Phương pháp quy nạp toán học 2022 | Mytranshop.com

I. Phương pháp qui nạp toán học
Bài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N*. Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*.
Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây)
• Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1. (*)
• Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, giả sử A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1.
Chú ý: (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p.

Ví dụ: Chứng minh rằng: n7-n chia hết cho 7 với mọi n ∈ N*

Lời giải:

Đặt An=n7-n.

Khi n = 1 thì A1=0⋮7

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là Ak=(k7-k)⋮7.

Ta phải chứng minh, mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là: Ak+1=(k+1)7-(k+1)⋮7

Áp dụng công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có:

Ak+1=(k+1)7-(k+1)=k7+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k+1-k-1=k7-k+7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)

Theo giả thiết quy nạp Ak=(k7-k)⋮7

⇒Ak+1⋮7

Vậy mệnh đề đã cho đúng

II. Dãy số

1. Định nghĩa : Dãy số (un) là một ánh xạ từ N* vào R:
f: N* → R
Khi đó, ta có un = f(n).

Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, … , un, …

2. Cách xác định một dãy số

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un.
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)
• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Đại cương về sóng cơ, trắc nghiệm vật lý lớp 12 2022 | Mytranshop.com

3. Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1:
(Dãy số tăng): Dãy số (un) được gọi là tăng nếu ∀n ∈ N*, un < un + 1.
Định nghĩa 2:
(Dãy số giảm): Dãy số (un) được gọi là giảm nếu ∀n ∈ N*, un > un + 1.

4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 3:
(Dãy số bị chặn trên): Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 4 :
(Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 5:
(Dãy số bị chặn): Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
∃m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*

5. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số.

Phương pháp giải:

Thay n vào công thức ${{u}_{n}}$ hoặc hệ thức truy hồi.

Ví dụ 1: Cho dãy số $({{u}_{n}})$ với ${{u}_{n}}=frac{n}{{{2}^{n}}}$ . Tìm số hạng ${{u}_{3}},{{u}_{4}}$ .

Lời giải:

${{u}_{3}}=frac{3}{{{2}^{3}}}=frac{3}{8},{{u}_{4}}=frac{4}{{{2}^{4}}}=frac{4}{16}=frac{1}{4}$

Ví dụ 2: Cho dãy số .Tìm số hạng ${{u}_{4}}$ .

Lời giải:

Ta có: ${{u}_{2}}=2{{u}_{1}}-3=10-3=7,$ ${{u}_{3}}=2{{u}_{2}}-3=14-3=11,$ ${{u}_{4}}=2{{u}_{3}}-3=22-3=19$

Dạng 2*:
Xác định số hạng tổng quát cho bởi hệ thức truy hồi

Phương pháp giải:

– Tính thử các số hạng đầu, dự đoán ${{u}_{n}}=f(n)$ .

– Chứng minh hệ thức đó đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ví dụ 3: Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=5,{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}-3(forall nge 2)$ . Tìm số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ .

Lời giải:

Ta có: ${{u}_{1}}=5={{2}^{1}}+3$

${{u}_{2}}=2{{u}_{1}}-3=2.5-3=7={{2}^{2}}+3$

${{u}_{3}}=2{{u}_{2}}-3=2.7-3=11={{2}^{3}}+3$

${{u}_{4}}=2{{u}_{3}}-3=2.11-3=19={{2}^{4}}+3$

Ta dự đoán ${{u}_{n}}={{2}^{n}}+3,forall nin {{N}^{*}}$ (1)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Phòng tập Yoga Vipassana Hòa Hảo 2022 | Mytranshop.com

Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1, ta có: ${{u}_{1}}=5={{2}^{1}}+3$ ⇒ (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n = k (k > 1), tức là: ${{u}_{k}}={{2}^{k}}+3$ .

+ Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là: ${{u}_{k+1}}={{2}^{k+1}}+3$ .

Thật vậy, ${{u}_{k+1}}={{2}^{k+1}}+3={{2.2}^{k}}+3=2({{2}^{k}}+3)-3=2{{u}_{k}}-3$ ⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy (1) là công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Dạng 3:
Xét tính đơn điệu của dãy số.

Phương pháp giải:

+ $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng $Leftrightarrow forall n,{{u}_{n}}>{{u}_{n-1}}$ .

+ $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm $Leftrightarrow forall n,{{u}_{n}}<{{u}_{n-1}}$

+ Để so sánh ${{u}_{n}}$ và ${{u}_{n-1}}$ ta có thể xét hiệu ${{u}_{n}}$ – ${{u}_{n-1}}$ hoặc xét thương $frac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n-1}}}$ .

Ví dụ 4: Xét tính tăng giảm của dãy số $({{u}_{n}})$ : ${{u}_{n}}=frac{2n+3}{n+2}$

Lời giải:

Ta có: ${{u}_{n}}=frac{2n+3}{n+2}=2-frac{1}{n+2}$

$forall n,{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=(2-frac{1}{(n+1)+2})-(2-frac{1}{n+2})=frac{1}{n+2}-frac{1}{n+3}>0$

Do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.

Leave a Comment Cancel reply