Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn , trắc nghiệm toán học lớp 10 2022

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $displaystyle ax+b<0$ .

Giải bất phương trình dạng $displaystyle ax+b<0$ (1)

+ Nếu $a=0$ thì bất phương trình có dạng $displaystyle 0.x+b<0$

– Với $b<0$ thì tập nghiệm BPT là S = Ø

– Với $bge 0$ thì tập nghiệm BPT là $displaystyle text{S}=mathbb{R}$

+ Nếu $a>0$ thì $left( 1 right)Leftrightarrow x<-frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=left( -infty ;-frac{b}{a} right)$
+ Nếu $a<0$ thì $left( 1 right)Leftrightarrow x>-frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=left( -frac{b}{a};+infty right)$

Các bất phương trình dạng $displaystyle ax+b>0,,,ax+ble 0,,,ax+bge 0$ được giải hoàn toán tương tự

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $displaystyle ax+b<0$ .

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là Sai?

a) $displaystyle mx+6le 2x+3m$

A. $m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $displaystyle x$ (có tập nghiệm là $S=mathbb{R}$ ).

B. $m>2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x<3$ (có tập nghiệm là $S=left( -infty ;3 right)$ )

C. $m<2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x>3$ (có tập nghiệm là $S=left( 3;+infty right)$ )

D. Cả A, B, C đều sai

b) $displaystyle left( x+m right)m+x>3x+4$

A. $m=2$ bất phương trình vô nghiệm

B. $m>2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x>-m-2$

C. $m<2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x<-m-2$

D. Cả A, B, C đều sai

c) $left( {{m}^{2}}+9 right)x+3ge mleft( 1-6x right)$

A. $m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $displaystyle x$ .

B. $mne -3$ bất phương trình có nghiệm là $xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}$ .

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai

d) $mleft( {{m}^{2}}x+2 right)<x+{{m}^{2}}+1$

A. $m=2$ bất phương trình vô nghiệm

B. $m>1$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Sự hình thành và phát triển các vương quốc chính ở Đông Nam Á 2022 | Mytranshop.com

C. $m<1$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$ .

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

a) Bất phương trình tương đương với $displaystyle left( m-2 right)x<3m-6$

Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0xle 0$ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $displaystyle x$ .

Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $displaystyle x<frac{3m-6}{m-2}=3$

Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $displaystyle x>frac{3m-6}{m-2}=3$

Kết luận

$m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $displaystyle x$ (có tập nghiệm là $S=mathbb{R}$ ).

$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x<3$ (có tập nghiệm là $S=left( -infty ;3 right)$ )

$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x>3$ (có tập nghiệm là $S=left( 3;+infty right)$ )

b) Bất phương trình tương đương với $displaystyle left( m-2 right)x>4-{{m}^{2}}$

Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x>0$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $displaystyle x>frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2$

Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $displaystyle x<frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2$

Kết luận

$m=2$ bất phương trình vô nghiệm

$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x>-m-2$

$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x<-m-2$

c) Bất phương trình tương đương với ${{left( m+3 right)}^{2}}xge m-3$

Với $m=-3$ bất phương trình trở thành $0xge -6$ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $displaystyle x$ .

Với $mne -3$ bất phương trình tương đương với $xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}$

Kết luận

$m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $displaystyle x$ .

$mne -3$ bất phương trình có nghiệm là $xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}$ .

d) Bất phương trình tương đương với $Leftrightarrow left( {{m}^{3}}-1 right)x<{{m}^{2}}-2m+1$

$Leftrightarrow left( m-1 right)x<frac{{{left( m-1 right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1}$ (vì ${{m}^{2}}+m+1={{left( m+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4}>0$ )

Với $m=1$ bất phương trình trở thành $0x<0$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với $m>1$ bất phương trình tương đương với $displaystyle x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

Với $m<1$ bất phương trình tương đương với $displaystyle x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

Kết luận

$m=2$ bất phương trình vô nghiệm

$m>1$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

$m<1$ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$ .

Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $displaystyle left( {{m}^{2}}-m right)x+m<6x-2$ vô nghiệm.

A. $m=-2$ và $m=3$

B. $m=-2$ và $m=5$

C. $m=5$ và $m=3$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Trứng Gà Hay Trứng Vịt Tốt Hơn Cho Cơ Thể? 2022 | Mytranshop.com

D. $m=5$ và $m=2$

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với $displaystyle left( {{m}^{2}}-m-6 right)x<-2-m$

Rõ ràng nếu m2-m-6=0⇔m≠-2m≠3 thì bất phương trình luôn có nghiệm.

Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0x<0$ suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với $m=3$ bất phương trình trở thành $0x<-5$ suy ra bất phương trình vô nghiệm

Vậy giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3$ .

Ví dụ 3. Tìm $m$ để bất phương trình $displaystyle 4{{m}^{2}}left( 2x-1 right)ge left( 4{{m}^{2}}+5m+9 right)x-12m$ có nghiệm đúng $forall xin mathbb{R}$ .

A. $m=frac{9}{4}$ B. $m=frac{7}{4}$ C. $m=frac{5}{4}$ D. $m=frac{3}{4}$

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với $displaystyle left( 4{{m}^{2}}-5m-9 right)xge 4{{m}^{2}}-12m$

Dễ dàng thấy nếu 4m2-5m-9≠0⇔m≠-1m≠94 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $forall xin mathbb{R}$

Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0xge 16$ suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với $m=frac{9}{4}$ bât phương trình trở thành $0xge -frac{27}{4}$ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $displaystyle x$ .

Vậy giá trị cần tìm là $m=frac{9}{4}$ .

DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

a) $displaystyle left{ begin{array}{l}5x-2>4x+5\5x-4<x+2end{array} right.$ b) $displaystyle left{ begin{array}{l}6x+frac{5}{7}<4x+7\frac{8x+3}{2}<2x+5end{array} right.$

c) $displaystyle left{ begin{array}{l}5x-2<4x+5\{{x}^{2}}<{{left( x+2 right)}^{2}}end{array} right.$ d) $displaystyle left{ begin{array}{l}x-1le 2x-3\3x<x+5\frac{5-3x}{2}le x-3end{array} right.$

Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

$displaystyle left{ begin{array}{l}5x-2>4x+5\5x-4<x+2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>7\x<frac{3}{2}end{array} right.$

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

b) Hệ bất phương trình tương đương với

$displaystyle left{ begin{array}{l}6x+frac{5}{7}<4x+7\frac{8x+3}{2}<2x+5end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<frac{22}{7}\x<frac{7}{4}end{array} right.Leftrightarrow x<frac{7}{4}$

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $displaystyle x<frac{7}{4}$

c) Hệ bất phương trình tương đương với x<7x>-1⇔-1<x<7

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $-1<x<7$ .

d) Hệ bất phương trình tương đương với $left{ begin{array}{l}xge 2\x<frac{5}{2}\xge frac{11}{5}end{array} right.Leftrightarrow frac{11}{5}le xle frac{5}{2}$

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $frac{11}{5}le xle frac{5}{2}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Hướng dẫn 7 cách làm hồng cô bé sau sinh tại nhà hiệu quả 2022 | Mytranshop.com

Ví dụ 2. Tìm $m$ để hệ bất phương trình $displaystyle left{ begin{array}{l}2x-1le x+2\mleft( m+1 right)x+4mge left( m-2 right)x+3{{m}^{2}}+6end{array} right.$ có nghiệm.