Nguyên hàm- Phương pháp nguyên hàm từng phần, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Phương pháp

Công thức nguyên hàm từng phần: $I=int{udv}=uv-int{vdu}$ .

Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho các nguyên hàm có dạng $int{f(x).g(x)dx}$ trong đó ( $f(x)$ và $g(x)$ là hai trong 4 loại hàm: đa thức, lượng giác, mũ, loga.

Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

Các bước tính nguyên hàm từng phần:

– Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng $I=int{f(x).g(x)dx}$ .

– Bước 2: Đặt $left{ begin{array}{l}u=f(x)\dv=g(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=f'(x)dx\v=int{g(x)dx}end{array} right.$ (chọn $v$ là một nguyên hàm của $g(x)$ ).

– Bước 3: Khi đó $I=int{udv}=uv-int{vdu}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 3) Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $f'(x)=(x+1){{e}^{x}}$ và $int{f(x)dx}=(ax+b){{e}^{x}}+c$ với $a,b,c$ là các hằng số. Khi đó:

A. $a+b=2$ . B. $a+b=3$ . C. $a+b=0$ . D. $a+b=1$ .

Lời giải:

$f'(x)=(x+1){{e}^{x}}Rightarrow f(x)=int{(x+1){{e}^{x}}dx}$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}u=x+1\dv={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v={{e}^{x}}end{array} right.Rightarrow f(x)$ $=(x+1){{e}^{x}}-int{{{e}^{x}}d(x+1)}=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+c=x{{e}^{x}}+C$ .

Chọn $f(x)=x{{e}^{x}}$ ta có $int{f(x)dx}=int{x{{e}^{x}}dx}$

Đặt $left{ begin{array}{l}{{u}_{1}}=x\d{{v}_{1}}={{e}^{x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}d{{u}_{1}}=dx\{{v}_{1}}={{e}^{x}}end{array} right.$

$Rightarrow int{f(x)dx=}x{{e}^{x}}-int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C$ .

Do đó $a=1;,b=-1Rightarrow a+b=0$ . Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau :

a) $I=int{{{x}^{2}}ln xdx}$ . b) $I=int{{{e}^{x}}sin xdx}$ . c) $I=int{({{x}^{2}}+2x)sin }xdx$ .

Lời giải:

a) $I=int{{{x}^{2}}ln xdx}$

Đặt $left{ begin{array}{l}u=ln x\dv={{x}^{2}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{dx}{x}\v=frac{{{x}^{3}}}{3}end{array} right.$ $Rightarrow I=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-int{frac{{{x}^{3}}}{3}.}frac{dx}{x}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-frac{{{x}^{3}}}{9}+C$ .

Nhận xét: Ngoài cách đặt $u,v$ như trên ta có thể làm trực tiếp như sau:

$I=int{ln xdleft( frac{{{x}^{3}}}{3} right)=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-int{frac{{{x}^{3}}}{3}d(ln x)}}$ $=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-int{frac{{{x}^{3}}}{3}.frac{dx}{x}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-frac{{{x}^{3}}}{9}+C}$ .

b) $I=int{{{e}^{x}}sin xdx}$

Đặt $left{ begin{array}{l}u={{e}^{x}}\dv=sin xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\v=-cos xend{array} right.$ $Rightarrow I=-{{e}^{x}}cos x+int{cos x.{{e}^{x}}dx}$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}{{u}_{1}}={{e}^{x}}\d{{v}_{1}}=cos xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}d{{u}_{1}}={{e}^{x}}dx\{{v}_{1}}=sin xend{array} right.$

$begin{array}{l}Rightarrow I=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x-int{sin x.{{e}^{x}}dx}=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x+C-I\Rightarrow I=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x+C-I\Leftrightarrow 2I=-{{e}^{x}}cos x+{{e}^{x}}sin x+CLeftrightarrow I=-frac{1}{2}{{e}^{x}}cos x+frac{1}{2}{{e}^{x}}sin x+Cend{array}$

Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính nguyên hàm là tích của hàm số lượng giác và hàm số mũ thì có thể đặt $u,v$ tùy ý. Tuy nhiên trong quá trình tính sẽ gồm các vòng lặp, trong mỗi vòng lặp ta phải nhất quán việc đặt $u$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Phong cách tân cổ điển là gì? Ứng dụng trong thiết kế phòng khách 2022 | Mytranshop.com

c) $int{({{x}^{2}}+2x)sin }xdx$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}u={{x}^{2}}+2x\dv=sin xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=(2x+2)dx\v=-cos xend{array} right.$ $Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)cos x+int{cos x.(2x+2)dx}$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}u=2x+2\dv=cos xdxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=2dx\v=sin xend{array} right.$

$begin{array}{l}Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)cos x+(2x+2)sin x-int{sin x.2dx}\I=-({{x}^{2}}+2x)cos x+(2x+2)sin x+2cos x+Cend{array}$

Nhận xét: Nếu hàm đa thức bậc $n$ thì phải thực hiện tích phân từng phần $n$ lần.

Ví dụ 3: Tìm $I=int{frac{xln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx$

A. $I=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C$ . B. $I=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)+C$ .

C. $I=sqrt{{{x}^{2}}+1}.ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-x+C$ . D. $I=sqrt{{{x}^{2}}+1}+ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-x+C$ .

Lời giải:

$I=int{ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right).frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}u=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)\dv=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}dxend{array} right.$ $Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{1+frac{2x}{2sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx=frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}\v=sqrt{{{x}^{2}}+1}end{array} right.$ .

Theo công thức tính nguyên hà, từng phần, ta có:

$I=sqrt{{{x}^{2}}+1}.ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-int{dx}=sqrt{{{x}^{2}}+1}.ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-x+C$

Chọn C.

Ví dụ 4: Kết quả của phép lấy nguyên hàm $I=int{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx$ là

A. $I=frac{xsqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+frac{aln left| x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right|}{2}+C$ . B. $I=frac{xsqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+C$ .

C. $I=frac{aln left| x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right|}{2}+C$ . D. $I=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right)+C$ .

Lời giải:

Đặt $left{ begin{array}{l}u=sqrt{{{x}^{2}}+a}\dv=dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx\v=xend{array} right.$

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$I=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-int{frac{{{x}^{2}}}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-int{frac{({{x}^{2}}+a)-a}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}$

$=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-int{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx+aint{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}=xsqrt{{{x}^{2}}+a}-I+a.J}$ (1)

Tính $J=int{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}}$ .

Đặt $t=x+sqrt{{{x}^{2}}+a}Rightarrow dt=left( 1+frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+a}} right)dx$ $=frac{sqrt{{{x}^{2}}+a}+x}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx=frac{t}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx$ .