Các quy tắc đạo hàm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A. Lí thuyết cơ bản

1. Quy tắc tính đạo hàm

a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

$displaystyle bullet text{ }({{u}_{1}}pm {{u}_{2}}pm ...pm {{u}_{n}})'=u_{1}^{'}pm u_{2}^{'}pm ...pm u_{n}^{'}$
$bullet$ $displaystyle (k.u(x))'=k.u'(x)$

$bullet$ $displaystyle (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$
$bullet$ $displaystyle ({{u}^{n}}(x))'=n{{u}^{n-1}}(x).u'(x)$

$bullet$ $displaystyle {{left( frac{u(x)}{v(x)} right)}^{'}}=frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{{{v}^{2}}(x)}$
$bullet$ $displaystyle left( frac{c}{u(x)} right)'=-frac{c.u'(x)}{{{u}^{2}}(x)}$ .

b) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số $displaystyle y=f(u(x))=f(u)$ với $displaystyle u=u(x)$ . Khi đó $displaystyle y{{'}_{x}}=y{{'}_{u}}.u{{'}_{x}}$ .

2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp

A. Phương pháp

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.

Chú ý: Rút gọn sau khi tính!

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+1$ b) $y=-{{x}^{3}}+3x+1$

c) $y=frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+1$ d) $y=-2{{x}^{4}}+frac{3}{2}{{x}^{2}}+1$

e) $y=frac{2x+1}{x-3}$ f) $y=frac{{{x}^{2}}-2x+2}{x+1}$

Lời giải:

a) Ta có: $y'={{left( -{{x}^{3}}+3x+1 right)}^{'}}=3{{x}^{2}}-6x+2$

b) Ta có: $y'={{left( -{{x}^{3}}+3x+1 right)}^{'}}=-3{{x}^{2}}+3$

c) Ta có: $y'={{left( frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+1 right)}^{'}}={{x}^{3}}-2x$

d) Ta có: $y'={{left( -2{{x}^{4}}+frac{3}{2}{{x}^{2}}+1 right)}^{'}}=-8{{x}^{3}}+3x$

e) Ta có: $y'=frac{(2x+1)'(x-3)-(x-3)'(2x+1)}{{{(x-3)}^{2}}}=frac{-7}{{{(x-3)}^{2}}}$

f) Ta có: $y'=frac{({{x}^{2}}-2x+2)'(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)(x+1)'}{{{(x+1)}^{2}}}$

$=frac{(2x-2)(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)}{{{(x+1)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}+2x-4}{{{left( x+1 right)}^{2}}}$ .

Nhận xét: Với hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d}$ ta có: $y'=frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}$ .

Ví dụ 1.2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $displaystyle y={{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2016}}$ b) $displaystyle y=sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}$

c) $displaystyle y=frac{5}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{4}}}$ d) $displaystyle y={{left( 2x+3 right)}^{21}}{{left( x-4 right)}^{23}}$

Lời giải:

a) Ta có $y'={{left[ {{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2016}} right]}^{'}}=2016.{{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{'}}.{{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2015}}$

$=2016.left( 2x+frac{3}{2sqrt{x}} right).{{left( 2{{x}^{2}}+3sqrt{x} right)}^{2015}}$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tư Vấn Chi Tiết Thiết Kế Nhà Có Tầng Hầm 2022 | Mytranshop.com

b) Ta có $y'={{left( sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2} right)}^{'}}=frac{{{left( 4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2 right)}^{'}}}{2sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}$ $=frac{12{{x}^{2}}+6x+2}{2sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}=frac{6{{x}^{2}}+3x+1}{sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}$ .

c) Ta có $y'={{left[ frac{5}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{4}}} right]}^{'}}=-frac{5.{{left[ {{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{4}} right]}^{'}}}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{8}}}$
$=-frac{20.2frac{1}{2sqrt{x}}.{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{3}}}{{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{8}}}=-frac{10}{sqrt{x}{{left( 2sqrt{x}+3 right)}^{5}}}$ .

d) Ta có $y'={{left[ {{left( 2x+3 right)}^{21}}{{left( x-4 right)}^{23}} right]}^{'}}$ $={{left[ {{left( 2x+3 right)}^{21}} right]}^{'}}.{{left( x-4 right)}^{23}}+{{left( 2x+3 right)}^{21}}.{{left[ {{left( x-4 right)}^{23}} right]}^{'}}$

$=21{{left( 2x+3 right)}^{'}}.{{left( 2x+3 right)}^{20}}.{{left( x-4 right)}^{23}}+{{left( 2x+3 right)}^{21}}.23{{left( x-4 right)}^{'}}.{{left( x-4 right)}^{22}}$

$=42{{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{23}}+23{{left( 2x+3 right)}^{21}}{{left( x-4 right)}^{22}}$

$={{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{22}}left[ 42left( x-4 right)+23left( 2x+3 right) right]$

$={{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{22}}left( 88x-99 right)$
$=11{{left( 2x+3 right)}^{20}}{{left( x-4 right)}^{22}}left( 8x-9 right)$

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác

A. Phương pháp

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.

