Bất phương trình mũ và logarit, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ${{a}^{x}}>b$ (hoặc ${{a}^{x}}ge b,{{a}^{x}}<b,{{a}^{x}}le b$ ) với $a>0,ane 1$ .

Xét bất phương trình: ${{a}^{x}}>b$

2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng ${{log }_{a}}x>b$ (hoặc ${{log }_{a}}x<b,{{log }_{a}}xge b,$ ${{log }_{a}}xle b$ ) với $a>0,ane 1$ .

Xét bất phương trình:

B. Bài tập

Để giải bất phương trình mũ và logarit ta dùng các phương pháp: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích, mũ hóa và logarit hóa (tương tự như ở bài phương trình mũ và logarit)

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

Ngoài cách sử dụng bất phương trình mũ và logarit có bản, có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

+ ${{a}^{f(x)}}<{{a}^{g(x)}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}a>1\f(x)<g(x)end{array} right.\left{ begin{array}{l}0<a<1\f(x)>g(x)end{array} right.end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}a>0\(a-1)left[ f(x)-g(x) right]<0end{array} right.$ .

+ ${{a}^{f(x)}}le {{a}^{g(x)}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}a>1\f(x)<g(x)end{array} right.\a=1\left{ begin{array}{l}0<a<1\f(x)>g(x)end{array} right.end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}a>0\(a-1)left[ f(x)-g(x) right]le 0end{array} right.$ .

+ ${{log }_{a}}f(x)<{{log }_{a}}g(x)Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}a>1\0<f(x)<g(x)end{array} right.\left{ begin{array}{l}0<a<1\f(x)>g(x)>0end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}0<ane 1\f(x)>0\g(x)>0\(a-1)left[ f(x)-g(x) right]<0end{array} right.$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{(sqrt{3}-sqrt{2})}^{{{x}^{2}}+1}}<{{(sqrt{3}-sqrt{2})}^{3x-1}}$ .

b) $frac{1}{{{2}^{sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}le {{2}^{x-1}}$ .

c) ${{(x-3)}^{2{{x}^{2}}-7x}}>1$ .

Lời giải:

a) ${{(sqrt{3}-sqrt{2})}^{{{x}^{2}}+1}}<{{(sqrt{3}-sqrt{2})}^{3x-1}}$ .

Vì $sqrt{3}-sqrt{2}<1$ nên bất phương trình tương đương với

${{x}^{2}}+1>3x-1Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x>2\x<1end{array} right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-infty ;1)cup (2;+infty )$ .

b) $frac{1}{{{2}^{sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}le {{2}^{x-1}}$ .

$Leftrightarrow {{(frac{1}{2})}^{sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}le {{(frac{1}{2})}^{1-x}}Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}-2x}ge 1-xLeftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}1-xle 0\{{x}^{2}}-2xge 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}1-x>0\{{x}^{2}}-2xge {{(1-x)}^{2}}end{array} right.end{array} right.$

$Leftrightarrow xge 2$ .

Chú ý: Để tránh sai sót khi biến đổi bất phương trình mũ, ta nên chọn cách biến đổi sau:

$frac{1}{{{2}^{sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}le {{2}^{x-1}}Leftrightarrow {{2}^{-sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}le {{2}^{x-1}}Leftrightarrow -sqrt{{{x}^{2}}-2x}le x-1$ $Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}-2x}ge 1-xLeftrightarrow xge 2$ .

c) ${{(x-3)}^{2{{x}^{2}}-7x}}>1$

${{(x-3)}^{2{{x}^{2}}-7x}}>{{(x-3)}^{0}}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x-3>0\(x-3-1)(2{{x}^{2}}-7x)>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>3\(x-4)(2{{x}^{2}}-7x)>0end{array} right.$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x>4\3<x<frac{7}{2}end{array} right.$ .

Bất phương trình có tập nghiệm $S=(3;frac{7}{2})cup (4;+infty )$ .

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{log }_{2}}left( x+1 right)-2{{log }_{4}}left( 5-x right)<1-{{log }_{2}}left( x-2 right)$ .

b) ${{log }_{3}}sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+{{log }_{frac{1}{3}}}sqrt{x-2}>frac{1}{2}{{log }_{frac{1}{3}}}left( x+3 right)$ .

c) ${{log }_{frac{1}{3}}}{{left( {{log }_{2}}left( 3x-1 right) right)}^{1001}}>0$ .

Lời giải:

a) ${{log }_{2}}left( x+1 right)-2{{log }_{4}}left( 5-x right)<1-{{log }_{2}}left( x-2 right)$ .

Với điều kiện $displaystyle ~5>x>2$ ta có: BPT $Leftrightarrow {{log }_{2}}(x+1)-2{{log }_{{{2}^{2}}}}(5-x)<{{log }_{2}}2-{{log }_{2}}(x-2)$ .

