Phép vị tự, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

Cho điểm $displaystyle I$ và một số thực $displaystyle kne 0$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $displaystyle M$ thành điểm $displaystyle M'$ sao cho $displaystyle overrightarrow{IM'}=k.overrightarrow{IM}$ được gọi là phép vị tự tâm $displaystyle I$ , tỉ số $displaystyle k$ . Kí hiệu $displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}$

Vậy $displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}left( M right)=M'Leftrightarrow overrightarrow{IM'}=k.overrightarrow{IM}$ .

2. Biểu thức tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $displaystyle Ileft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ , $displaystyle Mleft( x;y right)$ , gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{V}_{left( I;k right)}}left( M right)$ thì

$displaystyle left{ begin{array}{l}x'=kx+left( 1-k right){{x}_{0}}\y'=ky+left( 1-k right){{y}_{0}}end{array} right.$ .

3. Tính chất:

– Nếu $displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}left( M right)=M',{{V}_{left( I;k right)}}left( N right)=N'$ thì $displaystyle overrightarrow{M'N'}=koverrightarrow{MN}$ và $displaystyle M'N'=left| k right|MN$ .

4. Tâm vị tự của hai đường tròn.

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn $displaystyle left( I;R right)$ và $displaystyle left( I';R' right)$ :

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $displaystyle Oxy$ , cho đường thẳng $displaystyle d$ có phương trình $displaystyle 5x+2y-7=0$ . Hãy viết phương trình của đường thẳng $displaystyle d'$ là ảnh của $displaystyle d$ qua phép vị tự tâm $displaystyle O$ tỉ số $displaystyle k=-2$ .

Lời giải:

Cách 1:
Lấy $displaystyle Mleft( x;y right)in dRightarrow 5x+2y-7=0text{ }left( * right)$ .

Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{V}_{left( O;-2 right)}}left( M right)$ . Theo biểu thức tọa độ ta có

$displaystyle left{ begin{array}{l}x'=-2x+text{ }!![!!text{ }1-left( -2 right)text{ }!!]!!text{ }.0\y'=-2y+text{ }!![!!text{ }1-left( -2 right)text{ }!!]!!text{ }.0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=-frac{1}{2}x'\y=-frac{1}{2}y'end{array} right.$ .

Thay vào $displaystyle left( * right)$ ta được $displaystyle -frac{5}{2}x'-y'-7=0Leftrightarrow 5x'+2y'+14=0$

Vậy $displaystyle d':5x+2y+14=0$ .

Cách 2: Do $displaystyle d'$ song song hoặc trùng với $displaystyle d$ nên phương trình có dạng : $displaystyle 5x+2y+c=0$ . Lấy $displaystyle Mleft( 1;1 right)$ thuộc $displaystyle d$ . Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{V}_{left( O;-2 right)}}left( M right)$ ta có $displaystyle overrightarrow{OM'}=-2overrightarrow{OM}Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=-2\y'=-2end{array} right.$ . Thay vào $displaystyle left( * right)$ ta được $displaystyle c=14$ .

Vậy $displaystyle d':5x+2y+14=0$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $displaystyle Oxy$ , cho đường tròn $displaystyle left( C right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=4$ . Tìm ảnh của đường tròn $displaystyle left( C right)$ qua phép vị tự tâm $displaystyle Ileft( -1;2 right)$ tỉ số $displaystyle k=3$

Lời giải:

Đường tròn $displaystyle left( C right)$ có tâm $displaystyle Jleft( 1;1 right)$ , bán kính $displaystyle R=2$ .

Gọi $displaystyle J'left( x';y' right)={{V}_{left( I;3 right)}}left( J right)Rightarrow overrightarrow{IJ'}=3overrightarrow{IJ}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'-1=3left( 1+1 right)\y'-1=3left( 1-2 right)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=7\y'=-2end{array} right.$

$displaystyle Rightarrow J'left( 7;-2 right)$ .

