Số phức và các phép toán, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản

1. Số phức

Số phức $z$ là một biểu thức có dạng $z=a+bi$ trong đó $a,bin mathbb{R}$ và ${{i}^{2}}=-1$ .

Trong đó:

+ $i$ là đơn vị ảo.
+ $a$ là phần thực của $z$ .
+ $b$ là phần ảo.

Tập hợp các số phức, kí hiệu là $mathbb{C}$ .

Chú ý:

Hai số phức $z=a+bi,,,z'=a'+b'i$ bằng nhau $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=a'\b=b'end{array} right.$ .

2. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của $z=a+bi$ là $overline{z}=a-bi$ .

Nhận xét:

3. Mô đun của số phức

Mô đun của số phức $z=a+bi$ là $|z|,=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .

Nhận xét : + $|z|,=,|overline{z}|$ . + $|z.z'|,=,|z|.z'|$ .

+ $|zpm z'|,=,|z|pm |z'|$ . + $|frac{z}{z'}|,=frac{|z|}{|z'|}$ .

4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm $M(x;y)$ trong một hệ tọa độ Oxy được gọi là một điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$ .

5. Các phép toán

Cho $z=a+bi$ và $z'=a'+b'i$ ta có:

$zpm z'=(a+bi)pm (a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$ .

$z.z'=(a+bi)(a'+b'i)=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i$ .

$frac{z}{z'}=frac{z.overline{z'}}{z'.overline{z'}}=frac{z.overline{z'}}{|z'{{|}^{2}}}$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Các phép toán trên tập số phức

A. Phương pháp

– Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
– Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm số phức liên hợp của: $z=(1+i)(3-2i)+frac{1}{3+i}$ .

Lời giải:

Ta có : $z=5+i+frac{3-i}{(3+i)(3-i)}=5+i+frac{3-i}{10}$ .

Suy ra số phức liên hợp của z là: $overline{z}=frac{53}{10}-frac{9}{10}i$ .

Ví dụ 1.2: Tìm mô đun của số phức $z=frac{(1+i)(2-i)}{1+2i}$ .

Lời giải:

Ta có : $z=frac{5+i}{5}=1+frac{1}{5}i$ .

Vậy, mô đun của z bằng: $left| z right|=sqrt{1+{{left( frac{1}{5} right)}^{2}}}=frac{sqrt{26}}{5}$ .

Ví dụ 1.3: Cho số phức z = $frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i$ . Tính các số phức sau: $overline{z}$ ; z2; ( $overline{z}$ )3; 1 + z + z2

Lời giải:

Vì z = $frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i$ Þ $overline{z}$ = $frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i$

Ta có z2 = ${{left( frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i right)}^{2}}$ = $displaystyle frac{3}{4}+frac{1}{4}{{i}^{2}}-frac{sqrt{3}}{2}i$ = $frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i$

( $overline{z}$ )2 = ${{left( frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i right)}^{2}}=frac{3}{4}+frac{1}{4}{{i}^{2}}+frac{sqrt{3}}{2}i=frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$

( $overline{z}$ )3 =( $overline{z}$ )2 . $overline{z}$ = $left( frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i right)left( frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i right)=frac{sqrt{3}}{4}+frac{1}{2}i+frac{3}{4}i-frac{sqrt{3}}{4}=i$

Ta có: 1 + z + z2 = $1+frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i+frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i=frac{3+sqrt{3}}{2}-frac{1+sqrt{3}}{2}i$

Ví dụ 1.4: Tìm phần ảo của z biết: $displaystyle z+3overline{z}={{left( 2+i right)}^{3}}left( 2-i right),,(1)$

Lời giải:

Giả sử z = a+bi.

$displaystyle (1)Leftrightarrow a+bi+3a-3bi=left( 8+12i+6{{i}^{2}}+{{i}^{3}} right)left( 2-i right)=left( 2+11i right).left( 2-i right)$

$displaystyle Leftrightarrow 4a-2bi=4-2i+22i-11{{i}^{2}}=20i+15$ $displaystyle Leftrightarrow a=frac{15}{4};b=-10$ .