Vậy nghiệm của BPT là $2<x<3$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 1001+ mẫu thiết kế nhà biệt thự mini thu nhỏ đẹp và hiện đại thế giới 2022 | Mytranshop.com

b) ${{log }_{3}}sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+{{log }_{frac{1}{3}}}sqrt{x-2}>frac{1}{2}{{log }_{frac{1}{3}}}left( x+3 right)$ .

Điều kiện $x>3$ .

Khi đó BPT $Leftrightarrow frac{1}{2}{{log }_{3}}({{x}^{2}}-5x+6)-frac{1}{2}{{log }_{3}}(x-2)>-frac{1}{2}{{log }_{3}}(x+3)$

$Leftrightarrow ({{x}^{2}}-5x+6)(x+3)>(x-2)Leftrightarrow (x-2)({{x}^{2}}-10)>0Leftrightarrow {{x}^{2}}>10Leftrightarrow x>sqrt{10}$ (Do $x>3)$ .

c) ${{log }_{frac{1}{3}}}{{left( {{log }_{2}}left( 3x-1 right) right)}^{1001}}>0$ .

Điều kiện $displaystyle left{ begin{array}{l}3x-1>0\{{({{log }_{2}}(3x-1))}^{1001}}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>frac{1}{3}\{{log }_{2}}(3x-1)>0end{array} right.$

$displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>frac{1}{3}\3x-1>{{2}^{0}}end{array} right.Leftrightarrow x>frac{2}{3}$ (*).

Khi đó ${{log }_{frac{1}{3}}}{{({{log }_{2}}(3x-1))}^{1001}}>0Leftrightarrow 1001{{log }_{frac{1}{3}}}({{log }_{2}}(3x-1))>0$

$Leftrightarrow {{log }_{frac{1}{3}}}({{log }_{2}}(3x-1))>0Leftrightarrow {{log }_{2}}(3x-1)<{{left( frac{1}{3} right)}^{0}}=1Leftrightarrow 3x-1<{{2}^{1}}Leftrightarrow x<1$ .

Kết hợp với (*) ta được $frac{2}{3}<x<1$ thỏa mãn.

Ví dụ 1.3: Tìm $a$ để bất phương trình ${{log }_{a}}({{x}^{2}}-4x+a+1)>0$ nghiệm đúng với mọi $x$ .

Lời giải:

Bất phương trình tương đương:

$left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}a>1\{{x}^{2}}-4x+a+1>1end{array} right.\left{ begin{array}{l}0<a<1\0<{{x}^{2}}-4x+a+1<1end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}a>1\{{x}^{2}}-4x+a>0end{array} right.,,,,,,,,,,,,,,(I)\left{ begin{array}{l}0<a<1\{{x}^{2}}-4x+a+a>0\{{x}^{2}}-4x+a<0end{array} right.,,,,,,,(II)end{array} right.$

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi $(I)$ đúng với mọi $x$ hoặc $(II)$ đúng với mọi $x$ (loại vì $x=frac{1}{4}a$ không đúng).

$Leftrightarrow {{Delta }_{(I)}}<0Leftrightarrow 4-a<0Leftrightarrow a>4$ .

Vậy $a>4$ .

Dạng 2. Đặt ẩn phụ

Ví dụ 2.1: Giải các bất phương trình sau:

a) $frac{{{2}^{1-x}}-{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1}le 0$ . b) ${{x}^{{{log }_{2}}x}}+{{x}^{5{{log }_{x}}2-{{log }_{2}}x}}-18<0$ .

c) ${{25}^{1+2x-{{x}^{2}}}}+{{9}^{1+2x-{{x}^{2}}}}ge {{34.15}^{2x-{{x}^{2}}}}$ . d) ${{(5+sqrt{21})}^{x}}+{{(5-sqrt{21})}^{x}}le {{2}^{x+{{log }_{2}}5}}$ .

Lời giải:

a) $frac{{{2}^{1-x}}-{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1}le 0$ $Leftrightarrow frac{frac{2}{{{2}^{x}}}-{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1}le 0$ .

Đặt $t={{2}^{x}},,,t>0$ . Bất phương trình trở thành:

$frac{frac{2}{t}-t+1}{t-1}le 0Leftrightarrow frac{-{{t}^{2}}+t+2}{t(t-1)}le 0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}0<t<1\tge 2end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}0<{{2}^{x}}<1\{{2}^{x}}ge 2end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x<0\xge 1end{array} right.$ .

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $(-infty ;0)cup text{ }!![!!text{ }1;+infty )$ .

b) ${{x}^{{{log }_{2}}x}}+{{x}^{5{{log }_{x}}2-{{log }_{2}}x}}-18<0$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương:

${{x}^{{{log }_{2}}x}}+frac{{{({{x}^{{{log }_{x}}2}})}^{5}}}{{{x}^{{{log }_{2}}x}}}-18<0Leftrightarrow {{x}^{{{log }_{2}}x}}+frac{32}{{{x}^{{{log }_{2}}x}}}-18<0$ .

Đặt $t={{x}^{{{log }_{2}}x}},,,t>0$ , bất phương trình trở thành:

$t+frac{32}{t}-18<0Leftrightarrow {{t}^{2}}-18t+32<0Leftrightarrow 2<t<16Leftrightarrow 2<{{x}^{{{log }_{2}}x}}<16$

$Leftrightarrow {{log }_{2}}2<{{log }_{2}}{{x}^{{{log }_{2}}x}}<{{log }_{2}}16Leftrightarrow 1<{{({{log }_{2}}x)}^{2}}<4$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}1<{{log }_{2}}x<2\-2<{{log }_{2}}x<-1end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2<x<4\frac{1}{4}<x<frac{1}{2}end{array} right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(frac{1}{4};frac{1}{2})cup (2;4)$ .

c) ${{25}^{1+2x-{{x}^{2}}}}+{{9}^{1+2x-{{x}^{2}}}}ge {{34.15}^{2x-{{x}^{2}}}}$ .

$Leftrightarrow {{25.25}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{9.9}^{2x-{{x}^{2}}}}ge 34.{{(3.5)}^{2x-{{x}^{2}}}}Leftrightarrow {{25.5}^{2(2x-{{x}^{2}})}}+{{9.3}^{2(2x-{{x}^{2}})}}ge {{34.3}^{2x-{{x}^{2}}}}{{.5}^{2x-{{x}^{2}}}}$

Chia hai vế của bất phương trình cho ${{3}^{2(2x-{{x}^{2}})}}>0$ ta được:

$25.{{left( frac{5}{3} right)}^{2(2x-{{x}^{2}})}}+9ge 34.{{left( frac{5}{3} right)}^{2(2x-{{x}^{2}})}}Leftrightarrow 25{{left( frac{5}{3} right)}^{2(2x-{{x}^{2}})}}-34{{left( frac{5}{3} right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+9ge 0$ .

Đặt $t={{left( frac{5}{3} right)}^{2x-{{x}^{2}}}}$ , điều kiện $0<tle frac{5}{3}$ (vì $2x-{{x}^{2}}le 1$ ) (*)

Bất phương trình trở thành: $25{{t}^{2}}-34t+9ge 0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}tge 1\tle frac{9}{25}end{array} right.$

Kết hợp với điều kiện (*) ta được:

$left[ begin{array}{l}1le tle frac{5}{3}\0<tle frac{9}{25}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}1le {{left( frac{5}{3} right)}^{2x-{{x}^{2}}}}le frac{5}{3}\0<{{left( frac{5}{3} right)}^{2x-{{x}^{2}}}}le {{left( frac{5}{3} right)}^{-2}}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}0le 2x-{{x}^{2}}le 1\2x-{{x}^{2}}le -2end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}0le xle 2\xge 1+sqrt{3}\xle 1-sqrt{3}end{array} right.$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-infty ;1-sqrt{3}text{ }!!]!!text{ }cup text{ }!![!!text{ }0;2]cup text{ }!![!!text{ }1+sqrt{3};+infty )$ .

d) ${{(5+sqrt{21})}^{x}}+{{(5-sqrt{21})}^{x}}le {{2}^{x+{{log }_{2}}5}}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Hướng dẫn cách đếm số răng và tên gọi của chúng 2022 | Mytranshop.com

Chia hai vế của bất phương trình cho ${{2}^{x}}>0$ ta được:

${{left( frac{5+sqrt{21}}{2} right)}^{x}}+{{left( frac{5-sqrt{21}}{2} right)}^{x}}le 25$ .

Vì $displaystyle left( frac{5+sqrt{21}}{2} right)left( frac{5-sqrt{21}}{2} right)=1$ nên đặt $t={{left( frac{5+sqrt{21}}{2} right)}^{x}},,,t>0$ thì ${{left( frac{5-sqrt{21}}{2} right)}^{x}}=frac{1}{t}$ .

Khi đó bất phương trình trở thành:

$begin{array}{l}t+frac{1}{t}le 5Leftrightarrow {{t}^{2}}-5t+1le 0Leftrightarrow frac{5-sqrt{21}}{2}le tle frac{5+sqrt{21}}{2}\Rightarrow frac{5-sqrt{21}}{2}le {{left( frac{5+sqrt{21}}{2} right)}^{x}}le frac{5+sqrt{21}}{2}Leftrightarrow -1le xle 1end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $displaystyle text{ }!![!!text{ }-1;1]$ .

