I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Công thức tính thể tích khối chóp
Trong đó: B là diện tích của đáy.
h là chiều cao của khối chóp.
Chú ý: Các công thức tính diện tích đáy
Dạng 1. Khối chóp cho trước chiều cao
Phương pháp:
-
+ Cạnh bên vuông góc với đáy ⇒ Chiều cao chính là cạnh bên đó.
-
+ Chóp cho biết hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy ⇒ Chiều cao chính là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến điểm đó.
-
+ Chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy ⇒ Chiều cao chính là giao tuyến của hai mặt bên đó.
Ví dụ 1.1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy một góc 450. Thể tích khối chóp là
A. B. C. D.
Lời giải:
Ta có:
Thể tích khối chóp là
Chọn C.
Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An)
Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau, . Tính thể tích V của khối tứ diện theo .
A. B. C. D.
Lời giải:
Theo giả thiết
Thể tích khối tứ diện là
.
Chọn B.
Ví dụ 1.3: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vuông tại B. Biết và hợp với đáy một góc với . Tính thể tích khối chóp.
A. B. C. D.
Lời giải:
Vì hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC) là AC
nên
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC
có:
Diện tích tam giác ABC là:
Ta có
Thể tích khối chóp là . Chọn B.
Ví dụ 1.4 (Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định)
Cho hình chóp có tam giác vuông tại tam giác đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng trùng với trung điểm M của AC. Tính thể tích khối chóp .
A. B. C. D.
Lời giải:
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác có:
Tam giác đều nên
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác có:
Thể tích khối chóp là
.
Chọn D.
Ví dụ 1.5 (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc 2017 Lần 1)
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy ; góc giữa SB và mặt bằng . Tính thể tích khối chóp .
A. B. C. D.
Lời giải:
Theo giả thiết có:
Thể tích khối chóp là
Chọn C.
Ví dụ 1.6: Cho hình chóp có đáy là hình thoi; hai đường chéo và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối chóp theo a.
A. B. C. D.
Lời giải:
Vì là hình thoi nên .
vuông tại O có:
đều.
Ta có
Gọi H là trung điểm của AB.
đều nên và .
Kẻ là trung điểm của AB
và .
Kẻ , mà , hay .
vuông tại O có: .
.
Thể tích khối chóp là . Chọn A.
Dạng 2. Khối chóp có một mặt vuông góc với đáy
Phương pháp:
Để xác định đường cao của hình chóp ta vận dụng định lí sau:
⇒ Kẻ đường cao SH của mặt bên đó ⇒ SH là đường cao của hình chóp.
Lưu ý khi vẽ hình: Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 2.1 (THPT Nguyễn Văn Thoại – An Giang 2017)
Cho hình chóp , có đáy là tam giác vuông cân tại C, đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp theo a.
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB.
Tam giác đều nên .
Mà nên .
SH là đường cao của tam giác đều
.
vuông cân tại C nên ta có:
Thể tích khối chóp là .
Chọn B.
Ví dụ 2.2 (THPT Tân Yên 1 – Bắc Giang 2017)
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, Tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .
A. B. C. D.
Lời giải:
Do cân tại nên hình chiếu của trên
mặt phằng là trung điểm của cạnh .
Ta có:
Thể tích khối chóp là
.
Chọn C.
Ví dụ 2.3: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật . Tam giác nằm trong mặt phẳng vuông góc với Tính thể tích của khối chóp .
A. B. C. D.
Lời giải:
Dựng , do
Ta có, do vuông tại H:
và
Vậy
Đáp án C
Ví dụ 2.4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng . Gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. B. C. D.
Lời giải:
Dựng , mặt khác .
Do đó .
Ta có: .
.
Do vậy
.Chọn C
Dạng 3. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau – Khối chóp đều
Phương pháp:
-
+ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau, chân đường cao ≡ tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
-
+ Tứ diện đều: là hình có 4 mặt là tam giác đều (khác với hình chóp tam giác đều).
-
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau ⇒ chân đường cao ≡ tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Ví dụ 3.1: Thể tích tứ diện đều cạnh 2a là
A. B. C. D.
Lời giải:
Thể tích tứ diện đều cạnh a có công thức nhanh .
Thể tích tứ diện đều cạnh 2a là (đvtt). Chọn B.
Ví dụ 3.2: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là
A. B. C. D.
Lời giải:
Thể tích của khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a có thể tích là V1 =
Mà thể tích của khối bát diện đều bằng 2V1. Do đó thể tích khối bát diện đều là V = .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3.3: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thế tích của khối chóp đó là?
A. m3 B. m3
C. m3 D. m3
Lời giải:
Thể tích của kim tự tháp Kê – ốp là
Ví dụ 3.4: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1.
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọi O là tâm của ABCD, ta có
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3.5: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc . Thể tích của khối chóp đó bằng:
A. B. C. D.
Lời giải:
. Chọn đáp án A.
