I. Xác suất có điều kiện
1. Định nghĩa
Giả sử A là biến cố ngẫu nhiên có xác suất dương. Xác suất của biến cố B tính trong điều kiện A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A), được tính theo công thức:
2. Công thức nhân xác suất
Từ công thức (1) ta suy ra:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) (2)
Với A, B, V là ba biến cố bất kì sao cho P(A ∩ B) ≠ 0 thì (2) được mở rộng thành:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A).P(B/A).P(C/A ∩ B) (3)
Các công thức (2) và (3) được gọi là các công thức nhân xác suất.
3. Các biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Từ định nghĩa suy ra: Nếu 0 < P(A) < 1, A và B độc lập thì: P(B/A) = P(B/
) = P(B)
II. Phân bố xác suất của biển ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2, … xn với các xác suất tương ứng p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), … , pn = P(X = xn) thỏa mãn: p1 + p2 + … + pn = 1 trình bày dưới dạng bảng:
| X | x1 | x2 | … | xk | … | xn |
| P | p1 | p2 | … | pk | … | pn |
Được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
III. Kì vọng phương sai – Độ lệch chuẩn
X là một biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:
| X | x1 | x2 | x3 | … | xn-1 | xn |
| P | p1 | p2 | p3 | … | pn-1 | pn |
1. Kì vọng của X (còn gọi là giá trị trung bình của X)
E(X) = p1x1 + p2x2 + p3x3 + … + pn-1xn-1 + pnxn
2. Phương sai của X (đặt a = E(X))
3. Độ lệch chuẩn của X
• Tính chất của E(X):
+ E(kX) = k.E(X) với k là hằng số
+ E(X + Y) = E(X) + E(Y).