Hàm số lũy thừa và hàm số mũ, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

Mục lục

A. Lý thuyết cơ bản
B. Bài tập

A. Lý thuyết cơ bản

1. Hàm số lũy thừa

– Định nghĩa: Hàm số $y={{x}^{alpha }}$ với $alpha in mathbb{R}$ , được gọi là hàm số lũy thừa.

– Tập xác định:

+ $D=mathbb{R}$ nếu $alpha$ là số nguyên dương.

+ $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }0}$ nếu $alpha$ nguyên âm hoặc bằng 0.

+ $D=(0;+infty )$ với $alpha$ không nguyên.

– Đạo hàm:

+ Hàm số $y={{x}^{alpha }},,(alpha in mathbb{R})$ có đạo hàm với mọi $x>0$ và $({{x}^{alpha }})'=alpha {{x}^{alpha -1}}$ .

+ Đạo hàm của hàm hợp: $({{u}^{alpha }})'=alpha .{{u}^{alpha -1}}.u'$ .

– Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $(0;+infty )$ :

2. Hàm số mũ

– Hàm số $y={{a}^{x}},(a>0,ane 1)$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$ .

– Hàm số $y={{a}^{x}}$ có đạo hàm tại mọi $x$ và $({{a}^{x}})'={{a}^{x}}ln a$ . Đặc biệt: $({{e}^{x}})'={{e}^{x}}$ .

– Các tính chất:

+ TXĐ: $mathbb{R}$ .

+ Khi $a>1$ thì hàm số luôn đồng biến.

+ Khi $0<a<1$ hàm số luôn nghịch biến.

+ Đồ thị có tiệm cận ngang là Ox, luôn đi qua các điểm $(0;1),(1;a)$ và nằm phía trên trục hoành.

3. Hàm số logarit

– Hàm số $y={{log }_{a}}x,,(a>0,ane 1)$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$ .

– Hàm số logarit có đạo hàm tại mọi $x>0$ và $({{log }_{a}}x)'=frac{1}{xln a}$ .

Đặc biệt $(ln x)'=frac{1}{x}$ .

– Các tính chất:

+ TXĐ: $(0;+infty )$ .

+ Khi $a>1$ thì hàm số đồng biến;

+ Khi $0<a<1$ thì hàm số luôn nghịch biến.

+ Đồ thị có tiệm cận đứng là Oy, luôn đi qua các điểm $(1;0),(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

A. Phương pháp

* Hàm số lũy thừa $y={{text{ }!![!!text{ }u(x)text{ }!!]!!text{ }}^{alpha }}$ :

+ Xác định với mọi $xin mathbb{R}$ nếu $alpha$ nguyên dương.

+ Xác định với $u(x)ne 0$ nếu $alpha$ nguyên âm.

+ Xác định với $u(x)>0$ nếu $alpha$ không nguyên.

* Hàm số mũ $y={{a}^{f(x)}}$ xác định khi $0<ane 1$ .

* Hàm số logarit $y={{log }_{a}}f(x),$ xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}0<ane 1\f(x)>0end{array} right.$ .

+ $sqrt{A}$ xác định $Leftrightarrow Age 0$ .

+ $frac{A}{B}$ xác định $Leftrightarrow Bne 0$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tập xác định của hàm số $f(x)={{(frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1})}^{-frac{2}{3}}}$ là

A. $displaystyle text{ }!![!!text{ }-1;-frac{1}{2}text{ }!!]!!text{ }cup text{ }!![!!text{ }0;frac{4}{3}text{ }!!]!!text{ }$ . B. $(-infty ;-1)cup (-frac{1}{2};0)cup (frac{4}{3};+infty )$ .

C. $(-1;-frac{1}{2})cup (0;frac{4}{3})$ . D. $(-1;frac{4}{3})$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1}>0Leftrightarrow xin (-1;-frac{1}{2})cup (0;frac{4}{3})$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.2: Tập xác định của hàm số $f(x)={{({{x}^{2}}-3x+2)}^{-3}}-2sqrt{x}$ là

A. $(0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1;2}$ . B. $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )$ .