Vậy phần ảo của z bằng -10.

Ví dụ 1.5: Cho $displaystyle {{z}_{1}}=3+i,{{z}_{2}}=2-i$ . Tính $displaystyle left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} right|$

Lời giải:

$displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=3+i+left( 3+i right)left( 2-i right)=10=10+0i$ $displaystyle Rightarrow left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} right|=sqrt{{{10}^{2}}+{{0}^{2}}}=10$

Ví dụ 1.6: Cho $displaystyle {{z}_{1}}=2+3i,,,,{{z}_{2}}=1+i$ . Tính $displaystyle left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} right|$ ; $displaystyle left| frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} right|$ ; $displaystyle left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} right|$

Lời giải:

+) $displaystyle {{z}_{1}}+3{{z}_{2}}=2+3i+3+3i=5+6i$ $displaystyle Rightarrow$ $displaystyle left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} right|=sqrt{{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=sqrt{61}$

+) $displaystyle frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}}=frac{3+4i}{1+i}=frac{left( 3+4i right)left( 1-i right)}{1-{{i}^{2}}}=frac{7+i}{2}$ $displaystyle Rightarrow$ $displaystyle left| frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} right|=sqrt{frac{49}{4}+frac{1}{4}}=frac{5sqrt{2}}{2}$

+) $displaystyle {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}}=8+36i+54{{i}^{2}}+27{{i}^{3}}-3-3i=-49+6i$ $displaystyle Rightarrow$ $displaystyle left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} right|=sqrt{2437}$

Ví dụ 1.7 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017)

Cho $a,b,c$ là các số thực và $z=-frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}$ . Giá trị của $(a+bz+c{{z}^{2}})(a+b{{z}^{2}}+cz)$ bằng

A. $a+b+c$ . B. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$ .

C. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca$ . D. 0.

Lời giải:

Ta có $z=-frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}Rightarrow {{z}^{2}}=-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2}=overline{z}$ và ${{overline{z}}^{2}}=z,,,z+overline{z}=-1,,,z.overline{z}=,|z|,=1$ .

Khi đó $displaystyle (a+bz+c{{z}^{2}})(a+b{{z}^{2}}+cz)=(a+bz+coverline{z})(a+boverline{z}+cz)$

$={{a}^{2}}+aboverline{z}+acz+abz+{{b}^{2}}zoverline{z}+bc{{z}^{2}}+acoverline{z}+bc{{overline{z}}^{2}}+{{c}^{2}}zoverline{z}$

$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-ac-bc$

Chọn B.

Dạng 2. Tính ${{i}^{n}}$ và áp dụng

A. Phương pháp

– Nếu $n$ nguyên dương thì ${{i}^{4n}}=1;,,{{i}^{4n+1}}=i;,,{{i}^{4n+2}}=-1;,,{{i}^{4n+3}}=-i$ .
– Nếu $n$ nguyên âm thì ${{i}^{n}}={{left( {{i}^{-1}} right)}^{-n}}{{left( frac{1}{i} right)}^{-n}}={{(-i)}^{-n}}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính số phức $z={{(1+i)}^{15}}$

Lời giải:

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Ví dụ 2.2: Tính số phức z = $displaystyle {{left( frac{1+i}{1-i} right)}^{16}}+{{left( frac{1-i}{1+i} right)}^{8}}$

Lời giải:

Ta có: $frac{1+i}{1-i}=frac{(1+i)(1+i)}{2}=frac{2i}{2}=i$

$frac{1-i}{1+i}=-i$ . Vậy $displaystyle {{left( frac{1+i}{1-i} right)}^{16}}+{{left( frac{1-i}{1+i} right)}^{8}}$ =i16 +(-i)8 = 2.

Ví dụ 2.3: Tính $S=1+i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+...+{{i}^{2012}}$ .

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $S=1+i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+...+{{i}^{2012}}$ $Rightarrow iS=i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+{{i}^{4}}+...+{{i}^{2012}}+{{i}^{2013}}$ .

Suy ra $S-iS=1-{{i}^{2013}}Rightarrow S=frac{1-{{i}^{2013}}}{1-i}=frac{1-i}{1-i}=1$ .