Ví dụ 2.2: Tập nghiệm của bất phương trình $displaystyle {{log }^{2}}_{frac{1}{2}}x-{{log }_{2}}left( 2x right)-5ge 0$ .

A. $displaystyle xin left( 0;frac{1}{4} right)cup left( 9;+infty right)$ . B. $displaystyle xin left[ 3;+infty right)$ .

C. $displaystyle xin left( -infty ;frac{1}{4} right]cup left[ 8;+infty right)$ . D. $displaystyle xin left( -infty ;frac{1}{4} right]cup left[ 9;+infty right)$ .

Lời giải:

ĐK: $x>0$ .

Ví dụ 2.3: Xác định $m$ để bất phương trình $m{{.4}^{x}}-2(m+1){{.2}^{x}}-m+5<0$ nghiệm đúng với mọi $x<0$ .

Lời giải:

Đặt $t={{2}^{x}}$ . Vì $x<0$ nên $t={{2}^{x}}<{{2}^{0}}=1Rightarrow 0<t<1$ .

Bất phương trình trở thành: $m{{t}^{2}}-2(m+1)t-m+5<0$ (1)

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x<0Leftrightarrow$ (1) nghiệm đúng với mọi $0<t<1$ .

$(1)Leftrightarrow m({{t}^{2}}-2t-1)<2t-5Leftrightarrow m>frac{2t-5}{{{t}^{2}}-2t-1}$ (vì ${{t}^{2}}-2t-1<0,,forall tin (0;1)$ .

Xét hàm số $f(t)=frac{2t-5}{{{t}^{2}}-2t-1}$ với $0<t<1$ .

Ta có $f'(t)=frac{-2{{t}^{2}}+10t-12}{{{({{t}^{2}}-2t-1)}^{2}}}Rightarrow f'(t)=0Leftrightarrow -2{{t}^{2}}+10t-12=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=1\t=6end{array} right.$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra (1) nghiệm đúng với mọi $0<t<1$ $Leftrightarrow m>5$ .

Dạng 3. Phương pháp mũ hóa và logarit hóa

Ví dụ 3.1: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{3}^{{{x}^{2}}-4x}}<frac{5}{3}$ .

b) ${{2}^{x}}{{.3}^{x-1}}{{.5}^{x-2}}>12$ .

c) ${{9}^{x}}+{{9}^{x+1}}+{{9}^{x+2}}<{{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}+{{4}^{x+2}}$ .

Lời giải:

a) ${{3}^{{{x}^{2}}-4x}}<frac{5}{3}$ .

Lấy logarit cơ số 3 hai vế của bất phương trình, ta được:

${{log }_{3}}{{3}^{{{x}^{2}}-4x}}<{{log }_{3}}frac{5}{3}Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x<{{log }_{3}}5-1Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1-{{log }_{3}}5<0$ .

Ta có $Delta '=4-1+{{log }_{3}}5=3+{{log }_{3}}5>0$ suy ra bất phương trình có nghiệm

$2-sqrt{3+{{log }_{3}}5}<x<2+sqrt{3+{{log }_{3}}5}$ .

b) ${{2}^{x}}{{.3}^{x-1}}{{.5}^{x-2}}>12$ .

Lấy logarit cơ số 10 ta được:

$begin{array}{l}lg ({{2}^{x}}{{.3}^{x-1}}{{.5}^{x-2}})>lg 12Leftrightarrow lg {{2}^{x}}+lg {{3}^{x-1}}+lg {{5}^{x-2}}>lg 12\Leftrightarrow xlg 2+(x-1)lg 3+(x-2)lg 5>lg 12end{array}$

$begin{array}{l}Leftrightarrow x(lg 2+lg 3+lg 5)>lg 12+lg 3+2lg 5\Leftrightarrow x(lg 2+lg 3+lg 5)>2lg 2+2lg 3+2lg 5\Leftrightarrow x>2end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x>2$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 20+ bài tập giảm mỡ bụng dưới hiệu quả cho nữ sở hữu vòng 2 phẳng lì 2022 | Mytranshop.com

c) ${{9}^{x}}+{{9}^{x+1}}+{{9}^{x+2}}<{{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}+{{4}^{x+2}}$ .

$Leftrightarrow {{9}^{x}}(1+9+{{9}^{2}})<{{4}^{x}}(1+4+{{4}^{2}})Leftrightarrow frac{{{9}^{x}}}{{{4}^{x}}}<frac{21}{91}Leftrightarrow {{left( frac{9}{4} right)}^{x}}<frac{21}{91}Leftrightarrow x<{{log }_{frac{9}{4}}}frac{21}{91}$ .