C. $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1;2}$ . D. $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1}$ .

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-3x+2ne 0\xge 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 2\xne 1\xge 0end{array} right.$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=text{ }!![!!text{ }0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1;2}$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.3: Tìm x để hàm số $y=log sqrt{{{x}^{2}}+x-12}$ xác định.

A. $xin (-infty ;-4)cup (3;+infty )$ . B. $xin (-4;3)$ .

C. $left{ begin{array}{l}xne -4\xne 3end{array} right.$ . D. $xin mathbb{R}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-12>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x>3\x<-4end{array} right.$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.4: Tập xác định của hàm số $y=frac{1}{sqrt{2-x}}+ln (x-1)$ là

A. $D=(1;2)$ . B. $D=(1;+infty )$ . C. $D=(0;+infty )$ . D. $D=text{ }!![!!text{ }1;2]$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2-x>0\x-1>0end{array} right.Leftrightarrow 1<x<2$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=ln ({{x}^{2}}-2mx+4)$ có tập xác định $D=mathbb{R}$ ?

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Đánh Giá Set Dưỡng Da Trà Xanh Innisfree 6 Món 2022 | Mytranshop.com

A. $-2<m<2$ . B. $left[ begin{array}{l}m>2\m<-2end{array} right.$ . C. $m>-2$ . D. $-2le mle 2$ .

Lời giải:

Hàm số có tập xác định là $mathbb{R}Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4>0,,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow Delta '={{m}^{2}}-4<0Leftrightarrow -2<m<2$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=frac{1}{sqrt{2mx+1-x}}+{{log }_{3}}sqrt{x-m}$ xác định trên $(2;3)$ .

A. $1le mle 2$ . B. $1<mle 2$ . C. $-1<m<2$ . D. $-1le mle 2$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2m+1-x>0\x-m>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<2m+1\x>mend{array} right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là $D=(m;2m+1)$ với $mge -1$ .

Hàm số xác định trên $(2;3)$ suy ra $(2;3)subset DLeftrightarrow left{ begin{array}{l}mle 2\mge 1end{array} right.$ .

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Tính đạo hàm – Sự biến thiên – Min, max

A. Phương pháp

– Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp:

– Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $KLeftrightarrow y'ge 0,forall xin K$ .

– Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $KLeftrightarrow y'le 0,forall xin K$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm các hàm số sau :

a) $y=left( {{x}^{2}}-2x+2 right){{e}^{x}}$ b) $y=frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}$

c) $y=ln left( {{x}^{2}}+1 right)$ d) $y=frac{ln x}{x}$

e) $y=left( 1+ln x right)ln x$

Lời giải:

a) $y=left( {{x}^{2}}-2x+2 right){{e}^{x}}Rightarrow y'=left( 2x-2 right){{e}^{x}}+left( {{x}^{2}}-2x+2 right){{e}^{x}}=left( {{x}^{2}} right){{e}^{x}}$

b) $y=frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}Rightarrow y'=frac{left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)-left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} right)left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} right)}{{{left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)}^{2}}}=frac{4}{{{left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)}^{2}}}$

c) $y=ln left( {{x}^{2}}+1 right)Rightarrow y'=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}$

d/ $y=frac{ln x}{x}Rightarrow y'=frac{1}{{{x}^{2}}}left( frac{1}{x}.x-ln x right)=frac{1-ln x}{{{x}^{2}}}$

e) $y=left( 1+ln x right)ln xRightarrow y'=frac{ln x}{x}+frac{1+ln x}{x}=frac{1+2ln x}{x}$

Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm các hàm số sau :

a. $y={{x}^{2}}ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)$ b. ${{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-x+1 right)$ c. $y=sqrt[3]{{{ln }^{2}}x}$

d. $y={{log }_{2}}left( frac{x-4}{x+4} right)$ e. $y={{log }_{3}}left( frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} right)$ f. $y=log left( frac{1-sqrt{x}}{2sqrt{x}} right)$