Cách 2:

Dãy số $1;,i;,{{i}^{2}};,{{i}^{3}};,...;,{{i}^{2012}}$ lập thành một cấp số nhân gồm 2013 số hạng, có công bội là $i$ , số hạng đầu là 1.

Do đó $S=1+i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+...+{{i}^{2012}}=1.frac{1-{{i}^{2013}}}{1-i}=1$ .

Ví dụ 2.4: Cho số phức $z={{left( frac{1+i}{1-i} right)}^{2017}}$ . Tính ${{z}^{5}}+{{z}^{6}}+{{z}^{7}}+{{z}^{8}}$ .

A. $i$ . B. 1. C. 0. D. $-i$ .

Lời giải:

Ta có $frac{1+i}{1-i}=frac{{{(1+i)}^{2}}}{(1-i)(1+i)}=frac{1+2i+{{i}^{2}}}{1-{{i}^{2}}}=frac{2i}{2}=i$ .

$Rightarrow z={{i}^{2017}}={{i}^{4.504+1}}=i$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.5: Phần thực của số phức $z={{(1+i)}^{2012}}+{{(1-i)}^{2012}}$ có dạng $-{{2}^{a}}$ với $a$ bằng

A. 1007. B. 1006. C. 2012. D. 2013.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Phun môi có phải uống thuốc kháng sinh không? Chuyên gia giải đáp 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

$z={{(1+i)}^{2012}}+{{(1-i)}^{2012}}={{left[ {{(1+i)}^{2}} right]}^{1006}}+{{left[ {{(1-i)}^{2}} right]}^{1006}}$ $={{(2i)}^{1006}}+{{(-2i)}^{1006}}=-{{2}^{1007}}$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.6: Phần ảo của số phức ${{left( frac{1}{4}-frac{sqrt{3}}{4}i right)}^{2017}}$ bằng

A. $-frac{sqrt{3}}{{{2}^{2018}}}$ . B. $frac{1}{{{2}^{2018}}}$ . C. $frac{sqrt{3}}{{{2}^{2017}}}$ . D. 0.

Lời giải:

Ta có ${{left( frac{1}{4}-frac{sqrt{3}}{4}i right)}^{2017}}={{left( {{left( frac{1}{4}-frac{sqrt{3}}{4}i right)}^{3}} right)}^{672}}.left( frac{1}{4}-frac{sqrt{3}}{4}i right)$ $={{left( frac{-1}{8} right)}^{672}}.left( frac{1}{4}-frac{sqrt{3}}{4}i right)=frac{1}{{{2}^{2018}}}-frac{sqrt{3}}{{{2}^{2018}}}i$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.7 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Tính $S=1009+i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+...+2017{{i}^{2017}}$ .

A. $S=2017-1009i$ . B. $1009+2017i$ .

C. $2017+1009i$ . D. $1008+1009i$ .

Lời giải:

Ta có $S=1009+i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+...+2017{{i}^{2017}}$

$=1009+(4{{i}^{4}}+8{{i}^{8}}+...+2016{{i}^{2016}})+(i+5{{i}^{5}}+9{{i}^{9}}+...+2017{{i}^{2017}})+$

$+(2{{i}^{2}}+6{{i}^{6}}+10{{i}^{10}}+...+2014{{i}^{2014}})+(3{{i}^{3}}+7{{i}^{7}}+11{{i}^{11}}+...+2015{{i}^{2015}})$

$=1009+sumlimits_{n}^{504}{(4n)}+isumlimits_{n=1}^{505}{(4n-3)}-sumlimits_{n=1}^{504}{(4n-2)}-isumlimits_{n=1}^{504}{(4n-1)}$

$begin{array}{l}=1009+509040+509545i-508032-508536i\=2017+1009iend{array}$

Chọn C.

Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

A. Phương pháp

+ Gọi $z=a+bi,(a,bin mathbb{R})$ . Thay vào giả thiết ta được hệ hai phương trình hai ẩn $a,b$ .
+ Giải hệ phương trình để tìm $a,b$ .
+ Kết luận.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (THPT Chuyên KHTN – Hà Nội)

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2+3i)z-(1+2i)overline{z}=7-i$ . Tìm mô đun của $z$ .

