Tích phân- Phương pháp tích phân từng phần, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

1.Phương pháp

Các bước tính tích phân từng phần:

+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng $I=int_{a}^{b}{f(x).g(x)dx}$ .

+ Bước 2: Đặt $left{ begin{array}{l}u=f(x)\dv=g(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=f'(x)dx\v=int{g(x)dx}end{array} right.$ (chọn $v$ là một nguyên hàm của $g(x)$ ).

+ Bước 3: Khi đó $I=int_{a}^{b}{udv}=uv|_{a}^{b}-int_{a}^{b}{vdu}$ .

Thứ tự ưu tiên đặt u: Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4)

Với các số nguyên $a,b$ thỏa mãn $int_{1}^{2}{(2x+1)ln xdx}=a+frac{3}{2}+ln b$ . Tính tổng $P=a+b$ .

A. $P=27$ . B. $P=28$ . C. $P=60$ . D. $P=61$ .

Lời giải:

Đặt $left{ begin{array}{l}u=ln x\dv=(2x+1)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{1}{x}dx\v={{x}^{2}}+xend{array} right.$

$int_{1}^{2}{(2x+1)ln xdx}=({{x}^{2}}+x)ln x|_{1}^{2}-int_{1}^{2}{({{x}^{2}}+x).frac{1}{x}dx}$

$=6ln 2-int_{1}^{2}{(x+1)dx}=6ln 2-left. left( frac{{{x}^{2}}}{2}+x right) right|_{1}^{2}$
$=6ln 2-(4-frac{3}{2})=-4+frac{3}{2}+ln 64$

Vậy $P=a+b=-4+64=60$ .

Chọn C.

Ví dụ 2 (THPT Phù Cừ – Hưng Yên 2017 Lần 2)

Cho $int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=5$ và $f(0)=1$ . Tính $I=int_{0}^{2}{f(x)dx}$ .

A. $I=3$ . B. $I=-3$ . C. $I=-7$ . D. $I=7$ .

Lời giải:

Đặt $left{ begin{array}{l}u=x-2\dv=f'(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v=f(x)end{array} right.$ .

Ta có $5=int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=(x-2)f(x)|_{0}^{2}-int_{0}^{2}{f(x)dx}$ $=2f(1)-I=2-IRightarrow I=-3$ .

Chọn B.

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân $I=int_{2}^{3}{ln ({{x}^{2}}-x)dx}$ được viết ở dạng $I=aln 3-b$ với $a,b$ là các số nguyên. Khi đó $a-b$ nhận giá trị nào sau đây?

A. $-2$ . B. 3. C. 1. D. 5.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tổng hợp các bài tập lưng hiệu quả nhất tại phòng GYM 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Đặt $left{ begin{array}{l}u=ln ({{x}^{2}}-x)\dv=dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{2x-1}{{{x}^{2}}-x}dx\v=xend{array} right.$ .

$Rightarrow I=x.ln ({{x}^{2}}-x)|_{2}^{3}-int_{2}^{3}{frac{2x-1}{x-1}dx}=3ln 16-2ln 2-{{I}_{1}}$ .

Xét ${{I}_{1}}=int_{2}^{3}{frac{2x-1}{x-1}dx}=int_{2}^{3}{left( 2+frac{1}{x-1} right)dx}$ $=(2x+ln |x-1|)|_{2}^{3}=2+ln 2$

$Rightarrow I=3ln 3-2Rightarrow a=3;,b=-2$ .

Chọn D.

Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính tích phân là hàm logarit thì ta cũng sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt $u$ chính là hàm logarit đó và $dv=dx$ .

Ví dụ 4 (Sở GD Bình Thuận 2017) Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Biết $F(3)=3$ và $int_{-1}^{2}{F(x+1)dx}=1$ . Tính $I=int_{0}^{3}{xf(x)dx}$ .

A. 10. B. 11. C. 9. D. 8.

Lời giải:

Đặt $t=x+1Rightarrow dt=dx$ .

$Rightarrow int_{-1}^{2}{F(x+1)dx}=int_{0}^{3}{F(t)dt}Rightarrow int_{0}^{3}{F(x)dx}=1$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}u=x\dv=f(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v=F(x)end{array} right.$

$Rightarrow I=int_{0}^{1}{xf(x)dx}=xF(x)|_{0}^{3}-int_{0}^{3}{F(x)dx}=3F(3)-1=8$ .

Chọn D.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:

a) $I=int_{0}^{1}{{{e}^{x}}sin xdx}$ . b) $I=int_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}$ .

Lời giải:

a) Đặt $left{ begin{array}{l}{{e}^{x}}=u\sin xdx=dvend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}{{e}^{x}}dx=du\-cos x=vend{array} right.$

$Rightarrow I=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+int_{0}^{1}{cos x.{{e}^{x}}dx}=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+{{I}_{1}}$ .

Xét ${{I}_{1}}=int_{0}^{1}{{{e}^{x}}.cos xdx}$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}u={{e}^{x}}\dv=cos xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\v=sin xend{array} right.$

$Rightarrow {{I}_{1}}=({{e}^{x}}sin x)|_{0}^{1}-int_{0}^{1}{{{e}^{x}}sin xdx}={{e}^{x}}sin x|_{0}^{1}-I$

$Rightarrow I=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+{{e}^{x}}sin x|_{0}^{1}-I$ $Rightarrow 2I=-({{e}^{x}}cos x)|_{0}^{1}+{{e}^{x}}sin x|_{0}^{1}$

$Rightarrow I=frac{1-e(sin 1-cos 1)}{2}$

b) $I=int_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}$

Đặt $left{ begin{array}{l}u={{x}^{2}}\dv={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=2xdx\v={{e}^{x}}end{array} right.$ .

$Rightarrow I=({{x}^{2}}{{e}^{x}})|_{0}^{1}-2int_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=({{x}^{2}}{{e}^{x}})|_{0}^{1}-2{{I}_{1}}$ .

Xét ${{I}_{1}}=int_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}$ , đặt $left{ begin{array}{l}u=x\dv={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v={{e}^{x}}end{array} right.$ .