Quỹ tích là tri thức quan yếu trong chương trình toán học THCS cũng như THPT. Vậy quỹ tích là gì? Cách giải bài toán quỹ tích như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu yếu tố về chủ đề quỹ tích là gì nhé!.
Khái niệm quỹ tích là gì?
Một hình H, theo khái niệm, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ mang tính chất T lúc và chỉ lúc hình H chứa những điểm mang tính chất T.
Những loại quỹ tích cơ bản
- Tập hợp những điểm bao gồm hai điểm A, B và tất cả những điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB.
- Tập hợp những điểm cách đều hai điểm nhất mực chính là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đấy.
- Tập hợp những điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là tia phân giác của góc đó.
- Tập hợp những điểm cách đường thẳng (d) một khoảng bằng I là hai đường thẳng track track với (d) và sẽ cách đường thẳng (d) một khoảng chính bằng I.
- Ta mang tập hợp của những điểm cách điểm nhất mực O một khoảng bằng R chính là đường tròn tâm O, với bán kính R trong mặt phẳng và là mặt cầu tâm O, bán kính R trong ko gian ba chiều.
- Tập hợp những điểm M tạo với hai đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc (widehat{AMB}) sẽ mang số đo bằng (alpha) ko đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung tròn chứa góc (alpha) vẽ trên đoạn AB).
- Tập hợp những cặp điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
- Tập hợp những điểm trong mặt phẳng với tổng khoảng cách tới hai điểm nhất mực cho trước (nằm trong mặt phẳng đó) chính là đường elíp nhận hai điểm nhất mực đó là tiêu điểm.
- Tập hợp những điểm cách đều một điểm và một đường thẳng nhất mực sẽ là đường Parabol trong mặt phẳng đi qua điểm và đường nhất mực đó.
Cách chuẩn bị giải bài toán quỹ tích
Tìm hiểu kĩ bài toán
Trước hết bạn cần tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường sẽ xuất hiện 3 yếu tố sau đây:
- Yếu tố nhất mực: Như những điểm, đoạn thẳng hay đường thẳng, ….
- Yếu tố ko đổi: Như độ dài đoạn thẳng, độ to của góc, ….
- Yếu tố thay đổi: Thông thường là những điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc những đoạn thẳng, hoặc những hình mà trên đó chứa những điểm ta cần tìm quỹ tích.
Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích
Để hiểu rõ hơn về những yếu tố trên ta xét những ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: Cho một góc vuông (widehat{xOy}) nhất mực và một đoạn thẳng AB mang độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp những trung điểm M của đoạn thẳng AB .
Trong bài toán này chúng ta cần xác định 3 yếu tố đã nêu trên:
- Yếu tố nhất mực là đỉnh O của góc vuông (widehat{xOy})
- Yếu tố ko đổi là độ dài của đoạn thẳng AB
- Yếu tố thay đổi là điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của đoạn thẳng AB cũng thay đổi.
Ví dụ 2: Cho một đường thẳng (b) và điểm A nhất mực ko thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC mang đỉnh B di chuyển trên đường thẳng (b) sao cho nó xoành xoạch đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.
- Yếu tố nhất mực là đỉnh A và đường thẳng (b)
- Yếu tố thay đổi là đỉnh B và đỉnh C
- Yếu tố ko đổi chính là hình dạng của tam giác ABC (AB = AC)
Tóm lại: Qua 2 ví dụ trên ta cần lưu ý:
- Trong một bài toán mang thể mang nhiều yếu tố nhất mực, nhiều yếu tố ko đổi và nhiều yếu tố thay đổi. Vì vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố mang liên quan tới cách giải mà thôi.
- Thỉnh thoảng những yếu tố đặc trưng trên ko được cho một cách trực tiếp nên ta cần phải hiểu được một cách linh hoạt và sáng tạo.
- Ở ví dụ 2, đề bài yêu cầu là tam giác đồng dạng với chính nó, vì thế ta cần lập ra hoặc chứng minh những giả thiết để tam giác ABC luôn đồng dạng (AB = AC). Thông qua việc đó giúp ta mang thể giải bài toán một cách đơn thuần hơn
Cách đoán nhận quỹ tích
Thao tác đoán nhận quỹ tích giúp chúng ta mang thể tưởng tượng ra được hình dạng của quỹ tích (đoạn thẳng, đường thẳng, hình tròn, ….).
Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Để mang thể nhận được kết quả tốt và đơn thuần nhất ta xét những điểm giới hạn của chúng, với điều kiện là vẽ hình xác thực.
- Nếu ba điểm ta vẽ được ko thẳng hàng thì nhiều khả năng quỹ tích là đường tròn
- Nếu ba điểm ta vẽ được thẳng hàng thì khả năng quỹ tích sẽ là đường thẳng.
Cách giải bài toán quỹ tích
Chứng minh phần thuận
Mọi điểm mang tính chất T đều thuộc hình H. Thực chất của phần này là đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra với một vài trường hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm).
Chứng minh phần đảo
Mọi điểm thuộc hình H đều mang tính chất T. Mục tiêu của việc chứng minh phần đảo là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều trường hợp thì việc xét phần đảo sẽ là cách chứng minh kiên cố nhất cho lập luận của mình).
Tóm lại: Sau lúc chứng minh cả hai phần trên ta kết luận: Quỹ tích của những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H.
Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích điểm
Để giải được bài toán tìm quỹ tích điểm: (overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}=koverrightarrow{MC})
- Bước 1: Xác định những yếu tố đặc trưng (yếu tố nhất mực, yếu tố ko đổi, yếu tố thay đổi)
- Bước 2: Biến đổi biểu thức vectơ cho trước về 1 trong 5 dạng toán sau:
Dạng 1: Cho ba điểm A, B, C nhất mực. M di chuyển. Ta chứng minh được (overrightarrow{CM}=koverrightarrow{AB}) lúc đó điểm M di chuyển trên đường thẳng (left (Delta proper )) qua điểm C và track track với AB.
Dạng 2: Cho hai điểm A, B nhất mực. Quỹ tích điểm M là điểm di chuyển sao cho (left | overrightarrow{MA} proper |=left | overrightarrow{MB} proper |). Lúc đó quỹ tích điểm M thỏa mãn (left | overrightarrow{MA} proper |=left | overrightarrow{MB} proper |) là đường thẳng (left (Delta proper )) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Dạng 3: Cho (I) là điểm nhất mực, M là điểm di động. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: (overrightarrow{IM}=R>0) thì quỹ tích điểm M là đường tròn (left ( I;R proper ))
Dạng 4: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nhất mực và một điểm M di chuyển. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: (overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0) là đường tròn (C) mang (left ( O;frac{AB}{2} proper ))
Dạng 5: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B nhất mực và một điểm M di chuyển mang (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0). Lúc đó quỹ tích điểm M sẽ là đường thẳng (left ( Delta proper )) đi qua A và vuông góc với AB.
Một số bài tập tìm quỹ tích điểm
Từ khái niệm quỹ tích là gì, để nắm rõ hơn tri thức, chúng ta cùng tìm hiểu về một số bài tập quỹ tích dưới đây nhé.
Ví dụ 1: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn (overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC}left ( kne0 proper ))
Cách giải:
Nhận xét:
- A,B,C là yếu tố nhất mực.
- M là yếu tố thay đổi.
Gọi (I) là trung điểm của AB. Ta mang:
(overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})
(Rightarrowoverrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})
(Rightarrow2overrightarrow{MI}+overrightarrow{CB}=koverrightarrow{BC}) (do (I) là trung điểm của AB)
(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}-overrightarrow{CB})
(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}+overrightarrow{BC})
(Rightarrow2overrightarrow{MI}=left (okay+1 proper )overrightarrow{BC})
(Rightarrowoverrightarrow{MI}=left (frac{okay+1}{2} proper )overrightarrow{BC}) (tương ứng với dạng toán 1 đã nêu ở trên).
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta proper )) đi qua (I) và track track với BC
Ví dụ 2: Cho A,B nhất mực. Tập hợp điểm M thỏa mãn (left | 2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} proper |=5)
Cách giải:
Nhận xét:
- A, B là yếu tố nhất mực.
- M là yếu tố thay đổi
Giả sử điểm (I) nằm giữa đoạn thẳng AB và thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})
Lúc đó ta mang:
(left |2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} proper |=5 Rightarrowleft | 2overrightarrow{MI}+2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{MI}+3overrightarrow{IB} proper |=5 Rightarrowleft | 5overrightarrow{MI}+left (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB} proper ) proper |=5Rightarrow5left | overrightarrow{MI} proper |=5Rightarrowleft | overrightarrow{MI} proper |=1)
(giống với dạng 3 đã nêu ở trên)
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm (I) và bán kính = 1.