A. $|z|,=sqrt{5}$ . B. $|z|,=1$ . C. $|z|,=sqrt{3}$ . D. $|z|,=2$ .

Lời giải:

Đặt $z=a+bi,,,a,bin mathbb{R}$ . Ta có:

$(2+3i)z-(1+2i)overline{z}=7-i$ $Leftrightarrow (2+3i)(a+bi)-(1+2i)(a-bi)=7-i$

$Leftrightarrow 2a-3b+(3a+2b)i-a-2b-(2a-b)i=7-i$

$Leftrightarrow a-5b+(a+3b)i=7-i$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a-5b=7\a+3b=-1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=2\b=-1end{array} right.$

Vậy $|z|,=sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=sqrt{5}$ .

Chọn A.

Ví dụ 3.2 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{z}^{2}}=,|z{{|}^{2}}+overline{z}$ .

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Lời giải:

Gọi $z=a+bi,(a,bin mathbb{R})$ .

Khi đó ${{z}^{2}}=,|z{{|}^{2}}+overline{z}Leftrightarrow {{(a+bi)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+a-bi$

$Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+a-bi-2abi=0$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2{{b}^{2}}+a=0\-b-2ab=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2{{b}^{2}}+a=0\b(1+2a)=0end{array} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}b=0,a=0\a=-frac{1}{2},b=pm frac{1}{2}end{array} right.$

Vậy có 3 số phức thỏa mãn đề bài là $z=0,,z=-frac{1}{2}+frac{1}{2}i,,z=-frac{1}{2}-frac{1}{2}i$ .

Chọn A.

Ví dụ 3.3 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời điều kiện $|z.overline{z}+z|,=2$ và $|z|,=2$ .

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải:

Giả sử $z=x+yi,,(x,yin mathbb{R})$ . Ta có:

$begin{array}{l}left{ begin{array}{l}left| z.overline{z}+z right|,=2\|z|,=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}|{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+yi|,=2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}|(4+x)+yi|,=2\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{(4+x)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4end{array} right.\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}8x+16=0\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=-2\y=0end{array} right.end{array}$

Vậy có đúng một số phức thỏa mãn đề bài. Chọn D.

Ví dụ 3.4: Tìm số phức $z$ thỏa mãn các điều kiện sau:

a) $left| frac{z-1}{z-i} right|=1$ và $left| frac{z-3i}{z+i} right|=1$ . b) $|z|,=,|z-2-2i|$ và $frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo.

Lời giải:

a) Gọi $z=a+bi,(a,bin mathbb{R})$ .

Ta có $left| frac{z-1}{z-i} right|=1Leftrightarrow left| frac{(a-1)+bi}{a+(b-1)i} right|=1Leftrightarrow left| (a-1)+bi right|,=,left| a+(b-1)i right|$

$Leftrightarrow sqrt{{{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}$ $Leftrightarrow {{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}$

$Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+1+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1$ $Leftrightarrow -2a=-2bLeftrightarrow a=b,,,,,,,,,(1)$

$left| frac{z-3i}{z+i} right|=1Leftrightarrow ,left| frac{a+(b-3)i}{a+(b+1)i} right|=1$ $Leftrightarrow |a+(b-3)i|,=,|a+(b+1)i|$

$Leftrightarrow sqrt{{{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}}Leftrightarrow {{(b-3)}^{2}}={{(b+1)}^{2}}$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}b-3=b+1\3-b=b+1end{array} right.Leftrightarrow b=1Rightarrow a=1$ .

b) $|z|,=,|z-2-2i|$ và $frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo.

Gọi $z=a+bi,(a,bin mathbb{R})$ .