Chú ý:

– Sử dụng công thức lượng giác để rút gọn

– Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=xcos x$ b) $y={{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{3}}$ c) $y={{sin }^{3}}left( 2x+1 right)$

d) $y=sin sqrt{2+{{x}^{2}}}$ e) $y=sqrt{sin x+2x}$ f) $y=2{{sin }^{2}}4x-3{{cos }^{3}}5x$

Lời giải:

a) $y=xcos x$ . Ta áp dụng đạo hàm tích.

$y'=x'cos x+x.{{left( cos x right)}^{/}}=cos x-xsin x$ .

b) $y={{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{3}}$ . Bước đầu tiên ta áp dụng công thức ${{left( {{u}^{alpha }} right)}^{/}}$ với $u=frac{sin x}{1+cos x}$

$y'=3{{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{2}}.{{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{/}}$

Tính: ${{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{/}}=frac{{{left( sin x right)}^{/}}left( 1+cos x right)-{{left( 1+cos x right)}^{/}}.sin x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}$ $=frac{cos xleft( 1+cos x right)+{{sin }^{2}}x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}$

$=frac{cos x+{{cos }^{2}}x+{{sin }^{2}}x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}=frac{1}{1+cos x}$ .

Vậy $y'=3{{left( frac{sin x}{1+cos x} right)}^{2}}.frac{1}{1+cos x}=frac{3{{sin }^{2}}x}{{{left( 1+cos x right)}^{3}}}$ .

c) $y={{sin }^{3}}left( 2x+1 right)$ . Bước đầu tiên áp dụng công thức ${{left( {{u}^{alpha }} right)}^{/}}$ với $u=sin left( 2x+1 right)$

Vậy $y'={{left( {{sin }^{3}}left( 2x+1 right) right)}^{/}}=3{{sin }^{2}}left( 2x+1 right).{{left( sin left( 2x+1 right) right)}^{/}}$ .

Tính ${{left( sin left( 2x+1 right) right)}^{/}}$ : Áp dụng ${{left( sin u right)}^{/}}$ , với $u=left( 2x+1 right)$

Ta được: ${{left( sin left( 2x+1 right) right)}^{/}}=cos left( 2x+1 right).{{left( 2x+1 right)}^{/}}=2cos left( 2x+1 right)$

$Rightarrow y'=3.{{sin }^{2}}left( 2x+1 right).2cos left( 2x+1 right)=6{{sin }^{2}}left( 2x+1 right)cos left( 2x+1 right)$

d) $y=sin sqrt{2+{{x}^{2}}}$ . Áp dụng công thức ${{left( sin u right)}^{/}}$ với $u=sqrt{2+{{x}^{2}}}$

$y'=cos sqrt{2+{{x}^{2}}}.{{left( sqrt{2+{{x}^{2}}} right)}^{/}}=cos sqrt{2+{{x}^{2}}}.frac{{{left( 2+{{x}^{2}} right)}^{/}}}{2sqrt{2+{{x}^{2}}}}$ $=frac{x}{sqrt{2+{{x}^{2}}}}.cossqrt{2+{{x}^{2}}}$ .

e) $y=sqrt{sin x+2x}$ . Áp dụng ${{left( sqrt{u} right)}^{/}}$ , với $u=sin x+2x$

$y'=frac{{{left( sin x+2x right)}^{/}}}{2sqrt{sin x+2x}}=frac{cos x+2}{2sqrt{sin x+2x}}$

f) $y=2{{sin }^{2}}4x-3{{cos }^{3}}5x$ . Bước đầu tiên áp dụng ${{left( u+v right)}^{/}}$

$y'={{left( 2{{sin }^{2}}4x right)}^{/}}-3{{left( {{cos }^{3}}5x right)}^{/}}$

Tính ${{left( {{sin }^{2}}4x right)}^{/}}$ : Áp dụng ${{left( {{u}^{alpha }} right)}^{/}}$ , với $u=sin 4x$ , ta được:

${{left( {{sin }^{2}}4x right)}^{/}}=2sin 4x.{{left( sin 4x right)}^{/}}=2sin 4x.cos 4x{{left( 4x right)}^{/}}=4sin 8x$ .

Tương tự: ${{left( {{cos }^{3}}5x right)}^{/}}=3{{cos }^{2}}5x.{{left( cos 5x right)}^{/}}=3{{cos }^{2}}5x.left( -sin 5x right).{{left( 5x right)}^{/}}$

$=-15{{cos }^{2}}5x.sin 5x=frac{15}{2}cos 5x.sin 10x$ .

Kết luận: $y'=8sin 8x+frac{45}{2}cos 5x.sin 10x$

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm

A. Phương pháp

Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bản vẽ nhà cấp 4 mái thái 2 phòng ngủ siêu khoa học 2022 | Mytranshop.com

“Cho hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ , hãy giải phương trình $displaystyle g(y,{y}')=0$ ”

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính đạo hàm $displaystyle {y}'$ .

