle overrightarrow{MG}=overrightarrow{MI}+overrightarrow{MK}=frac{2}{3}overrightarrow{MQ}+frac{2}{3}overrightarrow{MP}=frac{2}{3}overrightarrow{MR}Do đó displaystyle overrightarrow{GR}=-frac{1}{2}overrightarrow{GM}Rightarrow {{V}_{left( G;-frac{1}{2} right)}}left( M right)=R, mà displaystyle M thuộc cạnh displaystyle AB nên displaystyle R thuộc ảnh của cạnh displaystyle AB qua displaystyle {{V}_{left( G;-frac{1}{2} right)}} đoạn chính là đoạn displaystyle EF.

Vậy tập hợp điểm displaystyle R là đoạn displaystyle EF.

 

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.

Ví dụ 1. Trên cạnh displaystyle AB của tam giác displaystyle ABC lấy các điểm displaystyle M,N sao cho displaystyle AM=MN=NB, các điểm displaystyle E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh displaystyle CB,CA, gọi displaystyle P là giao điểm của displaystyle BF và displaystyle CNdisplaystyle Q là giao điểm của displaystyle AE với displaystyle CM. Chứng minh displaystyle PQ//AB.

Lời giải:

 Tương tự displaystyle overrightarrow{GQ}=frac{1}{4}overrightarrow{GA}.

Vậy displaystyle {{V}_{left( G;frac{1}{4} right)}}left( B right)=P và displaystyle {{V}_{left( G;frac{1}{4} right)}}left( A right)=Q suy ra displaystyle PQ//AB.

    

Ví dụ 2. Cho tam giác displaystyle ABC. Gọi displaystyle I,J,M lần lượt là trung điểm của displaystyle AB,AC,IJ. Đường tròn displaystyle left( O right)ngoại tiếp tam giác displaystyle AIJ cắt displaystyle AO tại displaystyle D. Gọi displaystyle E là hình chiếu vuông góc của displaystyle Dtrên displaystyle BC. Chứng minh displaystyle A,M,E thẳng hàng.

Lời giải:

Xét phép vị tự displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}} ta có

displaystyle overrightarrow{AB}=2overrightarrow{AI};overrightarrow{AC}=2overrightarrow{AJ} nên displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}left( I right)=B,{{V}_{left( A;2 right)}}left( J right)=C do đó displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}} biến tam giác displaystyle AIJthành tam giác displaystyle ABC, do đó phép vị tự này biến đường tròn displaystyle left( O right) thành đường tròn displaystyle left( O' right)ngoại tiếp tam giác displaystyle ABC.

Do displaystyle overrightarrow{AD}=2overrightarrow{AO}Rightarrow {{V}_{left( A;2 right)}}left( O right)=D

displaystyle Rightarrow O'equiv D, hay displaystyle D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác displaystyle ABC

Giả sử displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}left( M right)=M' khi đó displaystyle OMbot IJRightarrow DM'bot BCdisplaystyle Rightarrow M'equiv E.

Vậy displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}left( M right)=E nên displaystyle A,M,E thẳng hàng.

Leave a Comment