Ta có $|z|,=,|z-2-2i|,Leftrightarrow ,|a+bi|,=,|(a-2)+(b-2)i|$

$Leftrightarrow sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=sqrt{{{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}$ $Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}$

$Leftrightarrow -4a+4-4b+4=0Leftrightarrow a+b=2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2)$

$displaystyle frac{z-2i}{z-2}=frac{a+(b-2)i}{(a-2)+bi}=frac{left[ a+(b-2)i right]left[ (a-2)-bi right]}{left[ (a-2)+bi right]left[ (a-2)-bi right]}$

$displaystyle =frac{a(a-2)+b(b-2)}{left[ (a-2)+bi right]left[ (a-2)-bi right]}+frac{left[ ab+(a-2)(b-2) right]i}{left[ (a-2)+bi right]left[ (a-2)-bi right]}$

$frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo $Leftrightarrow frac{a(a-2)+b(b-2)}{left[ (a-2)+bi right]left[ (a-2)-bi right]}=0$ $Leftrightarrow a(a-2)+b(b-2)=0$ (3)

Từ (2) suy ra $b=2-a$ thay vào (3) ta được:

$a(a-2)+(2-a)(2-a-2)=0$ $Leftrightarrow a(a-2)+a(a-2)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}a=0,,b=2\a=2,,b=0end{array} right.$

Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài là $z=2i,,z=2$ .

Dạng 4. Biểu diễn số phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức

A. Phương pháp

Giả sử $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi,,(x,yin mathbb{R})$ . Thay $z=x+yi$ , từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa $x$ và $y$ .

Các dạng quỹ tích thường gặp:

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1 (Đề minh họa 2017 Lần 1)

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1+i)z=3-i$ . Hỏi điểm biểu diễn

của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình bên?

A. Điểm M. B. Điểm N.

C. Điểm P. D. Điểm Q.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi,(x,yin mathbb{R})$ . Khi đó

$(1+i)z=3-iLeftrightarrow (x-y-3)+(x+y+1)i=0$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x-y-3=0\x+y+1=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=1\y=-2end{array} right.Rightarrow Q(1;-2)$

Chọn D.

Ví dụ 4.2 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z$ thỏa mãn $iz=1+2i-frac{1+7i}{1-3i}$ . Xác định điểm A biểu diễn số phức liên hợp $overline{z}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tiêu chuẩn xây tường gạch đúng kỹ thuật, chất lượng trong xây dựng 2022 | Mytranshop.com

A. $A(-1;3)$ . B. $A(-1;-3)$ . C. $A(1;-3)$ . D. $A(1;3)$ .

Lời giải:

Ta có $iz=1+2i-frac{1+7i}{1-3i}Leftrightarrow iz=1+2i-(-2+i)$

$Leftrightarrow iz=3+iLeftrightarrow z=frac{3+i}{i}=1-3iRightarrow overline{z}=1+3i$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4.3 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z=m+(m-3)i,,,min mathbb{R}$ . Tìm $m$ để điểm biểu diễn của số phức $z$ nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

A. $m=frac{3}{2}$ . B. $m=frac{1}{2}$ . C. $m=frac{2}{3}$ . D. $m=0$ .

Lời giải:

$z=m+(m-3)iRightarrow M(m;m-3)in d:,y=-xLeftrightarrow m=frac{3}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 4.4: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $H$ và $A,B,C,D,H$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức $a,b,c,d,h$ . Biết $a=-2+i,,h=1+3i$ và số phức $b$ có phần ảo dương. Khi đó, mô đun của số phức $b$ là

A. $sqrt{13}$ . B. $sqrt{10}$ . C. $sqrt{26}$ . D. $sqrt{37}$ .

Lời giải:

Do $ABCD$ là hình vuông và có tâm $H$ nên ta có $HBbot AH,,HB=AH$ .

Do điểm $A$ biểu diễn số phức $a=-2+iRightarrow A(-2;1)$ , điểm $H$ biểu diễn số phức $h=1+3iRightarrow H(1;3)$

Đường thẳng $BH$ nhận $overrightarrow{AH}(3;2)$ làm VTPT nên có phương trình là

$3(x-1)+2(y-3)=0Leftrightarrow 3x+2y-9=0$ .

Do $Bin BHRightarrow Bleft( frac{9-2m}{3};m right),,m>0$ .

