Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A. Lí thuyết cơ bản

1. Các tính chất thừa nhận

– Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
– Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
– Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
– Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
– Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .

– Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

2. Cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

– Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
– Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
– Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Các kí hiệu:

3. Hình chóp và hình tứ diện

a. Hình chóp

Trong mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ cho đa giác lồi $displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ . Lấy điểm $displaystyle S$ nằm ngoài $displaystyle left( alpha right)$ .

Lần lượt nối $displaystyle S$ với các đỉnh $displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ ta được $displaystyle n$ tam giác $displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ . Hình gồm đa giác $displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ và $displaystyle n$ tam giác $displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ được gọi là hình chóp , kí hiệu là $displaystyle S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ .

Ta gọi $displaystyle S$ là đỉnh, đa giác $displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ là đáy , các đoạn $displaystyle S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ là các cạnh bên, $displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ là các cạnh đáy, các tam giác $displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ là các mặt bên…

b. Hình Tứ diện

Cho bốn điểm $displaystyle A,B,C,D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $displaystyle ABC,ABD,$

$displaystyle ACD$ và $displaystyle left( BCD right)$ được gọi là tứ diện $displaystyle ABCD$ .

B. Bài tập

Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

A. Phương pháp:

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ , đáy $displaystyle ABCD$ là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm $displaystyle M$ thuộc cạnh $displaystyle SA$ . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Yoga 7 ngày giảm mỡ bụng hiệu quả đến khó tin 2022 | Mytranshop.com

a) $displaystyle left( SAC right)$ và $displaystyle left( SBD right)$

A.SC B.SB

C.SO trong đó $displaystyle O=ACcap BD$ D. $left{ S right}$

b) $displaystyle left( SAC right)$ và $displaystyle left( MBD right)$

A.SM B.MB

C.OM trong đó $displaystyle O=ACcap BD$ D.SD

c) $displaystyle left( MBC right)$ và $displaystyle left( SAD right)$

A.SM B.FM trong đó $F=BCcap AD$

C.SO trong $displaystyle O=ACcap BD$ D.SD

d) $displaystyle left( SAB right)$ và $displaystyle left( SCD right)$

A.SE trong đó $displaystyle E=ABcap CD$ B.FM trong đó $F=BCcap AD$

C.SO trong $displaystyle O=ACcap BD$ D.SD

Lời giải:

a) Gọi $displaystyle O=ACcap BD$

$displaystyle begin{array}{l}Rightarrow left{ begin{array}{l}Oin ACsubset left( SAC right)\Oin BDsubset left( SBD right)end{array} right.\Rightarrow Oin left( SAC right)cap left( SBD right)end{array}$ Lại có $displaystyle Sin left( SAC right)cap left( SBD right)$

$displaystyle Rightarrow SO=left( SAC right)cap left( SBD right)$ .

b) $displaystyle O=ACcap BD$

$displaystyle Rightarrow left{ begin{array}{l}Oin ACsubset left( SAC right)\Oin BDsubset left( MBD right)end{array} right.$

$displaystyle Rightarrow Oin left( SAC right)cap left( MBD right)$ .

Và $displaystyle Min left( SAC right)cap left( MBD right)Rightarrow OM=left( SAC right)cap left( MBD right)$ .

c) Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle F=BCcap ADRightarrow left{ begin{array}{l}Fin BCsubset left( MBC right)\Fin ADsubset left( SAD right)end{array} right.Rightarrow Fin left( MBC right)cap left( SAD right)$

Và $displaystyle Min left( MBC right)cap left( SAD right)Rightarrow FM=left( MBC right)cap left( SAD right)$

d) Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle E=ABcap CD$ , ta có $displaystyle SE=left( SAB right)cap left( SCD right)$ .

Ví dụ 2. Cho tứ diện $displaystyle ABCD$ , $displaystyle O$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $displaystyle BCD$ , $displaystyle M$ là điểm trên đoạn $displaystyle AO$

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $displaystyle left( MCD right)$ với các mặt phẳng $displaystyle left( ABC right)$ .