Gọi $displaystyle left( C' right)$ là ảnh của $displaystyle left( C right)$ qua phép vị tự $displaystyle {{V}_{left( I;3 right)}}$ thì $displaystyle left( C' right)$ có tâm $displaystyle J'left( 7;-2 right)$ , bán kính $displaystyle R'=3R=6$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Chuyên thiết kế và thi công nội thất đẹp, uy tín trọn gói nhanh chóng 2022 | Mytranshop.com

Vậy $displaystyle left( C' right):{{left( x-7 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=36$ .

Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

Phương pháp:

Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn $displaystyle left( O;R right)$ và $displaystyle left( O';2R right)$ đựng nhau, với $displaystyle One O'$ . Tìm tâm vị tự của hai đương tròn $displaystyle left( O right)$ và $displaystyle left( O' right)$ .

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn $displaystyle left( C right):{{left( x-2 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=4$ và $displaystyle left( C' right):{{left( x-8 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=16$ . Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Lời giải:

Đường tròn $displaystyle left( C right)$ có tâm $displaystyle Ileft( 1;2 right)$ ,bán kính $displaystyle R=2$ ; đường tròn $displaystyle left( C' right)$ có tâm $displaystyle I'left( 8;4 right)$ , bán kính $displaystyle R'=4$ . Do $displaystyle Ine I'$ và $displaystyle Rne R'$ nên có hai phép vị tự $displaystyle {{V}_{left( J;2 right)}}$ và $displaystyle {{V}_{left( J';-2 right)}}$ biến $displaystyle left( C right)$ thành $displaystyle left( C' right)$ . Gọi $displaystyle Jleft( x;y right)$

Với $displaystyle k=2$ khi đó $displaystyle overrightarrow{JI'}=2overrightarrow{JI}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}8-x=2left( 2-x right)\4-y=2left( 1-y right)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=-4\y=-2end{array} right.$ .

$displaystyle Rightarrow Jleft( -4;-2 right)$ .

Tương tự với $displaystyle k=-2$ , tính được $displaystyle J'left( 4;2 right)$ .

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một hình $displaystyle left( H right)$ nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình $displaystyle left( H right)$ ) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.

Ví dụ 1. Cho hai điểm $displaystyle B,C$ cố định và hai đường thẳng $displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ . Dựng tam giác $displaystyle ABC$ có đỉnh $displaystyle A$ thuộc $displaystyle {{d}_{1}}$ và trọng tâm $displaystyle G$ thuộc $displaystyle {{d}_{2}}$ .

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được tam giác $displaystyle ABC$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi $displaystyle I$ là trung điểm của $displaystyle BC$ , theo tính chất trọng tâm ta có $displaystyle overrightarrow{IA}=3overrightarrow{IG}$

$displaystyle Rightarrow {{V}_{left( I;3 right)}}left( G right)=A$ mà $displaystyle Gin {{d}_{2}}Rightarrow Ain {{d}_{2}}'$

Với $displaystyle {{d}_{2}}'$ là ảnh của $displaystyle {{d}_{2}}$ qua $displaystyle {{V}_{left( I;3 right)}}$ .

Lại có $displaystyle Ain {{d}_{1}}Rightarrow A={{d}_{1}}cap {{d}_{2}}'$

Cách dựng:

Hai điểm $displaystyle A;G$ là hai điểm cần dựng.

Chứng minh:

Rõ ràng từ cách dựng ta có $displaystyle Ain {{d}_{1}},Gin {{d}_{2}}$ ; $displaystyle I$ là trung điểm của $displaystyle BC$ và $displaystyle {{V}_{left( I;3 right)}}left( G right)=ARightarrow overrightarrow{IA}=3overrightarrow{IG}Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $displaystyle ABC$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Cách chọn kích thước lens phù hợp với đôi mắt của bạn 2022 | Mytranshop.com

Biện luận:

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}'$ .