Ta có:

$A{{H}^{2}}=B{{H}^{2}}Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{2}^{2}}={{left( frac{9-2m}{3}-1 right)}^{2}}+{{(m-3)}^{2}}$

$Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-78m=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=0\m=6end{array} right.Rightarrow m=6$ .

Vậy $b=-1+6iRightarrow |b|=sqrt{37}$ .

Chọn D.

Ví dụ 4.5 (THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước)

Cho $zin mathbb{C}$ thỏa mãn $(2+i)|z|,=frac{sqrt{10}}{z}+1-2i$ . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $displaystyle text{w}=(3-4i)z-1+2i$ là đường tròn $I$ , bán kính $R$ . Khi đó:

A. $I(-1;-2),,R=sqrt{5}$ . B. $I(1;2),,R=sqrt{5}$ .

C. $I(-1;2),,R=5$ . D. $I(1;-2),,R=5$ .

Lời giải:

Giả sử $z=a+bi$ và $|z|,=c>0$ với $a,b,cin mathbb{R}$ .

Lại có $displaystyle text{w}=(3-4i)z-1+2iLeftrightarrow z=frac{text{w}+1-2i}{3-4i}$ .

Gọi $text{w}=x+yi,(x,yin mathbb{R})$ . Khi đó:

$|z|,=cRightarrow left| frac{text{w}+1-2i}{3-4i} right|,=cLeftrightarrow frac{|text{w}+1-2i|}{|3-4i|}=c$ $Leftrightarrow ,|x+yi+1-2i|,=5c$

$Leftrightarrow sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}}=5cLeftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=25{{c}^{2}}$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $displaystyle text{w}$ là đường tròn $I(-1;2)$ .

Khi đó chỉ có chọn C là có khả năng đúng và theo đó $R=5Rightarrow 5c=5Rightarrow c=1$ .

Thử $c=1$ vào phương trình thì thỏa mãn.

Chọn C.

Ví dụ 4.6 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z$ thỏa mãn $|iz-2i|,=,|1-2i|$ . Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là một đường tròn. Hãy xác định tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó.

A. $I(0;2)$ . B. $I(0;-2)$ . C. $I(-2;0)$ . D. $I(2;0)$ .

Lời giải:

Giả sử $z=x+yi,(x,yin mathbb{R})$ , suy ra $M(x;y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$ .

Ta có $|iz-2i|,=,|1-2i|Leftrightarrow ,|i(x+iy)-2i|,=,|1-2i|,$

$Leftrightarrow |-y+(x-2)i|,=,|1-2i|$

$Leftrightarrow sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}}=sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=5$

Chọn D.

Ví dụ 4.7 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Tìm tập hợp các điểm $M$ biểu diễn hình học số phức $z$ trong mặt phẳng phức, biết số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z+4|+|z-4|,=10$ .

A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm $O(0;0)$ và có bán kính $R=4$ .

B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình $frac{{{x}^{2}}}{9}+frac{{{y}^{2}}}{25}=1$ .

C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm $M(x;y)$ trong mặt phẳng $Oxy$ thỏa mãn phương trình $sqrt{{{(x+4)}^{2}}+{{y}^{2}}}+sqrt{{{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}}}=12$ .

D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình là $frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ .

Lời giải:

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+yi$ .

Gọi $A(4;0)$ là điểm biểu diễn số phức $z=4$ .

Gọi $B(-4;0)$ là điểm biểu diễn số phức $z=-4$ .

Khi đó $|z+4|+|z-4|,=10Leftrightarrow MA+MB=10,,,(*)$ .

Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm $M$ là elip nhận $A,B$ là các tiêu điểm.

Gọi phương trình của elip là $frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,,(a>b>0,,{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}})$ .

Từ (*) ta có $2a=10Leftrightarrow a=5$ .

$AB=2cLeftrightarrow 8=2cLeftrightarrow c=4Rightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=9$ .

Quỹ tích các điểm $M$ là $frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ .

Chọn D.