A. PC trong đó $displaystyle P=DCcap AN$ , $displaystyle N=DOcap BC$

B. PC trong đó $displaystyle P=DMcap AN$ , $displaystyle N=DAcap BC$

C. PC trong đó $displaystyle P=DMcap AB$ , $displaystyle N=DOcap BC$

D.PC trong đó $displaystyle P=DMcap AN$ , $displaystyle N=DOcap BC$

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $displaystyle left( MCD right)$ với các mặt phẳng $displaystyle left( ABD right)$ .

A.DR trong đó $displaystyle R=CMcap AQ$ , $displaystyle Q=CAcap BD$

B. DR trong đó $displaystyle R=CBcap AQ$ , $displaystyle Q=COcap BD$

C. DR trong đó $displaystyle R=CMcap AQ$ , $displaystyle Q=COcap BA$

D. DR trong đó $displaystyle R=CMcap AQ$ , $displaystyle Q=COcap BD$

c) Gọi $displaystyle I,J$ là các điểm tương ứng trên các cạnh $displaystyle BC$ và $displaystyle BD$ sao cho $displaystyle IJ$ không song song với $displaystyle CD$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $displaystyle left( IJM right)$ và $displaystyle left( ACD right)$ .

A.FG trong đó $displaystyle F=IJcap CD$ , $displaystyle G=KMcap AE$ , $displaystyle K=BEcap IA$ , $displaystyle E=BOcap CD$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bí quyết trẻ hóa làn da cực hiệu quả, cho da đẹp không tì vết 2022 | Mytranshop.com

B. FG trong đó $displaystyle F=IAcap CD$ , $displaystyle G=KMcap AE$ , $displaystyle K=BAcap IJ$ , $displaystyle E=BOcap CD$

C. FG trong đó $displaystyle F=IJcap CD$ , $displaystyle G=KMcap AE$ , $displaystyle K=BAcap IJ$ , $displaystyle E=BOcap CD$

D. FG trong đó $displaystyle F=IJcap CD$ , $displaystyle G=KMcap AE$ , $displaystyle K=BEcap IJ$ , $displaystyle E=BOcap CD$

Lời giải:

a) Trong $displaystyle left( BCD right)$ gọi $displaystyle N=DOcap BC$ , trong $displaystyle left( ADN right)$ gọi $displaystyle P=DMcap AN$ $displaystyle Rightarrow left{ begin{array}{l}Pin DMsubset left( CDM right)\Pin ANsubset left( ABC right)end{array} right.$

$displaystyle Rightarrow Pin left( CDM right)cap left( ABC right)$

Lại có $displaystyle Cin left( CDM right)cap left( ABC right)Rightarrow PC=left( CDM right)cap left( ABC right)$ .

b)Tương tự, trong $displaystyle left( BCD right)$ gọi $displaystyle Q=COcap BD$ , trong $displaystyle left( ACQ right)$ gọi $displaystyle R=CMcap AQ$

$displaystyle Rightarrow left{ begin{array}{l}Rin CMsubset left( CDM right)\Rin AQsubset left( ABD right)end{array} right.Rightarrow Rin left( CDM right)cap left( ABD right)$

$displaystyle D$ là điểm chung thứ hai của $displaystyle left( MCD right)$ và $displaystyle left( ABD right)$ nên $displaystyle DR=left( CDM right)cap left( ABD right)$ .

c) Trong $displaystyle left( BCD right)$ gọi $displaystyle E=BOcap CD,F=IJcap CD$ , $displaystyle K=BEcap IJ$ ; trong $displaystyle left( ABE right)$ gọi $displaystyle G=KMcap AE$ .

Có $displaystyle left{ begin{array}{l}Fin IJsubset left( IJM right)\Fin CDsubset left( ACD right)end{array} right.Rightarrow Fin left( IJM right)cap left( ACD right)$ , $displaystyle left{ begin{array}{l}Gin KMsubset left( IJM right)\Gin AEsubset left( ACD right)end{array} right.$

$displaystyle Rightarrow Gin left( IJM right)cap left( ACD right)$ . Vậy $displaystyle FG=left( IJM right)cap left( ACD right)$ .