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn đồng tâm $displaystyle left( {{C}_{1}} right)$ và $displaystyle left( {{C}_{2}} right)$ . Từ một điểm $displaystyle A$ trên đường tròn lớn $displaystyle left( {{C}_{1}} right)$ hãy dựng đường thẳng $displaystyle d$ cắt $displaystyle left( {{C}_{2}} right)$ tại $displaystyle B,C$ và cắt $displaystyle left( {{C}_{1}} right)$ tại $displaystyle D$ sao cho $displaystyle AB=BC=CD$ .

Lời giải:

Phân tích:

Cách dựng:

Đường thẳng $displaystyle d$ chính là đường thẳng cần dựng.

Chứng minh:

Gọi $displaystyle I$ là trung điểm của $displaystyle AD$ thì $displaystyle I$ cũng là trung điểm của $displaystyle BC$ .

Vì $displaystyle {{V}_{left( A;frac{1}{2} right)}}left( C right)=B$ nên $displaystyle AB=BC$ , mặt khác $displaystyle AD$ và $displaystyle BC$ có chung trung điểm $displaystyle I$ nên $displaystyle IA=ID,IC=IC,$ $displaystyle ID=CD+IC;IA=IB+AB$ suy ra $displaystyle CD=AB$ . Vậy $displaystyle AB=BC=CD$ .

Biện luận: Gọi $displaystyle {{R}_{1}};{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính các đường tròn $displaystyle left( {{C}_{1}} right)$ và $displaystyle left( {{C}_{2}} right)$ ta có:

Nếu $displaystyle {{R}_{1}}ge 2{{R}_{2}}$ thì có một nghiệm hình.
Nếu $displaystyle {{R}_{1}}<2{{R}_{2}}$ thì có hai nghiệm hình.

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Để tìm tập hợp điểm $displaystyle M$ ta có thể quy về tìm tập hợp điểm $displaystyle N$ và tìm một phép vị tự $displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}$ nào đó sao cho $displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}left( N right)=M$ suy ra quỹ tích điểm $displaystyle M$ là ảnh của quỹ tích $displaystyle N$ qua $displaystyle {{V}_{left( I;k right)}}$ .

Ví dụ 1. Cho đường tròn $displaystyle left( O;R right)$ và một điểm $displaystyle I$ nằm ngoài đường tròn sao cho $displaystyle OI=3R$ , $displaystyle A$ là một điểm thay đổi trên đường tròn $displaystyle left( O;R right)$ . Phân giác trong góc $displaystyle widehat{IOA}$ cắt $displaystyle IA$ tại điểm $displaystyle M$ . Tìm tập hợp điểm $displaystyle M$ khi $displaystyle A$ di động trên $displaystyle left( O;R right)$ .

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có $displaystyle frac{MI}{MA}=frac{OI}{OA}=frac{3R}{R}=3$