Ví dụ 4.8: Cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z|,=4$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $displaystyle text{w}=(3+4i)z+i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Hướng dẫn nhảy dây đúng cách để tránh mất thời gian và công sức 2022 | Mytranshop.com

A. $r=4$ . B. $r=5$ . C. $r=20$ . D. $r=22$ .

Lời giải:

Gọi $displaystyle text{w}=a+bi,,(a,bin mathbb{R})$ . Ta có:

$displaystyle text{w}=a+bi=(3+4i)z+i$ $displaystyle Leftrightarrow z=frac{a+(b-1)i}{3+4i}=frac{left[ a+(b-1)i right](3-4i)}{9-16{{i}^{2}}}$

$=frac{3a+4b-4}{25}+frac{(3b-4a-3)}{25}.i$ $Rightarrow |z|,=,frac{sqrt{{{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(3b-4a-3)}^{2}}}}{25}$ .

Mà $|z|,=4$ nên ${{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(3b-4a-3)}^{2}}={{100}^{2}}Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b=399$ .

Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $displaystyle text{w}=(3+4i)z+i$ là một đường tròn nên ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b=399Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=400Rightarrow r=sqrt{400}=20$ .

Chọn C.

Dạng 5. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 5.1 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z$ thỏa mãn $|iz+4-3i|,=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$ .

A. 6. B. 4. C. 3. D. 5.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $1=,|z-(3+4i)|,ge |3+4i|,-|z|=5-|z|Leftrightarrow |z|ge 5-1=4$ .

Chọn B.

Cách 2:

Giả sử $z=x+yi,,(x,yin mathbb{R})$ .

Ta có $|iz+4-3i|,=1Leftrightarrow ,|i(x+yi)+4-3i|,=1$ $Leftrightarrow ,|(4-y)+(x-3)i|,=1$

$Leftrightarrow sqrt{{{(4-y)}^{2}}+{{(x-3)}^{2}}}=1Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$

Ta có $OI=sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$ .

Suy ra tập hợp các điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức

$z$ đã cho là đường tròn tâm $I(3;4)$ và có bán kính $R=1$ .

$|z|$ nhỏ nhất $Leftrightarrow OM$ nhỏ nhất (tức là $M$ gần $O$ nhất).

$Leftrightarrow Mequiv {{M}_{1}}Rightarrow |z{{|}_{min }},=O{{M}_{1}}=OI-I{{M}_{1}}=4$ .

Hỏi thêm: Tìm $max |z|$ .

$|z|$ lớn nhất $Leftrightarrow OM$ lớn nhất (tức là $M$ xa $O$ nhất) $Leftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}Rightarrow |z{{|}_{max }},=O{{M}_{2}}=OI+I{{M}_{2}}=6$ .

Ví dụ 5.2 (THPT Hà Huy Tập – Nghệ An) Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|,=,|z-i|$ . Tìm mô đun nhỏ nhỏ nhất của số phức $displaystyle text{w}=2z+2-i$ .

A. $frac{3}{2sqrt{2}}$ . B. $3sqrt{2}$ . C. $frac{3sqrt{2}}{2}$ . D. $frac{3}{2}$ .

Lời giải:

Giả sử $z=a+bi,,(a,bin mathbb{R}),Rightarrow overline{z}=a-bi$ . Khi đó: $|z-1|,=,|z-i|Leftrightarrow |a-1+bi|,=,|a+(b-1)i|$

$Leftrightarrow {{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}Leftrightarrow a-b=0$ .

$displaystyle text{w}=2z+2-i=2(a+ai)+2-i=(2a+2)+i(a-1)$

$displaystyle Rightarrow |text{w}|,=sqrt{{{(2a+2)}^{2}}+{{(2a-1)}^{2}}}=sqrt{8{{a}^{2}}+4a+5}ge frac{3sqrt{2}}{2}$

Chọn C.

Ví dụ 5.3 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức $z$ , tìm giá trị lớn nhất của $|z|$ biết rằng $z$ thỏa mãn điều kiện $left| frac{-2-3i}{3-2i}z+1 right|=1$ .

A. 3. B. $sqrt{2}$ . C. $2$ . D. 1.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi,(x,yin mathbb{R})$ . Ta có $left| frac{-2-3i}{3-2i}z+1 right|,=1Leftrightarrow |-iz+1|,=1$ $Leftrightarrow |z+i|,=1Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=1$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(0;-1)$ , bán kính $R=1$ .