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

A. Phương pháp

Để tìm giao điểm của đường thẳng $displaystyle d$ và mặt phẳng $displaystyle left( P right)$ ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu trong $displaystyle left( P right)$ có sẵn một đường thẳng $displaystyle d'$ cắt $displaystyle d$ tại $displaystyle M$ , khi đó $displaystyle left{ begin{array}{l}Min d\Min d'subset left( P right)end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}Min d\Min left( P right)end{array} right.Rightarrow M=dcap left( P right)$

Trường hợp 2. Nếu trong $displaystyle left( P right)$ chưa có sẵn $displaystyle d'$ cắt $displaystyle d$ thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng $displaystyle left( Q right)$ chứa $displaystyle d$

Bước 2: Tìm giao tuyến $displaystyle Delta =left( P right)cap left( Q right)$

Bước 3: Trong $displaystyle left( Q right)$ gọi $displaystyle M=dcap Delta$ thì $displaystyle M$ chính là giao điểm của $displaystyle dcap left( P right)$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác $displaystyle S.ABCD$ với đáy $displaystyle ABCD$ có các cạnh đối diện không song song với nhau và $displaystyle M$ là một điểm trên cạnh $displaystyle SA$ .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $displaystyle SB$ với mặt phẳng $displaystyle left( MCD right)$ .

A.Điểm H, trong đó $displaystyle E=ABcap CD$ , $displaystyle H=SAcap EM$

B. Điểm N, trong đó $displaystyle E=ABcap CD$ , $displaystyle N=SBcap EM$

C. Điểm F, trong đó $displaystyle E=ABcap CD$ , $displaystyle F=SCcap EM$

D. Điểm T, trong đó $displaystyle E=ABcap CD$ , $displaystyle T=SDcap EM$

b) Tìm giao điểm của đường thẳng $displaystyle MC$ và mặt phẳng $displaystyle left( SBD right)$ .

A. Điểm H, trong đó $displaystyle I=ACcap BD$ , $displaystyle H=MAcap SI$

B. Điểm F, trong đó $displaystyle I=ACcap BD$ , $displaystyle F=MDcap SI$

C. Điểm K, trong đó $displaystyle I=ACcap BD$ , $displaystyle K=MCcap SI$

D. Điểm V, trong đó $displaystyle I=ACcap BD$ , $displaystyle V=MBcap SI$

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng $displaystyle left( ABCD right)$ , gọi $displaystyle E=ABcap CD$ .

Trong $displaystyle left( SAB right)$ gọi.

Ta có $displaystyle Nin EMsubset left( MCD right)Rightarrow Nin left( MCD right)$ và $displaystyle Nin SB$ nên $displaystyle N=SBcap left( MCD right)$ .

b) Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle I=ACcap BD$ .

Trong $displaystyle left( SAC right)$ gọi $displaystyle K=MCcap SI$ .

Ta có $displaystyle Kin SIsubset left( SBD right)$ và $displaystyle Kin MC$ nên $displaystyle K=MCcap left( SBD right)$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác $displaystyle S.ABCD$ , $displaystyle M$ là một điểm trên cạnh $displaystyle SC$ , $displaystyle N$ là trên cạnh $displaystyle BC$ . Tìm giao điểm của đường thẳng $displaystyle SD$ với mặt phẳng $displaystyle left( AMN right)$ .

A.Điểm K, trong đó $displaystyle K=IJcap SD$ , $displaystyle I=SOcap AM$ , $displaystyle O=ACcap BD,J=ANcap BD$

B. Điểm H, trong đó $displaystyle H=IJcap SA$ , $displaystyle I=SOcap AM$ , $displaystyle O=ACcap BD,J=ANcap BD$

C. Điểm V, trong đó $displaystyle V=IJcap SB$ , $displaystyle I=SOcap AM$ , $displaystyle O=ACcap BD,J=ANcap BD$

D. Điểm P, trong đó $displaystyle P=IJcap SC$ , $displaystyle I=SOcap AM$ , $displaystyle O=ACcap BD,J=ANcap BD$

Lời giải:

Trong mặt phẳng $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle O=ACcap BD,J=ANcap BD$ .

Trong $displaystyle left( SAC right)$ gọi $displaystyle I=SOcap AM$ và $displaystyle K=IJcap SD$ .