Lời giải:

a) $y={{x}^{2}}ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)Rightarrow y'=2x.ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)+frac{{{x}^{2}}x}{2left( {{x}^{2}}+1 right)}=2x.ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)+frac{{{x}^{3}}}{2left( {{x}^{2}}+1 right)}$ .

b) $y={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-x+1 right)Rightarrow y'=frac{2x-1}{left( {{x}^{2}}-x+1 right)ln 2}$ .

c) $y=sqrt[3]{{{ln }^{2}}x}Rightarrow y'=left[ {{left( ln x right)}^{frac{2}{3}}} right]'=frac{2}{3}{{left( ln x right)}^{-frac{1}{3}}}frac{1}{x}=frac{2}{3xsqrt[3]{ln x}}$ .

d) $y={{log }_{2}}left( frac{x-4}{x+4} right)Rightarrow y'=frac{1}{ln 2}left( frac{16}{{{left( x+4 right)}^{2}}}:frac{x-4}{x+4} right)=frac{16}{left( {{x}^{2}}-4 right)ln 2}$

e) $y={{log }_{3}}left( frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} right)Rightarrow y'=frac{1}{ln 3}left[ frac{2xleft( x+5 right)-{{x}^{2}}+9}{{{left( x+5 right)}^{2}}}:frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} right]=frac{{{x}^{2}}+10x+9}{left( x+5 right)left( {{x}^{2}}-9 right)ln 3}$

f) $y=log left( frac{1-sqrt{x}}{2sqrt{x}} right)Rightarrow y'=frac{1}{ln 10}left[ frac{left( sqrt{x}+1 right)}{16xsqrt{x}}:frac{1-sqrt{x}}{2sqrt{x}} right]=frac{left( sqrt{x}+1 right)}{8xln 10left( 1-sqrt{x} right)}$

Ví dụ 2.3 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y={{e}^{3-5x}}$ . B. $y={{left( frac{1}{2} right)}^{{{log }_{frac{1}{2}}}x}}$ . C. $y={{left( frac{1}{3} right)}^{x}}$ . D. ${{2}^{{{log }_{2}}(1-2x)}}$ .

Lời giải:

Ta có:

$y'=-5.{{e}^{3-5x}},<0Rightarrow y={{e}^{3-5x}}$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

$y={{left( frac{1}{2} right)}^{{{log }_{frac{1}{2}}}x}}=x$ là hàm số đồng biến trên tập xác định.

$y'={{left( frac{1}{3} right)}^{x}}.ln frac{1}{3}<0Rightarrow y={{left( frac{1}{3} right)}^{x}}$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

${{2}^{{{log }_{2}}(1-2x)}}=1-2x$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 2.4 (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang 2017 HK2) Gọi $m,M$ là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)={{e}^{2-3x}}$ trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;2]$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $M-m=e$ . B. $m+M=1$ . C. $m.M=frac{1}{{{e}^{2}}}$ . D. $frac{M}{m}={{e}^{2}}$ .

Lời giải:

Do $f(x)={{e}^{2-3x}}$ là hàm nghịch biến trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;2]$ nên $M=f(0)={{e}^{2}},,,m=f(2)={{e}^{-4}}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho hàm số $y=ln x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số trên $left[ frac{1}{2};2 right]$ .

A. $M=ln 2-1$ . B. $M=frac{7}{8}-ln 2$ .

C. $M=frac{7}{8}+ln 2$ . D. $M=frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Ta có $y'=frac{1}{x}-x=0Leftrightarrow x=pm 1$ .

$yleft( frac{1}{2} right)=frac{7}{8}-ln 2,,,y(2)=ln 2-1,,,y(1)=frac{1}{2}$ . Chọn D.

Ví dụ 2.6 (THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hóa 2017) Tìm tập hợp các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=ln ({{x}^{2}}+1)+mx+1$ đồng biến trên $(-infty ;+infty )$ .