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho (left | 2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} proper |=left |overrightarrow{MC}+4overrightarrow{MD} proper |)
Cách giải:
- Giả sử điểm (I) thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})
- Giả sử điểm (J) thỏa mãn (overrightarrow{JC}+4overrightarrow{JD}=overrightarrow{0})
Ta mang:
(left | 2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} proper |=left |overrightarrow{MC}+4overrightarrow{MD} proper |Rightarrowleft | 2overrightarrow{MI}+2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{MI}+3overrightarrow{IB} proper |=left |overrightarrow{MJ}+overrightarrow{JC}+4overrightarrow{MJ}+4overrightarrow{JD} proper |Rightarrowleft | 5overrightarrow{MI}+left ( 2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB} proper ) proper |=left | 5overrightarrow{MJ}+left ( overrightarrow{JC}+4overrightarrow{JD} proper ) proper |Rightarrowleft | 5overrightarrow{MI} proper |=left | 5overrightarrow{MJ} proper |Rightarrowleft | overrightarrow{MI} proper |=left | overrightarrow{MJ} proper|)
(giống với dạng toán 2 đã nêu ở trên).
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta proper )) là trung trực của (IJ)
Ví dụ 4: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M sao cho (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=AM^2)
Cách giải:
Ta mang:
(overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}=0Rightarrowoverrightarrow{AM}.left ( overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM} proper )=0Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0Rightarrow-overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0Rightarrowoverrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0)
(giống dạng toán 4 đã nêu ở trên)
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính là (frac{AB}{2}).
Ví dụ 5: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M sao cho (left |overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} proper |=left |6overrightarrow{MA}-3overrightarrow{MB}+3overrightarrow{MC} proper |)
Cách giải:
- Gọi (I) là trung điểm của BC (Rightarrowoverrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}=2overrightarrow{MI})
- Gọi G là trọng tâm của (bigtriangleup ABCRightarrowoverrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0})
Ta mang:
(left |overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} proper |=left |6overrightarrow{MA}-3overrightarrow{MB}+3overrightarrow{MC} proper |Rightarrowleft |overrightarrow{MG}+overrightarrow{GA}+overrightarrow{MG}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{MG}+overrightarrow{GC} proper |=left |6overrightarrow{MA}-3left ( overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} proper ) proper |Rightarrowleft |3overrightarrow{MG}+left ( overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC} proper ) proper |=left |6overrightarrow{MA}-3left ( 2overrightarrow{MI} proper ) proper |Rightarrowleft |3overrightarrow{MG} proper |=left |6overrightarrow{MA}-6overrightarrow{MI} proper |Rightarrow3left |overrightarrow{MG} proper |=6left |overrightarrow{IA} proper |Rightarrow MG=2IA)
- Ta thấy A nhất mực (giả thiết) và (I) là trung điểm của BC suy ra (I) nhất mực. (1)
- G là trọng tâm của (bigtriangleup ABC) suy ra G nhất mực (2)
Từ (1) và (2) suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm G, bán kính là (2IA)
Ví dụ 6: Trên mặt phẳng cho 2 điểm A,B nhất mực. Tìm tập hợp điểm M sao cho (AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0)
Cách giải:
Ta mang:
(AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0 Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0 Rightarrowoverrightarrow{AM}.left (overrightarrow{AM}+overrightarrow{MB} proper )=0 Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0)
Bài viết trên đây của copphaviet.com đã cùng bạn tổng hợp và tìm hiểu về chủ đề quỹ tích là gì cùng một số tri thức liên quan. Hy vọng bài viết đã mang tới cho bạn những nội dung hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề quỹ tích là gì. Chúc bạn luôn học tập tốt!.
Xem yếu tố qua bài giảng dưới đây:
(Nguồn: copphaviet.com)
Xem thêm:
- Khái niệm và Những khái niệm của Xác Suất trong Toán học
- Hàm số liên tục là gì? Phương pháp giải và Những dạng bài tập
- Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Những dạng toán
- Phép dời hình lớp 11 – Khái niệm lý thuyết và Những dạng bài tập cơ bản
- Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác và Những dạng bài tập
- Phương trình lượng giác và Công thức nghiệm phương trình lượng giác
- Dãy số cấp số cùng cấp số nhân – Lý thuyết và Cách giải những dạng bài tập
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và Những dạng bài tập
- Vecto trong ko gian lớp 11 và Những dạng toán vecto trong ko gian