Ví dụ 3.6 (Chuyên KHTN Hà Nội 2017 Lần 1)
Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a, các mặt bên tạo với đáy một góc α. Thể tích của khối chóp đó là
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
là hình vuông nên
Gọi . Do là chóp tứ giác
đều nên vuông tại O
Thể tích khối chóp là
Chọn D.
Ví dụ 3.7 (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam)
Một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng và diện tích xung quanh bằng . Tính diện tích của mặt đáy hình chóp.
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Do là hình chóp tứ giác đều nên:
.
Trong có:
.
Vì là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau. Do đó diện tích xung quanh của hình chóp là
Mà nên .
Vậy diện tích của đáy là . Chọn C.
Ví dụ 3.8 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị 2017 Lần 2)
Cho khối chóp với là hình chữ nhật và các cạnh bên bằng nhau. Góc giữa các mặt phẳng và mặt phẳng đáy lần lượt là và , biết chiều cao của hình chóp là . Tính thể tích của khối chóp đó.
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọi lần lượt là trung điểm của
Khi đó:
Độ dài các cạnh của đáy là
Thể tích của khối chóp là . Chọn A.
Ví dụ 3.9 (THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc 2017 Lần 3)
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại . Biết , tính thể tích khối chóp .
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AC.
Do là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
và vuông cân tại B nên .
Ta có .
Thể tích khối chóp là
. Chọn B.
Ví dụ 3.10: Cho hình chóp tứ giác đều có , SA = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD.
Tính thể tích của tứ diện AMNP.
A. B. C. . D.
Lời giải:
Chọn B.
Ta có .
Dễ thấy
Ta có .
Ví dụ 3.11 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 2)
Khối chóp có đáy là hình thoi cạnh . Thể tích lớn nhất của khối chóp là
A. B. C. D.
Lời giải:
Do nên hình chiếu của đỉnh S
là giao điểm H của AC và BD.
Đặt thì .
Diện tích tam giác là
Theo định lí hàm số sin có:
Ta có
Do đó . Chọn C.
Dạng 4. Tỉ số thể tích
Phương pháp:
Cho hình chóp S.ABC, gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm thuộc SA, SB, SC. Khi đó:
(Công thức này chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác)
Ví dụ 4.1 (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi)
Cho khối tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và . Gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh . Thể tích của khối tứ diện tính theo a bằng
A. B. C. D.
Lời giải:
Ta có
Chọn D.
Ví dụ 4.2 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội)
Cho khối chóp có thể tích bằng 16. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Tính thể tích khối tứ diện .
A. B. C. D.
Lời giải:
Ta có
Do M là trung điểm của SA nên
Chọn A.
Ví dụ 4.3 (Đề minh họa lần 1 năm 2017)
Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc với nhau; Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tính thể tích của tứ diện .
A. B. C. D.
Lời giải:
Ta có
(vì chúng có chung chiều cao kẻ từ đỉnh A)
Lại có .
Dễ thấy được tạo nên bởi các đường
Trung bình của nên
. Chọn D.
Ví dụ 4.4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên SA hợp với đáy một góc 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E. Tính thể tích khối chóp S.AMEN.
A. B. C. D.
Lời giải:
Ta có
Từ O kẻ OK // AE (K ∈ SC).
O là trung điểm của AC và OK // AE
⇒ K là trung điểm của EC.
Tương tự E là trung điểm của SK.
(đvtt). Chọn B.
Ví dụ 4.5 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An 2017 Lần 3)
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của . Mặt phẳng chứa cắt tại . Đặt , là thể tích của khối chóp , là thể tích của khối chóp . Tìm để .
A. B. C. D.
Lời giải:
Do nên để đồngphẳng thì . Do đó .
Ta có:
.
Theo giả thiết
. Chọn D.
Dạng 5. Khối chóp khác:
Ví dụ 5.1: Cho tứ diện có các cạnh tạo với nhau một góc . Biết . Thể tích khối chóp là
A. B. C. D.
Lời giải:
Lấy 3 điểm lần lượt thuộc các đoạn
sao cho .
Suy ra là tứ diện đều có
độ dài các cạnh bằng a.
.
Lại có:
. Chọn C.
Cách 2 (Phương pháp trắc nghiệm):
Sử dụng công thức giải nhanh:
Cho hình chóp có . Khi đó thể tích khối chóp có công thức là
Áp dụng công thức trên ta được:
.
Ví dụ 5.2: Cho hình chóp có . Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng .
A. B. C. D.
Lời giải:
Kẻ
Ta có
Tương tự có
Dễ thấy
Do đó là phân giác của góc .
Trong có
Trong có .
Thể tích khối chóp là .
Mặt khác .
Chọn D.
Ví dụ 5.3: Cho hình chóp có cạnh đáy và các mặt bên tạo với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .
A. B. C. D.
Lời giải:
Kẻ .
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của
O lên .
Khi đó theo định lí ba đường vuông góc
suy ra .
.
là tâm đường tròn nội tiếp.
Do cân tại A nên vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến thẳng hàng.
Gọi lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp .
Ta có
Mặt khác
Do đó
Vậy . Chọn B.
Nhận xét: Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Ví dụ 5.4: Cho tứ diện có thể tích bằng 12 và là trọng tâm tam giác . Tính thể tích của khối chóp .
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Cách 1:
Phân tích: tứ diện và khối chóp có cùng đường cao là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Do là trọng tâm tam giác nên ta có (xem phần chứng minh).
Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có:
.
Chứng minh: Đặt .
Từ hình vẽ có:
+) .
+)
+) .
+) Chứng minh tương tự có .
Cách 2:
.
Nên
Chọn B.
II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
.
trong đó là chiều cao, là diện tích đáy.
-
– Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
⇒ Độ dài cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ. Các mặt bên là hình chữ nhật.
-
– Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
-
– Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
-
– Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
-
– Hình hộp chữ nhật: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
với là ba kích thước.
-
– Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có tất cả các mặt đều là hình vuông.
với a là độ dài cạnh.
Dạng 1. Thể tích khối lăng trụ đứng
Ví dụ 1.1 (Đề minh họa 2017 Lần 3) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Thể tích khối lăng trụ đều là .
Chọn D.
Ví dụ 1.2 (Đề minh họa 2017 Lần 1) Tính thể tích của khối lập phương , biết .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Do là hình lập phương nên
vuông tại A.
Thể tích khối lập phương là
Chọn A.
Ví dụ 1.3: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Mặt phẳng tạo với mặt đáy một góc . Tính theo a thể tích lăng trụ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Vì là lăng trụ đứng nên .
Gọi I là trung điểm của , do đều
nên .
Theo định lí ba đường vuông góc suy ra .
.
là đường cao trong tam giác đều nên
.
Thể tích lăng trụ là .
Chọn D.
Ví dụ 1.4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích hình hộp theo .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh .
.
Đặt . Áp dụng hệ thức về cạnh
và đường cao trong tam giác có:
.
Chọn C.
Ví dụ 1.5 (THPT Quảng xương 1 – Thanh Hóa 2017 Lần 3)
Cho lăng trụ đứng có . Giả sử D là trung điểm của và . Thể tích của khối lằng trụ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Áp dụng định lí cosin trong có:
Đặt thì
Do vuông tại D nên
Vậy . Chọn B.
Ví dụ 1.6 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017 Lần 3)
Cho lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Các đường chéo và lần lượt tạo với đáy các góc và . Biết chiều cao của lăng trụ là và . Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có:
Đặt . Áp dụng định lí cosin cho các
tam giác và ta được:
.
Chọn A.
Ví dụ 1.7: Một người thợ nhôm kính nhận được đơn đặt hàng làm một bể cá cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (như hình vẽ) có thể tích m3 ; tỉ số giữa chiều cao của bể cá và chiều rộng của đáy bể bằng 2. Biết giá một một mét vuông kính để làm thành và đáy của bể cá là đồng. Hỏi người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu tiền để mua đủ số mét vuông kính làm bể cả theo yêu cầu (coi độ dày của kính là không đáng kể so với kích thước của bể cá).
A. 9,6 triệu đồng. B. 10,8 triệu đồng.
C. 8,4 triệu đồng. D. 7,2 triệu đồng.
Lời giải:
Giả sử là chiều dài và chiều rộng của đáy.
Theo giả thiết có và .
.
Tổng diện tích 5 mặt của bể cá là
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tổng diện tích tối thiểu là 12m2, suy ra số tiền tối thiểu cần là 9,6 triệu.
Dạng 2. Thể tích khối lăng trụ xiên
Ví dụ 2.1: Cho khối lăng trụ có thể tích là . Gọi là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng . Thể tích khối chóp bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có .
Ví dụ 2.2: Cho hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng , đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích của khối hộp đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Gọi .
Theo giả thiết, ta có .
Ta có : .
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2.3 (Việt Trì – Phú Thọ Lần 1)
Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa hai đường hai đường thẳng và bằng . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Gọi là trung điểm của .
là trọng tâm của .
Theo giả thiết .
Ta có .
Kẻ là đường vuông góc chung của
và .
là đường cao của đều cạnh
.
Thể tích khối lăng trụ là .
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2.4: Cho lăng trụ xiên có đáy là tam giác đều cạnh , biết cạnh bên là và hợp với đáy một góc . Tính thể tích lăng trụ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Kẻ là hình chiếu của trên .
.
có .
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.5: Cho hình hộp có đáy là hình chữ nhật với . Hai mặt bên và lần lượt tạo với đáy những góc và . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
A. 3. B. . C. . D. .
Lời giải:
Kẻ .
Kẻ .
.
Đặt . Khi đó
.
.
Mà .
Nghĩa là .
Vậy .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.6 (THPT Nguyễn Khuyến – TP HCM 2017) Cho lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh . Biết và tạo với mặt đáy một góc . Thể tích khối đa diện bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Gọi là hình chiếu của lên măt phẳng .
vuông cân tại .
.
Ta thấy
.
Chọn đáp án D.