A. $displaystyle text{ }!![!!text{ }1;+infty )$ . B. $(1;+infty )$ . C. $displaystyle text{ }!![!!text{ }-1;1]$ . D. $(-infty ;-1]$ .

Lời giải:

Ta có $y'=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+m=frac{m{{x}^{2}}+2x+m}{{{x}^{2}}+1}$ .

Hàm số đồng biến trên $(-infty ;+infty )$ khi và chỉ khi

$y'ge 0,,forall xLeftrightarrow m{{x}^{2}}+2x+mge 0,,forall xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}m>0\Delta '=1-{{m}^{2}}le 0end{array} right.Leftrightarrow mge 1$ . Chọn A.

Ví dụ 2.7: Xét các số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a>b>1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=log _{frac{a}{b}}^{2}left( {{a}^{2}} right)+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)$ .

A. ${{P}_{min }}=19$ . B. ${{P}_{min }}=13$ . C. ${{P}_{min }}=14$ . D. ${{P}_{min }}=15$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Hướng Dẫn Cách Làm Sinh Tố Giảm Cân Cho Người Đau Dạ Dày 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Với điều kiện đề bài, ta có

$P=log _{frac{a}{b}}^{2}left( {{a}^{2}} right)+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)={{left[ 2{{log }_{frac{a}{b}}}a right]}^{2}}+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)=4{{left[ {{log }_{frac{a}{b}}}left( frac{a}{b}.b right) right]}^{2}}+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)$

$=4{{left[ 1+{{log }_{frac{a}{b}}}b right]}^{2}}+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right).$

Đặt $t={{log }_{frac{a}{b}}}b>0$ (vì $a>b>1$ ), ta có $P=4{{left( 1+t right)}^{2}}+frac{3}{t}=4{{t}^{2}}+8t+frac{3}{t}+4=fleft( t right)$ .

Ta có ${f}'(t)=8t+8-frac{3}{{{t}^{2}}}=frac{8{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-3}{{{t}^{2}}}=frac{left( 2t-1 right)left( 4{{t}^{2}}+6t+3 right)}{{{t}^{2}}}$

Vậy ${f}'left( t right)=0Leftrightarrow t=frac{1}{2}$ . Khảo sát hàm số, ta có ${{P}_{min }}=fleft( frac{1}{2} right)=15$ . Chọn D.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

Ví dụ 3.1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y={{log }_{0,5}}x$ .

B. $y={{log }_{2}}x$ .

C. $y=-frac{1}{3}x-frac{1}{3}$ .

D. $y=-3x+1$ .

Lời giải:

Nhận thấy đây là đồ thị của hàm số logarit $y={{log }_{a}}x$ nên loại đáp án C, D.

Điểm $A(2;-1)$ thuộc đồ thị hàm số nên:

$-1={{log }_{a}}2Rightarrow {{a}^{-1}}=2Rightarrow a=0,5$ .

Ví dụ 3.2: Tìm $a$ để hàm số $y={{log }_{a}}x,,(0<ane 1)$ có đồ thị là hình bên dưới:

A. $a=sqrt{2}$ .

B. $a=2$ .

C. $a=frac{1}{2}$ .

D. $a=frac{1}{sqrt{2}}$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi qua $A(2;2)Rightarrow 2={{log }_{a}}2Rightarrow a=sqrt{2}$ . Chọn A.

Ví dụ 3.3: Biết hàm số $y={{2}^{x}}$ có đồ thị như hình bên.

Khi đó, hàm số $y={{2}^{|x|}}$ có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn đáp án dưới đây?

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y={{2}^{|x|}}$ là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.4: Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ để hàm số $y={{log }_{a}}x,,,(0<ane 1)$ có đồ thị là hình bên.

A. $a=frac{1}{2}$ .

B. $a=1+sqrt{2}$ .

C. $a=sqrt{2}$ .

D. $a=frac{1}{sqrt{2}}$ .

Lời giải:

Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến nên loại A và D.

– Đồ thị đã cho qua điểm $(2;2)$ nên chọn đáp án C.