Bước 2. Chuyển phương trình $displaystyle g(y,{y}')=0$ về phương trình đại số thông thường để giải.

Chú ý: Cho tam thức $displaystyle fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c,text{ }(ane 0)$

1/ $displaystyle f(x)>0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0\Delta <0end{array} right.$ 2/ $displaystyle f(x)ge 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0\Delta le 0end{array} right.$

3/ $displaystyle f(x)<0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a<0\Delta <0end{array} right.$ 4/ $displaystyle f(x)le 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a<0\Delta le 0end{array} right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Giải bất phương trình $f'(x)ge 0$ biết:

1. $f(x)=xsqrt{4-{{x}^{2}}}$ 2. $f(x)=x-2sqrt{{{x}^{2}}+12}$

3. $f(x)=sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ 4. $f(x)=sqrt[4]{{{x}^{2}}+1}-sqrt{x}$

Lời giải:

1. TXĐ: $D=left[ -2;2 right]$

Ta có: $f'(x)=sqrt{4-{{x}^{2}}}-frac{{{x}^{2}}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}}=frac{4-2{{x}^{2}}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}}$

Do đó: $f'(x)ge 0Leftrightarrow 4-2{{x}^{2}}ge 0Leftrightarrow -sqrt{2}le xle sqrt{2}$ .

2. TXĐ: $D=mathbb{R}$

Ta có: $f'(x)=1-frac{2x}{sqrt{{{x}^{2}}+12}}=frac{sqrt{{{x}^{2}}+12}-2x}{sqrt{{{x}^{2}}+12}}$

Suy ra: $f'(x)ge 0Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}+12}ge 2x$ (1)

$bullet$ Với $x<0$ thì (1) luôn đúng

$bullet$ Với $xge 0$ thì $(1)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0\{{x}^{2}}+12ge 4{{x}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow 0le xle 2$

Vậy bất phương trình $f'(x)ge 0$ có nghiệm $xle 2$ .

3. TXĐ: $D=mathbb{R}$

Ta có: $f'(x)=frac{2x-1}{2sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}+frac{2x+1}{2sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}$

Suy ra $f'(x)=0Leftrightarrow left( 1-2x right)sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=left( 1+2x right)sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}(1-2x)(1+2x)ge 0\{{(1-2x)}^{2}}left[ {{left( x+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4} right]={{left( 1+2x right)}^{2}}left[ {{left( x-frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4} right]end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-frac{1}{2}le xle frac{1}{2}\{{(1-2x)}^{2}}={{(1+2x)}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow x=0$ .

4. TXĐ: $D=left[ 0;+infty right)$

Ta có: $displaystyle f'(x)=frac{x}{2sqrt[4]{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}}-frac{1}{2sqrt{x}}$ .

$displaystyle f'(x)ge 0Leftrightarrow xsqrt{x}ge sqrt[4]{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}Leftrightarrow {{x}^{6}}ge {{({{x}^{2}}+1)}^{3}}$

$displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}ge {{x}^{2}}+1$ bất phương trình này vô nghiệm

Ví dụ 3.2: Tìm $m$ để các hàm số

a) $y=(m-1){{x}^{3}}-3(m+2){{x}^{2}}-6(m+2)x+1$ có $y'ge 0,text{ }forall xin mathbb{R}$

A. $mge 3$ B. $mge 1$ C. $mge 4$ D. $mge 4sqrt{2}$

b) $y=frac{m{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+(3m-1)x+1$ có $y'le 0,text{ }forall xin mathbb{R}$ .

A. $mle sqrt{2}$ B. $mle 2$ C. $mle 0$ D. $m<0$

Lời giải:

a) Ta có: $y'=3left[ (m-1){{x}^{2}}-2(m+2)x-2(m+2) right]$

Do đó $y'ge 0Leftrightarrow (m-1){{x}^{2}}-2(m+2)x-2(m+2)ge 0$ (1)

$bullet$ $m=1$ thì (1) $Leftrightarrow -6x-6ge 0Leftrightarrow xle -1$ nên $m=1$ (loại)

$bullet$ $mne 1$ thì (1) đúng với $forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=m-1>0\Delta 'le 0end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>1\(m+1)(4-m)le 0end{array} right.Leftrightarrow mge 4$

Vậy $mge 4$ là những giá trị cần tìm.

b) Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-2mx+3m-1$

Nên $y'le 0Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2mx+3m-1le 0$ (2)

$bullet$ $m=0$ thì (1) trở thành: $-1le 0$ đúng với $forall xin mathbb{R}$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Vợt Cầu Lông Z Speed 2022 | Mytranshop.com

$bullet$ $mne 0$ , khi đó (1) đúng với $forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=m<0\Delta 'le 0end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m<0\m(1-2m)le 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m<0\1-2mge 0end{array} right.Leftrightarrow m<0$

Vậy $mle 0$ là những giá trị cần tìm.

Các quy tắc đạo hàm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A. Lí thuyết cơ bản

1. Quy tắc tính đạo hàm

2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Leave a Comment Cancel reply