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$ , ta có $IM=1$ .

Ta có $|z|,=OMle OI+IMle 2$ .

Chọn C.

Ví dụ 5.4: Cho số phức $z=a+bi,(a,bin mathbb{R})$ . Biết tập hợp các điểm $A$ biểu diễn hình học số phức $z$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;3)$ và có bán kính $R=3$ . Đặt $M$ là giá trị lớn nhất, $m$ là giá trị nhỏ nhất của $F=4a+3b-1$ . Tính giá trị của $M+m$ .

A. $M+m=63$ . B. $M+m=48$ . C. $M+m=50$ . D. $M+m=41$ .

Lời giải:

Cách 1:

Phương trình đường tròn $(C):,,{{(x-4)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=9$ .

Do điểm $A$ nằm trên đường tròn $(C)$ nên ta có ${{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=9$ .

Mặt khác $F=4a+3b-1=4(a-4)+3(b-3)+24$ .

$F-24=4(a-4)+3(b-3)$ .

Ta có ${{left[ 4(a-4)+3(b-3) right]}^{2}}le ({{4}^{2}}+{{3}^{2}})left[ {{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}} right]=25.9=225$ .

$Rightarrow -15le 4(a-4)+3(b-3)le 15Leftrightarrow -15le F-24le 15Leftrightarrow 9le Fle 39$ .

Khi đó $M=39,,m=9$ .

Vậy $M+m=48$ .

Chọn B.

Cách 2:

Ta có $F=4a+3b-1Rightarrow a=frac{F+1-3b}{4}$ .

${{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=9$ $Rightarrow {{left( frac{F+1-3b}{4}-4 right)}^{2}}+{{b}^{2}}-6b+9=9$

$Leftrightarrow 25{{b}^{2}}-2(3F+3)+{{F}^{2}}+225=0$

$Delta '={{(3F+3)}^{2}}-25{{F}^{2}}-5625$

$Delta 'ge 0Leftrightarrow -16{{F}^{2}}+18F-5625ge 0Leftrightarrow 9le Fle 39$

Ví dụ 5.5 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| {{z}^{2}}-2z+5 right|,=left| (z-1+2i)(z+3i-1) right|$ . Tính $displaystyle min |text{w }!!|!!text{ }$ với $displaystyle text{w}=z-2+2i$ .

A. $displaystyle min |text{w }!!|!!text{ },=frac{3}{2}$ . B. $displaystyle min |text{w }!!|!!text{ },=2$ . C. $displaystyle min |text{w }!!|!!text{ },=1$ . D. $displaystyle min |text{w }!!|!!text{ },=frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Ta có ${{z}^{2}}-2z+5={{(z-1)}^{2}}+4={{(z-1)}^{2}}-{{(2i)}^{2}}$ $=(z-1+2i)(z-1-2i)$ .

Khi đó, giả thiết $Leftrightarrow ,|(z-1+2i)(z-1-2i)|,=,|(z-1+2i)(z+3i-1)|$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z=1-2i\|z-1-2i|,=,|z+3i-1|end{array} right.$ .

Với $z=1-2i$ ta có $displaystyle text{w}=z-2+2i=1-2i-2+2i=-1Rightarrow ,|text{w}|,=1$ .
Với $|z-1-2i|,=,|z+3i-1|,,,,,(*)$ , đặt $z=x+yi,(x,yin mathbb{R})$ , ta có

$(*)Leftrightarrow ,|x-1+(y-2)i|,=,|x-1+(y+3)i|,$

$Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}Leftrightarrow y=-frac{1}{2}$

Do đó $displaystyle text{w}=z-2+2i=x-frac{1}{2}i+2i=x-2+frac{3}{2}i,$ $displaystyle Rightarrow ,|text{w}|,=sqrt{{{(x-2)}^{2}}+frac{9}{4}}ge frac{3}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 5.6: Trong các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z-2-4i|,=,|z-2i|$ . Biết rằng số phức $z=x+yi,(x,yin mathbb{R})$ có mô đun nhỏ nhất. Tính $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ .