Dấu của tam thức bậc hai, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

I. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với $x$ ) là biểu thức dạng $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$ . Trong đó $a,b,c$ là nhứng số cho trước với $ane 0$ .

Nghiệm của phương trình $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai
$displaystyle fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ ; $Delta ={{b}^{2}}-4ac$ và $Delta '=b{{'}^{2}}-ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $displaystyle fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ .

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

Nhận xét:
Cho tam thức bậc hai $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$

· $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c>0,,forall xin R,,Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a>0\Delta <0end{array} right.$

· $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+cge 0,,forall xin R,,Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a>0\Delta le 0end{array} right.$

· $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c<0,,forall xin R,,Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a<0\Delta <0end{array} right.$

· $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+cle 0,,forall xin R,,Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a<0\Delta le 0end{array} right.$

II. Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Định nghĩa và cách giải

Bất phương trình bậc hai (ẩn $x$ ) là bất phương trình có một trong các dạng $fleft( x right)>0,,,f(x)<0,,,f(x)ge 0,,,f(x)le 0$ , trong đó $f(x)$ là một tam thức bậc hai.

Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

2. Ứng dụng

Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng

DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.

1. Phương pháp giải.

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó.

* Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau

· Phân tích đa thức $Pleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

· Lập bảng xét dấu của $displaystyle Pleft( x right)$ . Từ đó suy ra dấu của nó .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Giảm cân thành công trong 4 tuần với 10 bí quyết đơn giản 2022 | Mytranshop.com

* Đối với phân thức $frac{P(x)}{Q(x)}$ (trong đó $Pleft( x right),,,Qleft( x right)$ là các đa thức) ta làm như sau

· Phân tích đa thức $Pleft( x right),,,Qleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

· Lập bảng xét dấu của $frac{P(x)}{Q(x)}$ . Từ đó suy ra dấu của nó.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau

a) $3{{x}^{2}}-2x+1$ b) $-{{x}^{2}}+4x+5$ c) $-4{{x}^{2}}+12x-9$

d) $3{{x}^{2}}-2x-8$ e) $25{{x}^{2}}+10x+1$ f) $-2{{x}^{2}}+6x-5$

Lời giải:

a) Ta có $Delta '=-2<0,,,a=3>0$ suy ra $3{{x}^{2}}-2x+1>0,,,forall xin mathbb{R}$

b) Ta có -x2+4x+5=0⇔x = -1; x = 5

Bảng xét dấu

Suy ra $-{{x}^{2}}+4x+5>0Leftrightarrow xin left( -1;5 right)$ và $-{{x}^{2}}+4x+5<0Leftrightarrow xin left( -infty ;-1 right)cup left( 5;+infty right)$

c) Ta có $Delta '=0,,,a<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+12x-9<0,,forall xin mathbb{R}backslash left{ frac{3}{2} right}$

d) Ta có 3×2-2x-8=0⇔x=2, x=-43

Bảng xét dấu

Suy ra $displaystyle 3{{x}^{2}}-2x-8>0Leftrightarrow xin left( -infty ;-frac{4}{3} right)cup left( 2;+infty right)$ và $3{{x}^{2}}-2x-8<0Leftrightarrow xin left( -frac{4}{3};2 right)$

e) Ta có $Delta '=0,,,a>0$ suy ra $25{{x}^{2}}+10x+1>0,,forall xin mathbb{R}backslash left{ -frac{1}{5} right}$

f) Ta có $Delta '=-1<0,,,a<0$ suy ra $-2{{x}^{2}}+6x-5<0,,forall xin mathbb{R}$

Nhận xét:

Cho tam thức bậc hai $displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$ . Xét nghiệm của tam thức, nếu:

* Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai $displaystyle fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ cùng dấu với $a$ với mọi $displaystyle x$

* Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai $displaystyle fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ cùng dấu với $a$ với mọi $displaystyle xne -frac{b}{2text{a}}$

* Có hai nghiệm $displaystyle fleft( x right)$ cùng dấu với $a$ khi và chỉ khi $displaystyle xin left( -infty ;{{x}_{1}} right)cup left( {{x}_{2}};+infty right)$ (ngoài hai nghiệm) và $displaystyle fleft( x right)$ trái dấu với $a$ khi và chỉ khi $displaystyle xin left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} right)$ (trong hai nghiệm)(ta có thể nhớ câu là trong trái ngoài cùng)

Ví dụ 2: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức $f(x)={{x}^{2}}+2mx+3m-2$

Lời giải:

Tam thức $f(x)$ có $a=1>0$ và $Delta '={{m}^{2}}-3m+2$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 4 nguyên nhân lỗ chân lông to và cách khắc phục đơn giản 2022 | Mytranshop.com

* Nếu $1<m<2Rightarrow Delta '<0Rightarrow f(x)>0text{ }forall xin R$ .

* Nếu $left[ begin{array}{l}m=1\m=2end{array} right.Rightarrow Delta '=0Rightarrow f(x)ge 0text{ }forall xin R$ và $f(x)=0Leftrightarrow x=-m$

* Nếu $left[ begin{array}{l}m>2\m<1end{array} right.Rightarrow Delta '>0Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-m-sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$ và ${{x}_{2}}=-m+sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$ . Khi đó:

+) $f(x)>0Leftrightarrow xin (-infty ;{{x}_{1}})cup ({{x}_{2}};+infty )$

+) $f(x)<0Leftrightarrow xin ({{x}_{1}};{{x}_{2}})$ .

DẠNG TOÁN 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a) $-3{{x}^{2}}+2x+1<0$ b) $left{ begin{array}{l}2{{x}^{2}}+9x+7>0\{{x}^{2}}+x-6<0end{array} right.$

c) $left( 1-2x right)left( {{x}^{2}}-x-1 right)>0$ d) ${{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+2x+3le 0$

Lời giải:

a) Tam thức $f(x)=-3{{x}^{2}}+2x+1$ có $a=-3<0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-frac{1}{3};$ ${{x}_{2}}=1$ ( $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ ).

Suy ra $-3{{x}^{2}}+2x+1<0Leftrightarrow x<-frac{1}{3}$ hoặc $x>1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình : $S=(-infty ;-frac{1}{3})cup (1;+infty )$ .

b) Ta có $left{ begin{array}{l}2{{x}^{2}}+9x+7>0\{{x}^{2}}+x-6<0end{array} right.$ ⇔-1<x<2-3<x<2

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left( -1;2 right)$ .

c) Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $displaystyle text{S}=left( frac{1-sqrt{5}}{2};frac{1}{2} right)cup left( frac{1+sqrt{5}}{2};+infty right)$

d) Bất phương trình $({{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4)-({{x}^{2}}-2x+1)le 0$

$Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-2)}^{2}}-{{(x-1)}^{2}}le 0$
$Leftrightarrow ({{x}^{2}}+x-3)({{x}^{2}}-x-1)le 0$ .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

$S=left[ frac{-1-sqrt{13}}{2};frac{1-sqrt{5}}{2} right]cup left[ frac{-1+sqrt{13}}{2};frac{1+sqrt{5}}{2} right]$ .

DẠNG TOÁN 3: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì

a) Phương trình $m{{x}^{2}}-left( 3m+2 right)x+1=0$ luôn có nghiệm

b) Phương trình $left( {{m}^{2}}+5 right){{x}^{2}}-left( sqrt{3}m-2 right)x+1=0$ luôn vô nghiệm

Lời giải

a) Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0Leftrightarrow x=frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm

Với $mne 0$ , ta có $Delta ={{left( 3m+2 right)}^{2}}-4m=9{{m}^{2}}+8m+4$

Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0,,,Delta {{'}_{m}}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m$

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Ăn yến sào có tăng cân không? 2022 | Mytranshop.com

b) Ta có $Delta ={{left( sqrt{3}m-2 right)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}+5 right)=-{{m}^{2}}-4sqrt{3}m-16$

Vì tam thức $-{{m}^{2}}-4sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1<0,,,Delta {{'}_{m}}=-4<0$ nên $-{{m}^{2}}-4sqrt{3}m-8<0$ với mọi $m$

Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m$ .

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm

a) $fleft( x right)=m{{x}^{2}}-x-1$

b) $gleft( x right)=left( m-4 right){{x}^{2}}+left( 2m-8 right)x+m-5$

Lời giải:

a) Với $m=0$ thì $fleft( x right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương(chẳng hạn $displaystyle fleft( -2 right)=1$ ) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán