Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A. Lí thuyết cơ bản

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên $displaystyle left( a;text{ }b right)$ và $displaystyle {{x}_{0}}in left( a;text{ }b right)$ .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $displaystyle underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=fleft( x right)$ tại $displaystyle {{x}_{0}}$ được kí hiệu là y'(x0) hoặc f'(x0), tức là $displaystyle {f}'({{x}_{0}})=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ .

Chú ý:

– Số gia đối số là: $Delta ,x,=,x-{{x}_{o}}$
– Số gia tương ứng của hàm số là: $Delta ,y,=,fleft( x right),-,fleft( {{x}_{o}} right)$ , khi đó $displaystyle {y}'=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}$ .

2. Đạo hàm một bên

Đạo hàm bên trái của hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ tại điểm $displaystyle {{x}_{0}}$ , kí hiệu là $displaystyle {f}'(x_{0}^{-})$ được định nghĩa là:

$displaystyle {f}'(x_{0}^{-})=underset{Delta xto {{0}^{-}}}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}=underset{xto {{x}_{0}}^{-}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

trong đó $displaystyle xto x_{0}^{-}$ được hiểu là $displaystyle xto x_{0}^{{}}$ và $displaystyle x<x_{0}^{{}}$ .

Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm $displaystyle {{x}_{0}}$ , kí hiệu là được định nghĩa là:

$displaystyle {f}'(x_{0}^{+})=underset{Delta xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}=underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

trong đó được hiểu là và .

Nhận xét: Hàm $displaystyle f(x)$ có đạo hàm tại $displaystyle {{x}_{0}}Leftrightarrow exists text{ }f(x_{0}^{+})$ và $displaystyle f'(x_{0}^{-})$ đồng thời $displaystyle f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-})$ .

3. Đạo hàm trên một khoảng

$bullet$ Hàm số $displaystyle f(x)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $displaystyle (a;b)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $displaystyle (a;b)$ .

$bullet$ Hàm số $displaystyle f(x)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ }$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $displaystyle (a;b)$ đồng thời tồn tại đạo hàm trái $displaystyle f'({{b}^{-}})$ và đạo hàm phải $displaystyle f'({{a}^{+}})$ .

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí: Nếu hàm số $displaystyle f(x)$ có đạo hàm tại $displaystyle {{x}_{0}}$ thì $displaystyle f(x)$ liên tục tại $displaystyle {{x}_{0}}$ .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm $displaystyle {{x}_{0}}$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại $displaystyle {{x}_{0}}$ .

Chẳng hạn: Xét hàm $displaystyle f(x)=left| x right|$ liên tục tại $displaystyle x=0$ nhưng không liên tục tại điểm đó.

Vì $displaystyle underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(0)}{x}=1$ , còn $displaystyle underset{xto {{0}^{-}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(0)}{x}=-1$ .

5. Ý nghĩa của đạo hàm

Cho đường cong phẳng $displaystyle left( C right)$ và một điểm cố định $displaystyle {{M}_{0}}$ trên $displaystyle left( C right)$ , M là điểm di động trên $displaystyle left( C right)$ . Khi đó $displaystyle {{M}_{0}}M$ là một cát tuyến của $displaystyle left( C right)$ .

Định nghĩa:
Nếu cát tuyến $displaystyle {{M}_{0}}M$ có vị trí giới hạn $displaystyle {{M}_{0}}T$ khi điểm $displaystyle M$ di chuyển trên $displaystyle left( C right)$ và dần tới điểm $displaystyle {{M}_{0}}$ thì đường thẳng $displaystyle {{M}_{0}}T$ được gọi là tiếp tuyến của đường cong $displaystyle left( C right)$ tại điểm $displaystyle {{M}_{0}}$ . Điểm $displaystyle {{M}_{0}}$ được gọi là tiếp điểm.

Cho hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ xác định trên khoảng $displaystyle left( a;text{ }b right)$ và có đạo hàm tại $displaystyle {{x}_{0}}in left( a;text{ }b right)$ , gọi $displaystyle left( C right)$ là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số $displaystyle fleft( x right)$ tại điểm $displaystyle {{x}_{0}}$ là hệ số góc của tiếp tuyến $displaystyle {{M}_{0}}T$ của $displaystyle left( C right)$ tại điểm $displaystyle {{M}_{0}}left( {{x}_{0}};text{ }f({{x}_{0}}) right)$

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $displaystyle left( C right)$ của hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ tại điểm $displaystyle {{M}_{0}}left( {{x}_{0}};text{ }f({{x}_{0}}) right)$ là:

$y-{{y}_{o}}=f'left( x right)(x-{{x}_{o}})$

b) Ý nghĩa vật lí:

Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $displaystyle s=fleft( t right)$ , với $displaystyle fleft( t right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $displaystyle {{t}_{0}}$ là đạo hàm của hàm số $displaystyle s=fleft( t right)$ tại $displaystyle {{t}_{0}}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tắm trắng ở đâu tốt? 2022 | Mytranshop.com

$displaystyle vleft( {{t}_{0}} right)={s}'left( {{t}_{0}} right)={f}'left( {{t}_{0}} right)$

Cường độ tức thời: Điện lượng $displaystyle Q$ truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: $displaystyle Q=fleft( t right)$ , với $displaystyle fleft( t right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số $displaystyle Q=fleft( t right)$ tại $displaystyle {{t}_{0}}$ .

$displaystyle Ileft( {{t}_{0}} right)={Q}'left( {{t}_{0}} right)={f}'left( {{t}_{0}} right)$

B. Bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp

$bullet$ $f'({{x}_{0}})=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

$bullet$ $f'(x_{0}^{+})=underset{xto x_{0}^{+}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

$bullet$ $f'(x_{0}^{-})=underset{xto x_{0}^{-}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

$bullet$ Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x={{x}_{0}}Leftrightarrow f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-})$

$bullet$ Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

1. $displaystyle f(x)=2{{x}^{3}}+1$ tại $displaystyle x=2$ 2. $displaystyle f(x)=sqrt{{{x}^{2}}+1}$ tại $displaystyle x=1$

3. $displaystyle f(x)=left{ begin{array}{l}frac{sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}-1}{x}text{ khi }xne 0\0text{ khi }x=0text{ }end{array} right.$ tại $displaystyle x=0$

Lời giải:

1. Ta có $displaystyle underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(2)}{x-2}=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{2{{x}^{3}}-16}{x-2}=underset{xto 2}{mathop{lim }},2({{x}^{2}}+2x+4)=24$ $displaystyle Rightarrow f'(2)=24$ .

2. Ta có : $displaystyle f'(1)=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(1)}{x-1}=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{2}}+1}-sqrt{2}}{x-1}$

$displaystyle =underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(sqrt{{{x}^{2}}+1}+sqrt{2})}=frac{1}{sqrt{2}}$ .

3. Ta có $displaystyle f(0)=0$ , do đó:

$displaystyle underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(0)}{x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}-1}{{{x}^{2}}}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{x+1}{sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}+1}=frac{1}{2}$

Vậy $displaystyle f'(0)=frac{1}{2}$ .

Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hàm số $displaystyle f(x)=frac{2{{x}^{2}}+left| x+1 right|}{x-1}$ liên tục tại $displaystyle x=-1$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải:

Vì hàm $displaystyle f(x)$ xác định tại $displaystyle x=-1$ nên nó liên tục tại đó.

Ta có: $displaystyle f'(-{{1}^{+}})=underset{xto -{{1}^{+}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=underset{xto -{{1}^{+}}}{mathop{lim }},frac{2x}{x-1}=1$

$displaystyle f'(-{{1}^{-}})=underset{xto -{{1}^{-}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=underset{xto -{{1}^{-}}}{mathop{lim }},2=2$

$displaystyle Rightarrow f'(-{{1}^{+}})ne f'(-{{1}^{-}})Rightarrow f(x)$ không có đạo hàm tại $displaystyle x=-1$ .

Ví dụ 1.3: Tìm $a$ để hàm số $displaystyle fleft( x right)=left{ begin{array}{l}frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}text{ khi }xne 1\atext{ khi }x=1end{array} right.$ có đạo hàm tại $displaystyle x=1$

Lời giải:

Để hàm số có đạo hàm tại $displaystyle x=1$ thì trước hết $displaystyle f(x)$ phải liên tục tại $displaystyle x=1$

Hay $displaystyle underset{xto 1}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=2=f(1)=a$ .

Khi đó, ta có: $displaystyle underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(1)}{x-1}=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}-2}{x-1}=1$ .

Vậy $displaystyle a=2$ là giá trị cần tìm.

Dạng 2.Tiếp tuyến

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): $y=f(x)$ tại tiếp điểm M $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ có dạng:

Áp dụng trong các trường hợp sau:

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho hàm số $displaystyle y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm $displaystyle text{M}left( -text{1};text{3} right)$ ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;

3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ; 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ;

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định $displaystyle D=mathbb{R}$ .

Ta có: $displaystyle y'=3{{x}^{2}}+6x$

1. Phương trình tiếp tuyến $displaystyle left( t right)$ tại $displaystyle text{M}left( -text{1};text{3} right)$ có phương trình : $displaystyle y=y'left( -1 right)left( x+1 right)+3$

Ta có: $displaystyle y'left( -1 right)=-3$ , khi đó phương trình $displaystyle left( t right)$ là: $displaystyle y=-3x+6$

2. Thay $displaystyle x=2$ vào đồ thị của (C) ta được $displaystyle y=21$ .

Tương tự câu 1, phương trình $displaystyle left( t right)$ là: $displaystyle y=24x-27$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tập cổ tay khỏe và to ra nhanh chóng nhờ 7 bài tập tay sau 2022 | Mytranshop.com

3. Thay $displaystyle y=1$ vào đồ thị của (C) ta được $displaystyle {{x}^{2}}left( x+3 right)=0Leftrightarrow x=0$ hoặc $displaystyle x=-3$ .

Tương tự câu 1, phương trình $displaystyle left( t right)$ là: $displaystyle y=1$ , $displaystyle y=9x+28$

4. Trục tung Oy : $displaystyle x=0Rightarrow y=1$ .Tương tự câu 1, phương trình $displaystyle left( t right)$ là: $displaystyle y=1$

Ví dụ 1.2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+left( m+1 right)x+1$ (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ $x=-1$ đi qua điểm $Aleft( 1;2 right)$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}$

$y'=f'left( x right)=3{{x}^{2}}+6mx+m+1$

Với ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=2m-1,f'left( -1 right)=-5m+4$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $Mleft( -1;2m-1 right):y=left( -5m+4 right)left( x+1 right)+2m-1left( d right)$

Ta có $Aleft( 1;2 right)in left( d right)Leftrightarrow left( -5m+4 right).2+2m-1=2Leftrightarrow m=frac{5}{8}$

Ví dụ 1.3: Cho hàm số $y=frac{3x+1}{x+1}$ (1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm $Mleft( -2;5 right)$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}backslash left{ -1 right}$ . Có $y'=frac{2}{{{left( x+1 right)}^{2}}}$ .

Phương trình tiếp tuyến $left( d right)$ tại điểm $Mleft( -2;5 right)$ : $y=2left( x+2 right)+5Leftrightarrow y=2x+9$

Gọi A là giao điểm của d và trục hoành $Rightarrow {{y}_{A}}=0Rightarrow {{x}_{A}}=-frac{9}{2}$ , vậy $Aleft( -frac{9}{2};0 right)$

Gọi B là giao điểm của d và trục tung $Rightarrow {{x}_{B}}=0Rightarrow {{y}_{B}}=9$ , vậy $Bleft( 0;9 right)$

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên ${{S}_{Delta OAB}}=frac{1}{2}OA.OB=frac{1}{2}left| -frac{9}{2} right|left| 9 right|=frac{81}{4}$ .

Nhận xét:
Viết PTTT Δ của $left( C right):y=fleft( x right)$ , biết Δ cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của $left( C right):y=fleft( x right)$ , biết Δ có hệ số góc k cho trước

– Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tiếp điểm. Tính $y'Rightarrow y'left( {{x}_{0}} right)$

– Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k $Rightarrow y'left( {{x}_{0}} right)=k$ (i)

– Giải (i) tìm được ${{x}_{0}}xrightarrow[{}]{{}}{{y}_{0}}=fleft( {{x}_{0}} right)xrightarrow[{}]{{}}Delta :y=kleft( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}$

Lưu ý: Hệ số góc $k=y'left( {{x}_{0}} right)$ của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau:

– Phương trình tiếp tuyến $Delta //d:y=ax+bRightarrow k=a$

– Phương trình tiếp tuyến $Delta bot d:y=ax+bRightarrow k=-frac{1}{a}$

– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với trục hoành góc $alpha Rightarrow left| k right|=tan alpha$

– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với $d:y=ax+b$ góc $alpha Rightarrow left| frac{k-a}{1+k.a} right|=tan alpha$ .

B. Bài tập ví dụ

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}$ . Ta có: $y'=f'left( x right)=frac{4}{{{left( 1-x right)}^{2}}}$

a). Có $left( d right):x-4y-21=0Leftrightarrow y=frac{1}{4}x-frac{21}{4}Rightarrow {{k}_{d}}=frac{1}{4}$

Vì tiếp tuyến song song với d nên ${{k}_{tt}}={{k}_{d}}=frac{1}{4}$

Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có $f'left( {{x}_{0}} right)={{k}_{tt}}Leftrightarrow frac{4}{{{left( 1-{{x}_{0}} right)}^{2}}}=frac{1}{4}$

$Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}=16Leftrightarrow {{x}_{0}}=5vee {{x}_{0}}=-3$

Với ${{x}_{0}}=5Rightarrow {{y}_{0}}=-4$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: $y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}$

$Leftrightarrow y=frac{1}{4}left( x-5 right)-4Leftrightarrow y=frac{1}{4}x-frac{21}{4}$ (loại, vì trùng với d)

Với ${{x}_{0}}=-3Rightarrow {{y}_{0}}=-2$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: $y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}$

$Leftrightarrow y=frac{1}{4}left( x+3 right)-2Leftrightarrow y=frac{1}{4}x-frac{5}{4}$ .

b). $left( Delta right):2x+2y-9=0Leftrightarrow y=-x+frac{9}{2}Rightarrow {{k}_{Delta }}=-1$

Vì tiếp tuyến vuông góc với Δ nên ${{k}_{tt}}.{{k}_{Delta }}=-1Rightarrow {{k}_{tt}}=1$

Gọi $Nleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có $f'left( {{x}_{0}} right)={{k}_{tt}}Leftrightarrow frac{4}{{{left( 1-{{x}_{0}} right)}^{2}}}=1$

$Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}=4Leftrightarrow {{x}_{0}}=3vee {{x}_{0}}=-1$ .

Với ${{x}_{0}}=3Rightarrow {{y}_{0}}=-5$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là $y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}$

$Leftrightarrow y=-1left( x-3 right)-5Leftrightarrow y=-x-2$

Với ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=-1$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là $y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}$

$Leftrightarrow y=-1left( x+1 right)-1Leftrightarrow y=-x-2$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tác Dụng Của Sữa Bí Đỏ Tăng Cân Không Ngờ 2022 | Mytranshop.com

c). $left( d right):x-2y+5=0Leftrightarrow y=frac{1}{2}x+frac{5}{2}Rightarrow {{k}_{d}}=frac{1}{2}$

Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có $left| frac{{{k}_{tt}}-{{k}_{d}}}{1+{{k}_{tt}}{{k}_{d}}} right|=tan 30{}^circ$

$left| frac{{{k}_{tt}}-frac{1}{2}}{1+frac{1}{2}{{k}_{tt}}} right|=frac{1}{sqrt{3}}Leftrightarrow 3{{left( {{k}_{tt}}-frac{1}{2} right)}^{2}}={{left( 1+frac{1}{2}{{k}_{tt}} right)}^{2}}$ $Leftrightarrow frac{11}{4}k_{tt}^{2}-4{{k}_{tt}}-frac{1}{4}=0$

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}$ . Ta có $y'={{x}^{2}}-mx$

Điểm thuộc $left( {{C}_{m}} right)$ có hoành độ $x=-1$ là $Mleft( -1;-frac{m}{2} right)$

Phương trình tiếp tuyến của $left( {{C}_{m}} right)$ tại M là:

$left( Delta right):y=f'left( 1 right)left( x+1 right)-frac{m}{2}Leftrightarrow y=left( m+1 right)x+frac{m+2}{2}$

Để Δ song song với $d:5x-y=0Leftrightarrow y=5x$ khi và chỉ khi: $left{ begin{array}{l}m+1=5\m+2ne 0end{array} right.Leftrightarrow m=4$

Kết luận $m=4$ .

Ví dụ 3: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+5left( C right)$ . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có $y'=f'left( x right)=3{{x}^{2}}+6x-9$

Gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy $f'left( {{x}_{0}} right)=3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-9$

Ta có $3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-9=3left( x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+1 right)-12$ $=3{{left( {{x}_{0}}+1 right)}^{2}}-12ge -12,forall {{x}_{0}}in left( C right)$

Vậy $min f'left( {{x}_{0}} right)=-12$ tại ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=16$

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y=-12left( x+1 right)+16Leftrightarrow y=-12x+4$

Ví dụ 4: Cho hàm số $y=frac{x+2}{2x+3}$ (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Lời giải:

Tập xác định $D=Rbackslash left{ -frac{3}{2} right}$ . Ta có $y'=f'left( x right)=frac{-1}{{{left( 2x+3 right)}^{2}}}$

Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 45°.

Vậy có ${{k}_{tt}}=pm tan 45{}^circ Leftrightarrow {{k}_{tt}}=pm 1$

Gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có $f'left( {{x}_{0}} right)=pm 1$

Với $f'left( {{x}_{0}} right)=1Leftrightarrow frac{-1}{{{left( 2{{x}_{0}}+3 right)}^{2}}}=1$ (phương trình vô nghiệm)

Với $f'left( {{x}_{0}} right)=-1Leftrightarrow frac{-1}{{{left( 2{{x}_{0}}+3 right)}^{2}}}=-1$ $Leftrightarrow {{left( 2{{x}_{0}}+3 right)}^{2}}=1Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1vee {{x}_{0}}=-2$

Với ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=1$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này $y=-1left( x+1 right)+1Leftrightarrow y=-x$ . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.

Với ${{x}_{0}}=-2Rightarrow {{y}_{0}}=0$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này $y=-1left( x+2 right)Leftrightarrow y=-x-2$

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của $left( C right):y=fleft( x right)$ , biết Δ đi qua (kẻ từ) điểm $Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right)$

– Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tiếp điểm. Tính ${{y}_{0}}=fleft( {{x}_{0}} right)$ và $k=y'left( {{x}_{0}} right)$ theo ${{x}_{0}}$ .

– Phương trình tiếp tuyến Δ tại $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là $Delta :y=kleft( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}$

– Do $Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right)in Delta Rightarrow {{y}_{A}}=kleft( {{x}_{A}}-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}$ (i)

– Giải phương trình (i) $xrightarrow[{}]{{}}{{x}_{0}}xrightarrow[{}]{{}}{{y}_{0}}$ và $kxrightarrow[{}]{{}}$ phương trình Δ.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường cong $left( C right):y=fleft( x right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ . Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( -1;-4 right)$

Lời giải:

Gọi $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A

Vì điểm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)in left( C right)Rightarrow {{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$ , và $f'left( {{x}_{0}} right)=3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}$

Phương trình d: $y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}Leftrightarrow y=left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$

Vì $Aleft( -1;-4 right)in d$ nên $left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} right)left( -1-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}=-4$

$Leftrightarrow 2x_{0}^{3}-6{{x}_{0}}-4=0Leftrightarrow {{x}_{0}}=2vee {{x}_{0}}=-1$

Với ${{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=-4,f'left( 2 right)=0$ , phương trình tiếp tuyến $y=-4$

Với ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=-4,f'left( -1 right)=9$ , phương trình tiếp tuyến $y=9left( x+1 right)-4Leftrightarrow y=9x+5$

Ví dụ 2: Cho hàm số $left( C right):y=frac{x+2}{x-2}$ . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua $Aleft( -6;5 right)$ của đồ thị $left( C right)$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=mathbb{R}backslash left{ 2 right}$ . Ta có $y'=frac{-4}{{{left( x-2 right)}^{2}}}$

Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến $left( d right)$ cần tìm với đồ thị hàm số $left( C right)$ nên ${{y}_{0}}=frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}$ và $f'left( {{x}_{0}} right)=frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}}$ . Phương trình tiếp tuyến $left( d right)$ :

$y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}Leftrightarrow y=frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}}left( x-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}$

Ta có $Aleft( -6;5 right)in dLeftrightarrow frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}}left( -6-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}=5$ $Leftrightarrow 4x_{0}^{2}-24{{x}_{0}}=0Leftrightarrow {{x}_{0}}=0vee {{x}_{0}}=6$

Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là $y=-x-1$ và $y=-frac{1}{4}x+frac{7}{2}$

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A. Lí thuyết cơ bản

1. Định nghĩa đạo hàm

2. Đạo hàm một bên

3. Đạo hàm trên một khoảng

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

5. Ý nghĩa của đạo hàm

B. Bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Dạng 2.Tiếp tuyến

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Leave a Comment Cancel reply