Ví dụ 3.5: Đồ thị hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ không có phần nằm dưới trục hoành nên loại đáp án C.

Hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ xác định với mọi $x>0$ nên đồ thị hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ không cắt trục Oy.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.6: Hình bên là đồ thị của ba hàm số $y={{a}^{x}},,y={{b}^{x}},y={{c}^{x}},(0<a,b,cne 1)$ được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $a>b>c$ .

B. $b>a>c$ .

C. $b>c>a$ .

D. $a>c>b$ .

Lời giải:

Do $y={{log }_{a}}x$ và $y={{log }_{b}}x$ là hai hàm đồng biến nên $a,b>1$ .

Do $y={{log }_{c}}x$ nghịch biến nên $c<1$ . Vậy $c$ bé nhất.

Mặt khác, lấy $y=m$ , khi đó tồn tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}>0$ để $left{ begin{array}{l}{{log }_{a}}{{x}_{1}}=m\{{log }_{b}}{{x}_{2}}=mend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}{{a}^{m}}={{x}_{1}}\{{b}^{m}}={{x}_{2}}end{array} right.$ .

Dễ thấy ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow {{a}^{m}}<{{b}^{m}}Rightarrow a<b$ .

Vậy $b>a>c$ . Chọn B.

Dạng 4. Lãi suất ngân hàng

A. Phương pháp

* Lãi đơn:

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn: $T=M(1+r.n)$ .

Trong đó:

$T$ : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.

$M$ : Tiền gửi ban đầu.

$n$ : Số kỳ hạn tính lãi.

$r:$ Lãi suất định kì, tính theo %.

* Lãi kép:

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kì.

– Lãi kép gửi một lần: $T=M{{(1+r)}^{n}}$

Trong đó:

$T$ : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.

$M$ : Tiền gửi ban đầu.

$n$ : Số kỳ hạn tính lãi.

$r:$ Lãi suất định kì, tính theo %.

– Lãi kép gửi định kì

Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.

Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: ${{T}_{1}}=M$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Yogi Là Gì? Người Tập Yoga Như Thế Nào Được Gọi Là Yogi? 2022 | Mytranshop.com

Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:

$M(1+r)+M=Mleft[ (1+r)+1 right]=frac{M}{left[ (1+r)-1 right]}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right]=frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right]$

Cuối tháng thứ ba: $frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right](1+r)+frac{M}{r}.r=frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right]$ .

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là: ${{T}_{n}}=frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{n}}-1 right]$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Bác Hiếu đầu tư 99 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất $8,25%$ một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi ? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không đổi).

A. $displaystyle 48,155$ triệu đồng. B. $147,155$ triệu đồng.

C. $58,004$ triệu đồng. D. $8,7$ triệu đồng.

Lời giải:

Sau 5 năm bác Hiếu thu được số tiền lãi là $99[{{(1+frac{8,25}{100})}^{5}}-1]=48,155$ triệu đồng.

Chọn A.

Ví dụ 2.2: Cô Mai gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 3 tháng với lãi suất $5,28%$ một quý. Hỏi sau 8 năm cô Mai thu được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử rằng lãi suất hàng quý không đổi).

A. $318,355$ triệu đồng. B. $518,881$ triệu đồng.

C. $259,44$ triệu đồng. D. $9,8$ triệu đồng.

Lời giải:

Một kì là 3 tháng, suy ra 8 năm là $frac{8.12}{3}=32$ kì.

Sau 8 năm cô Mai thu được số tiền là $100{{(1+frac{5,28}{100})}^{32}}=518,881$ triệu đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.3: Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm ngưòi đó thu đuợc gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Gọi số tiền ban đầu là T số tiền (cả gốc lẫn lãi) sau n năm là $T.{{(1+0,084)}^{n}}$ (công thức lãi kép)

$T.{{(1+0,084)}^{n}}=2TLeftrightarrow n={{log }_{1+0,084}}2$ . Đáp án D.

Ví dụ 2.4 (Đề minh họa năm 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất $12%$ trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ống bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền $m$ mà ông A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.