A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.
1. Định nghĩa.
Cho điểm và một số thực . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép vị tự tâm , tỉ số . Kí hiệu
Vậy .
2. Biểu thức tọa độ.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho , , gọi thì
.
3. Tính chất:
- – Nếu thì và .
4. Tâm vị tự của hai đường tròn.
Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn và :
B. BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng , cho đường thẳng có phương trình . Hãy viết phương trình của đường thẳng là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số .
Lời giải:
Cách 1:
Lấy .
Gọi . Theo biểu thức tọa độ ta có
.
Thay vào ta được
Vậy .
Cách 2: Do song song hoặc trùng với nên phương trình có dạng : . Lấy thuộc . Gọi ta có . Thay vào ta được .
Vậy .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng , cho đường tròn . Tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự tâm tỉ số
Lời giải:
Đường tròn có tâm , bán kính .
Gọi
.
Gọi là ảnh của qua phép vị tự thì có tâm , bán kính .
Vậy .
Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
Phương pháp:
Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn và đựng nhau, với . Tìm tâm vị tự của hai đương tròn và .
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn và . Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
Lời giải:
Đường tròn có tâm ,bán kính ; đường tròn có tâm , bán kính. Do và nên có hai phép vị tự và biến thành . Gọi
Với khi đó .
.
Tương tự với , tính được .
Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.
Phương pháp:
Để dựng một hình nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình ) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.
Ví dụ 1. Cho hai điểm cố định và hai đường thẳng . Dựng tam giác có đỉnh thuộc và trọng tâm thuộc .
Lời giải:
Phân tích:
Giả sử đã dựng được tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi là trung điểm của , theo tính chất trọng tâm ta có
mà
Với là ảnh của qua .
Lại có
Cách dựng:
Hai điểm là hai điểm cần dựng.
Chứng minh:
Rõ ràng từ cách dựng ta có ; là trung điểm của và là trọng tâm tam giác .
Biện luận:
Số nghiệm hình bằng số giao điểm của và .
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn đồng tâm và . Từ một điểm trên đường tròn lớn hãy dựng đường thẳng cắt tại và cắt tại sao cho .
Lời giải:
Phân tích:
Cách dựng:
Đường thẳng chính là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Gọi là trung điểm của thì cũng là trung điểm của .
Vì nên , mặt khác và có chung trung điểm nên suy ra . Vậy .
Biện luận: Gọi lần lượt là bán kính các đường tròn và ta có:
- Nếu thì có một nghiệm hình.
- Nếu thì có hai nghiệm hình.
Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp:
Để tìm tập hợp điểm ta có thể quy về tìm tập hợp điểm và tìm một phép vị tự nào đó sao cho suy ra quỹ tích điểm là ảnh của quỹ tích qua .
Ví dụ 1. Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn sao cho , là một điểm thay đổi trên đường tròn . Phân giác trong góc cắt tại điểm . Tìm tập hợp điểm khi di động trên .
Lời giải:
Theo tính chất đường phân giác ta có |
, mà thuộc đường tròn nên thuộc ảnh của qua . Vậy tập hợp điểm là ảnh của qua .
Ví dụ 2. Cho tam giác . Qua điểm trên cạnh vẽ các đường song song với các đường trung tuyến và , tương ứng cắt và tai . Tìm tập hợp điểm sao cho là hình bình hành.
Lời giải:
Từ đó ta có Do đó , mà thuộc cạnh nên thuộc ảnh của cạnh qua đoạn chính là đoạn .
Vậy tập hợp điểm là đoạn .
Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.
Ví dụ 1. Trên cạnh của tam giác lấy các điểm sao cho , các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh , gọi là giao điểm của và , là giao điểm của với . Chứng minh .
Lời giải:
Tương tự .
Vậy và suy ra .
Ví dụ 2. Cho tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Chứng minh thẳng hàng.
Lời giải:
Xét phép vị tự ta có
nên do đó biến tam giác thành tam giác , do đó phép vị tự này biến đường tròn thành đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Do
, hay là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Giả sử khi đó .
Vậy nên thẳng hàng.