1.Phương pháp
Các bước tính tích phân từng phần:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng .
+ Bước 2: Đặt (chọn là một nguyên hàm của).
+ Bước 3: Khi đó .
Thứ tự ưu tiên đặt u: Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.
2. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1 (THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4)
Với các số nguyên thỏa mãn . Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đặt
Vậy .
Chọn C.
Ví dụ 2 (THPT Phù Cừ – Hưng Yên 2017 Lần 2)
Cho và . Tính .
A. . B. . C.. D. .
Lời giải:
Đặt .
Ta có .
Chọn B.
Ví dụ 3: Kết quả của tích phân được viết ở dạng với là các số nguyên. Khi đó nhận giá trị nào sau đây?
A. . B. 3. C. 1. D. 5.
Lời giải:
Đặt .
.
Xét
.
Chọn D.
Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính tích phân là hàm logarit thì ta cũng sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt chính là hàm logarit đó và .
Ví dụ 4 (Sở GD Bình Thuận 2017) Cho là một nguyên hàm của . Biết và . Tính .
A. 10. B. 11. C. 9. D. 8.
Lời giải:
Đặt .
.
Đặt
.
Chọn D.
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
a) . b) .
Lời giải:
a) Đặt
.
Xét .
Đặt
b)
Đặt .
.
Xét , đặt .
.
.