$displaystyle Rightarrow IM=frac{3}{4}IA$

$displaystyle Rightarrow overrightarrow{IM}=frac{3}{4}overrightarrow{IA}$

$displaystyle Rightarrow {{V}_{left( I;frac{3}{4} right)}}left( A right)=M$ , mà $displaystyle A$ thuộc đường tròn $displaystyle left( O;R right)$ nên $displaystyle M$ thuộc $displaystyle left( O';frac{3}{4}R right)$ ảnh của $displaystyle left( O;R right)$ qua $displaystyle {{V}_{left( I;frac{3}{4} right)}}$ . Vậy tập hợp điểm $displaystyle M$ là $displaystyle left( O';frac{3}{4}R right)$ ảnh của $displaystyle left( O;R right)$ qua $displaystyle {{V}_{left( I;frac{3}{4} right)}}$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $displaystyle ABC$ . Qua điểm $displaystyle M$ trên cạnh $displaystyle AB$ vẽ các đường song song với các đường trung tuyến $displaystyle AE$ và $displaystyle BF$ , tương ứng cắt $displaystyle BC$ và $displaystyle CA$ tai $displaystyle P,Q$ . Tìm tập hợp điểm $displaystyle R$ sao cho $displaystyle MPRQ$ là hình bình hành.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Quá trình đẳng nhiệt. Định luật Bôi - lơ 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Từ đó ta có $displaystyle overrightarrow{MG}=overrightarrow{MI}+overrightarrow{MK}=frac{2}{3}overrightarrow{MQ}+frac{2}{3}overrightarrow{MP}=frac{2}{3}overrightarrow{MR}$ Do đó $displaystyle overrightarrow{GR}=-frac{1}{2}overrightarrow{GM}Rightarrow {{V}_{left( G;-frac{1}{2} right)}}left( M right)=R$ , mà $displaystyle M$ thuộc cạnh $displaystyle AB$ nên $displaystyle R$ thuộc ảnh của cạnh $displaystyle AB$ qua $displaystyle {{V}_{left( G;-frac{1}{2} right)}}$ đoạn chính là đoạn $displaystyle EF$ .

Vậy tập hợp điểm $displaystyle R$ là đoạn $displaystyle EF$ .

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.

Ví dụ 1. Trên cạnh $displaystyle AB$ của tam giác $displaystyle ABC$ lấy các điểm $displaystyle M,N$ sao cho $displaystyle AM=MN=NB$ , các điểm $displaystyle E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $displaystyle CB,CA$ , gọi $displaystyle P$ là giao điểm của $displaystyle BF$ và $displaystyle CN$ , $displaystyle Q$ là giao điểm của $displaystyle AE$ với $displaystyle CM$ . Chứng minh $displaystyle PQ//AB$ .

Lời giải:

Tương tự $displaystyle overrightarrow{GQ}=frac{1}{4}overrightarrow{GA}$ .

Vậy $displaystyle {{V}_{left( G;frac{1}{4} right)}}left( B right)=P$ và $displaystyle {{V}_{left( G;frac{1}{4} right)}}left( A right)=Q$ suy ra $displaystyle PQ//AB$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $displaystyle ABC$ . Gọi $displaystyle I,J,M$ lần lượt là trung điểm của $displaystyle AB,AC,IJ$ . Đường tròn $displaystyle left( O right)$ ngoại tiếp tam giác $displaystyle AIJ$ cắt $displaystyle AO$ tại $displaystyle D$ . Gọi $displaystyle E$ là hình chiếu vuông góc của $displaystyle D$ trên $displaystyle BC$ . Chứng minh $displaystyle A,M,E$ thẳng hàng.

Lời giải:

Xét phép vị tự $displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}$ ta có

$displaystyle overrightarrow{AB}=2overrightarrow{AI};overrightarrow{AC}=2overrightarrow{AJ}$ nên $displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}left( I right)=B,{{V}_{left( A;2 right)}}left( J right)=C$ do đó $displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}$ biến tam giác $displaystyle AIJ$ thành tam giác $displaystyle ABC$ , do đó phép vị tự này biến đường tròn $displaystyle left( O right)$ thành đường tròn $displaystyle left( O' right)$ ngoại tiếp tam giác $displaystyle ABC$ .

Do $displaystyle overrightarrow{AD}=2overrightarrow{AO}Rightarrow {{V}_{left( A;2 right)}}left( O right)=D$

$displaystyle Rightarrow O'equiv D$ , hay $displaystyle D$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $displaystyle ABC$

Giả sử $displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}left( M right)=M'$ khi đó $displaystyle OMbot IJRightarrow DM'bot BC$ $displaystyle Rightarrow M'equiv E$ .

Vậy $displaystyle {{V}_{left( A;2 right)}}left( M right)=E$ nên $displaystyle A,M,E$ thẳng hàng.

Phép vị tự, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

2. Biểu thức tọa độ.

3. Tính chất:

4. Tâm vị tự của hai đường tròn.

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.

Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM.

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.

Leave a Comment Cancel reply