Ta có $displaystyle Iin AMsubset left( AMN right),Jin ANsubset left( AMN right)$

$displaystyle Rightarrow IJsubset left( AMN right)$ .

Do đó $displaystyle Kin IJsubset left( AMN right)Rightarrow Kin left( AMN right)$ .

Vậy $displaystyle K=SDcap left( AMN right)$

Dạng 3: Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp

A. Phương pháp

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Khởi nghiệp với mô hình nuôi chim yến và những điều cần biết 2022 | Mytranshop.com

Để xác định thiết diện của hình chóp $displaystyle S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ cắt bởi mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ , ta tìm giao điểm của mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của $displaystyle left( alpha right)$ với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp)

Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác $displaystyle S.ABCD$ , có đáy là hình thang với $displaystyle AD$ là đáy lớn và $displaystyle P$ là một điểm trên cạnh $displaystyle SD$ .

a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $displaystyle (PAB)$ là hình gì?

A. Tam giác

B. Tứ giác

C.Hình thang

D.Hình bình hành

b) Gọi $displaystyle M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $displaystyle AB,BC$ . Thiết diện của hình chóp cắt bởi $displaystyle left( MNP right)$ là hình gì?

A. Ngũ giác

B. Tứ giác

C.Hình thang

D.Hình bình hành

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng $displaystyle left( ABCD right)$ , gọi $displaystyle E=ABcap CD$ .

Trong mặt phẳng $displaystyle left( SCD right)$ gọi $displaystyle Q=SCcap EP$ .

Ta có $displaystyle Ein AB$ nên $displaystyle EPsubset left( ABP right)Rightarrow Qin left( ABP right)$ , do đó $displaystyle Q=SCcap left( ABP right)$ .

Thiết diện là tứ giác $displaystyle ABQP$ .

b)Trong mặt phẳng $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle F,G$ lần lượt là các giao điểm của $displaystyle MN$ với $displaystyle AD$ và $displaystyle CD$

Trong mặt phẳng $displaystyle left( SAD right)$ gọi $displaystyle H=SAcap FP$

Trong mặt phẳng $displaystyle left( SCD right)$ gọi $displaystyle K=SCcap PG$ .

Ta có $displaystyle Fin MNRightarrow Fin left( MNP right)$ , $displaystyle Rightarrow FPsubset left( MNP right)Rightarrow Hin left( MNP right)$

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}Hin SA\Hin left( MNP right)end{array} right.Rightarrow H=SAcap left( MNP right)$

Tương tự $displaystyle K=SCcap left( MNP right)$ .

Thiết diện là ngũ giác $displaystyle MNKPH$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là một hình bình hành tâm $displaystyle O$ . Gọi $displaystyle M,N,P$ là ba điểm trên các cạnh $displaystyle AD,CD,SO$ . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $displaystyle (MNP)$ là hình gì?

A. Ngũ giác

B. Tứ giác

C. Hình thang

D. Hình bình hành

Lời giải:

Trong mặt phẳng $displaystyle (ABCD)$ gọi $displaystyle E,K,F$ lần lượt là giao điểm của $displaystyle MN$ với $displaystyle DA,DB,DC$ .

Trong mặt phẳng $displaystyle left( SDB right)$ gọi $displaystyle H=KPcap SB$

Trong mặt phẳng $displaystyle left( SAB right)$ gọi $displaystyle T=EHcap SA$

Trong mặt phẳng $displaystyle left( SBC right)$ gọi $displaystyle R=FHcap SC$ .

Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}Ein MN\Hin KPend{array} right.Rightarrow EHsubset left( MNP right)$ , $displaystyle left{ begin{array}{l}Tin SA\Tin EHsubset left( MNP right)end{array} right.Rightarrow T=SAcap left( MNP right)$ .

Lí luận tương tự ta có $displaystyle R=SCcap left( MNP right)$ .

Thiết diện là ngũ giác $displaystyle MNRHT$ .

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A. Lí thuyết cơ bản

1. Các tính chất thừa nhận

2. Cách xác định mặt phẳng

3. Hình chóp và hình tứ diện

B. Bài tập

Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3: Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp

Leave a Comment Cancel reply