Tích phân- Phương pháp tích phân từng phần, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

 

1.Phương pháp

Các bước tính tích phân từng phần:

+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng I=int_{a}^{b}{f(x).g(x)dx}.

+ Bước 2: Đặt left{ begin{array}{l}u=f(x)\dv=g(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=f'(x)dx\v=int{g(x)dx}end{array} right. (chọn v là một nguyên hàm củag(x)).

+ Bước 3: Khi đó I=int_{a}^{b}{udv}=uv|_{a}^{b}-int_{a}^{b}{vdu}.

   Thứ tự ưu tiên đặt u: Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4)

Với các số nguyên a,b thỏa mãn int_{1}^{2}{(2x+1)ln xdx}=a+frac{3}{2}+ln b. Tính tổng P=a+b.

    A. P=27.                    B. P=28.                        C. P=60.                     D. P=61.

Lời giải:

Đặt left{ begin{array}{l}u=ln x\dv=(2x+1)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{1}{x}dx\v={{x}^{2}}+xend{array} right.

    int_{1}^{2}{(2x+1)ln xdx}=({{x}^{2}}+x)ln x|_{1}^{2}-int_{1}^{2}{({{x}^{2}}+x).frac{1}{x}dx}

                                  =6ln 2-int_{1}^{2}{(x+1)dx}=6ln 2-left. left( frac{{{x}^{2}}}{2}+x right) right|_{1}^{2}
                                  =6ln 2-(4-frac{3}{2})=-4+frac{3}{2}+ln 64

Vậy P=a+b=-4+64=60.

Chọn C.

Ví dụ 2 (THPT Phù Cừ – Hưng Yên 2017 Lần 2)

Cho int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=5 và f(0)=1. Tính I=int_{0}^{2}{f(x)dx}.

    A. I=3.                      B. I=-3.                         C.I=-7.                       D. I=7.

Lời giải:

Đặt left{ begin{array}{l}u=x-2\dv=f'(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v=f(x)end{array} right..

Ta có 5=int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=(x-2)f(x)|_{0}^{2}-int_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(1)-I=2-IRightarrow I=-3.

Chọn B.

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân I=int_{2}^{3}{ln ({{x}^{2}}-x)dx} được viết ở dạng I=aln 3-b với a,b là các số nguyên. Khi đó a-b nhận giá trị nào sau đây?

    A. -2.                          B. 3.                                  C. 1.                                 D. 5.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Tập plank có giảm mỡ bụng không? 8 bài tập pank hiệu quả nhanh 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Đặt left{ begin{array}{l}u=ln ({{x}^{2}}-x)\dv=dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{2x-1}{{{x}^{2}}-x}dx\v=xend{array} right..

     Rightarrow I=x.ln ({{x}^{2}}-x)|_{2}^{3}-int_{2}^{3}{frac{2x-1}{x-1}dx}=3ln 16-2ln 2-{{I}_{1}}.

Xét {{I}_{1}}=int_{2}^{3}{frac{2x-1}{x-1}dx}=int_{2}^{3}{left( 2+frac{1}{x-1} right)dx}=(2x+ln |x-1|)|_{2}^{3}=2+ln 2

     Rightarrow I=3ln 3-2Rightarrow a=3;,b=-2.

Chọn D.

Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính tích phân là hàm logarit thì ta cũng sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt u chính là hàm logarit đó và dv=dx.

Ví dụ 4 (Sở GD Bình Thuận 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết F(3)=3 và int_{-1}^{2}{F(x+1)dx}=1. Tính I=int_{0}^{3}{xf(x)dx}.

    A. 10.                           B. 11.                              C. 9.                                   D. 8.

Lời giải:

Đặt t=x+1Rightarrow dt=dx.

        Rightarrow int_{-1}^{2}{F(x+1)dx}=int_{0}^{3}{F(t)dt}Rightarrow int_{0}^{3}{F(x)dx}=1.

Đặt left{ begin{array}{l}u=x\dv=f(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v=F(x)end{array} right.

        Rightarrow I=int_{0}^{1}{xf(x)dx}=xF(x)|_{0}^{3}-int_{0}^{3}{F(x)dx}=3F(3)-1=8.

Chọn D.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:

    a) I=int_{0}^{1}{{{e}^{x}}sin xdx}.                                        b) I=int_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}.

Lời giải:

    a) Đặt left{ begin{array}{l}{{e}^{x}}=u\sin xdx=dvend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}{{e}^{x}}dx=du\-cos x=vend{array} right.

    Rightarrow I=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+int_{0}^{1}{cos x.{{e}^{x}}dx}=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+{{I}_{1}}.

    Xét {{I}_{1}}=int_{0}^{1}{{{e}^{x}}.cos xdx}.

    Đặt left{ begin{array}{l}u={{e}^{x}}\dv=cos xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\v=sin xend{array} right.

    Rightarrow {{I}_{1}}=({{e}^{x}}sin x)|_{0}^{1}-int_{0}^{1}{{{e}^{x}}sin xdx}={{e}^{x}}sin x|_{0}^{1}-I

    Rightarrow I=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+{{e}^{x}}sin x|_{0}^{1}-IRightarrow 2I=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+{{e}^{x}}sin x|_{0}^{1}

    Rightarrow I=frac{1-e(sin 1-cos 1)}{2}

    b) I=int_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}

    Đặt left{ begin{array}{l}u={{x}^{2}}\dv={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=2xdx\v={{e}^{x}}end{array} right..

    Rightarrow I=({{x}^{2}}{{e}^{x}})|_{0}^{1}-2int_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=({{x}^{2}}{{e}^{x}})|_{0}^{1}-2{{I}_{1}}.

    Xét {{I}_{1}}=int_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}, đặt left{ begin{array}{l}u=x\dv={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v={{e}^{x}}end{array} right..

    Rightarrow {{I}_{1}}=(x{{e}^{x}})|_{0}^{1}-int_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}=(x{{e}^{x}}-{{e}^{x}})|_{0}^{1}.

    Rightarrow I=({{x}^{2}}{{e}^{x}})|_{0}^{1}-2(x{{e}^{x}}-{{e}^{x}})|_{0}^{1}=e-1.

Leave a Comment