Phương trình lượng giác cơ bản, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A. Lí thuyết cơ bản

1. Phương trình $sin x=a$ (1)

+ $|a|,>1$ : Phương trình (1) vô nghiệm.
+ $|a|,le 1$ : Gọi $alpha$ là một cung sao cho $sin x=sin alpha$ . Khi đó

$(1)Leftrightarrow sin x=sin alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=alpha +k2pi \x=pi -alpha +k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .

Phương trình $sin x=sin {{beta }^{0}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x={{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\x=pi -{{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .
+ Các trường hợp đặc biệt:

$displaystyle sin x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi ,,kin mathbb{Z}$

$displaystyle sin x=-1Leftrightarrow x=-frac{pi }{2}+k2pi ,,kin mathbb{Z}$ $sin x=0Leftrightarrow x=kpi ,,(kin mathbb{Z})$

Chú ý:
- + Tổng quát: $sin f(x)=sin g(x)$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2pi \f(x)=pi -g(x)+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})$
- + $sin x=aLeftrightarrow left[ begin{array}{l}x=arcsin a+k2pi \x=pi -arcsin a+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

2. Phương trình $cos x=a$ (2)

+ $|a|,>1$ : Phương trình (1) vô nghiệm.
+ $|a|,le 1$ : Gọi $alpha$ là một cung sao cho $cos x=cos alpha$ . Khi đó

$(2)Leftrightarrow cos x=cos alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=alpha +k2pi \x=-alpha +k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .

Phương trình $cos x=cos {{beta }^{0}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x={{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\x=-{{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .
Các trường hợp đặc biệt:

$displaystyle cos x=1Leftrightarrow x=k2pi ,,kin mathbb{Z}$ .

$displaystyle cos x=-1Leftrightarrow x=pi +k2pi ,,kin mathbb{Z}$ . $cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi ,,(kin mathbb{Z})$ .

Chú ý:
- + Tổng quát: $cos f(x)=cos g(x)$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2pi \f(x)=-g(x)+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})$
- + $cos x=aLeftrightarrow left[ begin{array}{l}x=arccos a+k2pi \x=-arccos a+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

3. Phương trình $tan x=a$ (3)

+ TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{pi }{2}+kpi ,kin mathbb{Z} right}$ .
+ $forall ain mathbb{R}$ , tồn tại cung $alpha$ sao cho $tan alpha =a$ . Khi đó:

$(3)Leftrightarrow tan x=tan alpha Leftrightarrow x=alpha +kpi ,,kin mathbb{Z}$ .
+ Phương trình $tan x=tan {{beta }^{0}}Leftrightarrow x={{beta }^{0}}+k{{180}^{0}},,kin mathbb{Z}$ .
Chú ý:
- + Tổng quát: $tan f(x)=tan g(x)Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi ,(kin mathbb{Z})$ .
- + $tan x=aLeftrightarrow x=arctan a+kpi ,(kin mathbb{Z})$ .
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

4. Phương trình $cot x=a$ (4)

+ TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ kpi ,kin mathbb{Z} right}$ .
+ $forall ain mathbb{R}$ , tồn tại cung $alpha$ sao cho $cot alpha =a$ . Khi đó:

$(4)Leftrightarrow cot x=cot alpha Leftrightarrow x=alpha +kpi ,,kin mathbb{Z}$ .
+ Phương trình $cot x=cot {{beta }^{0}}Leftrightarrow x={{beta }^{0}}+k{{180}^{0}},,kin mathbb{Z}$ .
Chú ý:
- + Tổng quát: $cot f(x)=cot g(x)Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi ,(kin mathbb{Z})$ .
- + cot x=a⇔x=arccota+kπ, (k∈ℤ)
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

B. Bài tập

1. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình $sin left( frac{2x}{3}-frac{pi }{3} right)=0$ .

