I. Phương pháp qui nạp toán học
Bài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N*. Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*.
Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây)
• Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1. (*)
• Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, giả sử A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1.
Chú ý: (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p.
Ví dụ: Chứng minh rằng: n7-n chia hết cho 7 với mọi n ∈ N*
Lời giải:
Đặt An=n7-n.
Khi n = 1 thì A1=0⋮7
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là Ak=(k7-k)⋮7.
Ta phải chứng minh, mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là: Ak+1=(k+1)7-(k+1)⋮7
Áp dụng công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có:
Ak+1=(k+1)7-(k+1)=k7+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k+1-k-1=k7-k+7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)
Theo giả thiết quy nạp Ak=(k7-k)⋮7
⇒Ak+1⋮7
Vậy mệnh đề đã cho đúng
II. Dãy số
1. Định nghĩa : Dãy số (un) là một ánh xạ từ N* vào R:
f: N* → R
Khi đó, ta có un = f(n).
Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, … , un, …
2. Cách xác định một dãy số
Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un.
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)
• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
3. Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1:
(Dãy số tăng): Dãy số (un) được gọi là tăng nếu ∀n ∈ N*, un < un + 1.
Định nghĩa 2:
(Dãy số giảm): Dãy số (un) được gọi là giảm nếu ∀n ∈ N*, un > un + 1.
4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 3:
(Dãy số bị chặn trên): Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 4 :
(Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 5:
(Dãy số bị chặn): Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
∃m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*
5. Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số.
Phương pháp giải:
Thay n vào công thức hoặc hệ thức truy hồi.
Ví dụ 1: Cho dãy số với . Tìm số hạng .
Lời giải:
Ví dụ 2: Cho dãy số .Tìm số hạng .
Lời giải:
Ta có:
Dạng 2*:
Xác định số hạng tổng quát cho bởi hệ thức truy hồi
Phương pháp giải:
– Tính thử các số hạng đầu, dự đoán .
– Chứng minh hệ thức đó đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi: . Tìm số hạng tổng quát .
Lời giải:
Ta có:
Ta dự đoán (1)
Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1, ta có: ⇒ (1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với n = k (k > 1), tức là: .
+ Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là: .
Thật vậy, ⇒ (1) đúng với n = k + 1.
Vậy (1) là công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Dạng 3:
Xét tính đơn điệu của dãy số.
Phương pháp giải:
+ là dãy số tăng .
+ là dãy số giảm
+ Để so sánh và ta có thể xét hiệu – hoặc xét thương .
Ví dụ 4: Xét tính tăng giảm của dãy số :
Lời giải:
Ta có:
Do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.