Phương trình quy về bậc nhất, bậc hai, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng $ax+b=0$ được tóm tắt trong bảng sau

Khi $ane 0$ phương trình $ax+b=0$ được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

3. Định lí Vi–ét

Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì

Ngược lại, nếu hai số $u$ và $v$ có tổng $u+v=S$ và tích $uv=P$ thì $u$ và $v$ là các nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-Sx+P=0.$

B. Bài tập

DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Phương trình dạng $left| f(x) right|=left| g(x) right|$ ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau

$|f(x)|,=,|g(x)|Leftrightarrow left[ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)=-gleft( x right)end{array} right.$

hoặc $left| f(x) right|=left| g(x) right|Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)={{g}^{2}}(x)$

Đối với phương trình dạng $left| f(x) right|=g(x)$ (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau

$|f(x)|,=gleft( x right)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}gleft( x right)ge 0\{{f}^{2}}left( x right)={{g}^{2}}left( x right)end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}gleft( x right)ge 0\left[ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)=-gleft( x right)end{array} right.end{array} right.$

Hoặc $|f(x)|,=g(x)Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)ge 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}-fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)<0end{array} right.end{array} right.$

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a) $left| 2x+1 right|=left| {{x}^{2}}-3x-4 right|$ .

b) $left| 3x-2 right|=3-2x$

c) $left| {{x}^{2}}-4x-5 right|=4x-17$

d) $left| 2x-5 right|+left| 2{{x}^{2}}-7x+5 right|=0$

Lời giải:

a) Phương trình $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x+1={{x}^{2}}-3x-4\2x+1=-left( {{x}^{2}}-3x-4 right)end{array} right.$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{x}^{2}}-5x-5=0\{{x}^{2}}-x-3=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{5pm sqrt{45}}{2}\x=frac{1pm sqrt{13}}{2}end{array} right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=frac{5pm sqrt{45}}{2}$ và $frac{1pm sqrt{13}}{2}$ .

b) Cách 1: Với $3-2x<0Leftrightarrow x>frac{3}{2}$ ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm

Với $3-2xge 0Leftrightarrow xle frac{3}{2}$ khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình $Leftrightarrow {{left| 3x-2 right|}^{2}}={{left( 3-2x right)}^{2}}Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-12x+4=4{{x}^{2}}-12x+9$

$Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=5Leftrightarrow x=text{ }!!~!!text{ }pm 1$ (thỏa mãn)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Có nên cho trẻ sơ sinh ngâm chân nước gừng không? 2022 | Mytranshop.com

Vậy phương trình có nghiệm là $x=text{ }!!~!!text{ }pm 1$ .

Cách 2: Với $3x-2ge 0Leftrightarrow xge frac{2}{3}$ : Phương trình tương đương với

$3text{x}-2=3-2text{x}Leftrightarrow 5text{x}=5Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn)

Với $3x-2<0Leftrightarrow x<frac{2}{3}$ : Phương trình tương đương với

$-left( 3text{x}-2 right)=3-2text{x}Leftrightarrow text{x}=text{ }!!~!!text{ }-1$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=text{ }!!~!!text{ }pm 1$ .

c) Với $4x-17<0Leftrightarrow x<frac{17}{4}$ ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm

Với $4x-17ge 0Leftrightarrow xge frac{17}{4}$ khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình $Leftrightarrow |{{x}^{2}}-4x-5{{|}^{2}}={{left( 4x-17 right)}^{2}}Leftrightarrow {{left( {{x}^{2}}-4x-5 right)}^{2}}={{left( 4x-17 right)}^{2}}$

$Leftrightarrow left( {{x}^{2}}-8x+12 right)left( {{x}^{2}}-22 right)=0$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{x}^{2}}-8x+12=0\{{x}^{2}}-22=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}x=2\x=6end{array} right.\x=pm sqrt{22}end{array} right.$

Đối chiếu với điều kiện $xge frac{17}{4}$ thấy chỉ có $x=6$ và $x=sqrt{22}$ thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là $x=6$ và $x=sqrt{22}$ .

d) Ta có suy ra $left| 2x-5 right|+left| 2{{x}^{2}}-7x+5 right|ge 0$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x-5=0\2{{x}^{2}}-7x+5=0end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=frac{5}{2}\left[ begin{array}{l}x=1\x=frac{5}{2}end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow x=frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=frac{5}{2}$ .

DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

– Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

– Đặt ẩn phụ

Ví dụ:

Tìm số nghiệm của các phương trình sau

a) $frac{2x+1}{3x+2}=frac{x+1}{x-2}$

b) $1+frac{2}{x-2}=frac{10}{x+3}-frac{50}{(2-x)(x+3)}$ .

c) $frac{x+3}{{{(x+1)}^{2}}}=frac{4x-2}{{{(2x-1)}^{2}}}$ .

d) $frac{x+1}{x+2}+frac{x-1}{x-2}=frac{2x+1}{x+1}$

Lời giải:

a) ĐKXĐ: $xne text{ }!!~!!text{ }-frac{2}{3}$ và $xne 2$ .

Phương trình tương đương với $left( 2x+1 right)left( x-2 right)=left( x+1 right)left( 3x+2 right)$

$Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+x-2=3{{x}^{2}}+2x+3x+2$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}+8x+4=0Leftrightarrow x=text{ }!!~!!text{ }-4pm 2sqrt{3}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=text{ }!!~!!text{ }-4pm 2sqrt{3}$ .

b) ĐKXĐ: $xne text{ }!!~!!text{ }-3$ và $xne 2$ .

Phương trình tương đương với $left( 2-x right)left( x+3 right)-2left( x+3 right)=10left( 2-x right)text{ n}50$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x-30=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=10\x=-3end{array} right.$

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là $x=10$ .

c) ĐKXĐ: $xne text{ }!!~!!text{ }-1$ và $xne frac{1}{2}$ .

Phương trình tương đương với

$frac{x+3}{{{(x+1)}^{2}}}=frac{2}{2x-1}Leftrightarrow left( x+3 right)left( 2x-1 right)=2{{left( x+1 right)}^{2}}$

$Leftrightarrow x=5$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=5$ .

d) ĐKXĐ: $xne text{ }!!~!!text{ }pm 2$ và $xne text{ }!!~!!text{ }-1$

Phương trình tương đương với

${{left( x+1 right)}^{2}}left( x-2 right)+left( x-1 right)left( x+1 right)left( x+2 right)=left( 2x+1 right)left( x-2 right)left( x+2 right)$

$Leftrightarrow left( {{x}^{2}}+2x+1 right)left( x-2 right)+left( {{x}^{2}}-1 right)left( x+2 right)=left( 2x+1 right)left( {{x}^{2}}-4 right)$

$Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-4x+x-2+{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2=2{{x}^{3}}-8x+{{x}^{2}}-4$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=-4end{array} right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=text{ }!!~!!text{ }-4$ và $x=0$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Kỹ thuật bảo dưỡng bê tông sau khi đổ mới nhất 2020 2022 | Mytranshop.com

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

$sqrt{fleft( x right)}=sqrt{gleft( x right)}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\left[ begin{array}{l}fleft( x right)ge 0\gleft( x right)ge 0end{array} right.end{array} right.$

$sqrt{fleft( x right)}=gleft( x right)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)={{left[ gleft( x right) right]}^{2}}\gleft( x right)ge 0end{array} right.$

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a) $sqrt{2x-3}text{ }!!~!!text{ }=x-2.$ (1)

b) $sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}text{ }!!~!!text{ }=sqrt{2-x}$

Hướng dẫn:

a) Điều kiện của phương trình $left( 1 right)$ là $xge frac{3}{2}.$

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ quả:

2x – 3 = x2 – 4x + 4 ⇒x2 – 6x – 7 = 0

Phương trình cuối có hai nghiệm là $x=3+sqrt{2}text{ }$ và $x=3-sqrt{2}$

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình $left( 1 right),$ nhưng khi thay vào phương trình $left( 1 right)$ thì giá trị $x=3-sqrt{2}$ bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị $x=3+sqrt{2}$ là nghiệm (hai vế cùng bằng $sqrt{2}text{ }!!~!!text{ }+1$ ).