A. $x=kpi ,,(kin mathbb{Z})$ . B. $x=frac{2pi }{3}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z})$ .

C. $x=frac{pi }{3}+kpi ,,(kin mathbb{Z})$ . D. $x=frac{pi }{2}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Phương trình $sin left( frac{2x}{3}-frac{pi }{3} right)=0Leftrightarrow frac{2x}{3}-frac{pi }{3}=kpi$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bài tập giảm mỡ bụng sau sinh mổ lấy lại vóc dáng tức thì 2022 | Mytranshop.com

$Leftrightarrow frac{2x}{3}=frac{pi }{3}+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z})$ .

Chọn D.

Ví dụ 2: Giải phương trình $cot (3x-1)=-sqrt{3}$ .

A. $x=frac{1}{3}+frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z})$ . B. $x=frac{1}{3}+frac{pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z})$ .

C. $x=frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z})$ . D. $x=frac{1}{3}-frac{pi }{6}+kpi ,,(kin mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Ta có $cot (3x-1)=-sqrt{3}Leftrightarrow cot (3x-1)=cot left( -frac{pi }{6} right)$

$Leftrightarrow 3x-1=-frac{pi }{6}+kpi$

$Leftrightarrow x=frac{1}{3}-frac{pi }{18}+kfrac{pi }{3}=frac{1}{3}+frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3}$

Chọn A.

Ví dụ 3: Trên $(0;pi )$ phương trình $sin 2x=-frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 2. C. 3. D. Vô số nghiệm.

Lời giải:

Ta có $displaystyle sin 2x=-frac{1}{2}Leftrightarrow sin 2x=sin frac{-pi }{6}$

$displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x=-frac{pi }{6}+k2pi \2x=pi -left( -frac{pi }{6} right)+k2pi end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-frac{pi }{12}+kpi \x=frac{7pi }{12}+k2pi end{array} right.$ .

Trên $(0;pi )$ ta có:

+ $0<-frac{pi }{12}+kpi <pi Leftrightarrow frac{1}{12}<k<frac{13}{12}$ với $kin mathbb{Z}Rightarrow k=1Rightarrow x=frac{11pi }{12}$ .
+ $0<frac{7pi }{12}+kpi <pi Leftrightarrow frac{-7}{12}<k<frac{5}{12}$ với $kin mathbb{Z}Rightarrow k=0Rightarrow x=frac{7pi }{12}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm trên $(0;pi )$ . Chọn C.

Ví dụ 4: Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của các hàm số $y=tan left( frac{pi }{4}-x right)$ và $y=tan 2x$ bằng nhau?

A. $x=frac{pi }{4}+kfrac{pi }{2},,(kin mathbb{Z})$ . B. $x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z})$ .

C. $x=frac{pi }{12}+kpi ,,(kin mathbb{Z})$ . D. $x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z}),$ .

Lời giải:

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}cos left( frac{pi }{4}-x right)ne 0\cos 2xne 0end{array} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne -frac{pi }{4}+mpi \xne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2}end{array} right.Leftrightarrow xne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2},,(min mathbb{Z})$

Xét phương trình $tan left( frac{pi }{4}-x right)=tan 2x$

$Leftrightarrow 2x=frac{pi }{4}-x+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z})$

Kết hợp với điều kiện ta có $frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3}ne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2}$ $Leftrightarrow kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm $x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z}),$ .

Chọn D.

Ví dụ 5: Giải phương trình $sin (2x+1)+cos (3x-1)=0$ .

A. $left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z})$ . B. $left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .

C. $left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+3+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z})$ . D. $left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+6+k2pi \x=frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Phương trình $displaystyle Leftrightarrow cos (3x-1)=-sin (2x+1)$

$displaystyle Leftrightarrow cos (3x-1)=cos left( frac{pi }{2}+2x+1 right)$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3x-1=frac{pi }{2}+2x+1+k2pi \3x-1=-frac{pi }{2}-2x-1+k2pi end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tư vấn thiết kế nhà ống 2 tầng mái bằng hiện đại chi phí 600 triệu 2022 | Mytranshop.com

Chọn B.

Ví dụ 6: Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $frac{2cos 2x}{1-sin 2x}=0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ${{x}_{0}}in left( 0;frac{pi }{4} right)$ . B. $displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right)$ . C. $displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{pi }{2};frac{3pi }{4} right)$ . D. $displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{3pi }{4};pi right)$ .