Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

Or you want a quick look: A. Lí thuyết cơ bản

 

A. Lí thuyết cơ bản

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y=fleft( x right) xác định trên displaystyle left( a;text{ }b right) và displaystyle {{x}_{0}}in left( a;text{ }b right).

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) displaystyle underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}} thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=fleft( x right) tại displaystyle {{x}_{0}} được kí hiệu là y'(x0) hoặc f'(x0), tức là displaystyle {f}'({{x}_{0}})=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}.

 Chú ý:

  • - Số gia đối số là: Delta ,x,=,x-{{x}_{o}}
  • - Số gia tương ứng của hàm số là:Delta ,y,=,fleft( x right),-,fleft( {{x}_{o}} right) , khi đó displaystyle {y}'=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}.

2. Đạo hàm một bên

  1. Đạo hàm bên trái của hàm số displaystyle y=fleft( x right) tại điểm displaystyle {{x}_{0}}, kí hiệu là displaystyle {f}'(x_{0}^{-}) được định nghĩa là: 

displaystyle {f}'(x_{0}^{-})=underset{Delta xto {{0}^{-}}}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}=underset{xto {{x}_{0}}^{-}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

 trong đó displaystyle xto x_{0}^{-} được hiểu là displaystyle xto x_{0}^{{}} và displaystyle x<x_{0}^{{}}.

  1. Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm displaystyle {{x}_{0}}, kí hiệu là  được định nghĩa là: 

displaystyle {f}'(x_{0}^{+})=underset{Delta xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}=underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

trong đó  được hiểu là  và .

Nhận xét: Hàm displaystyle f(x)có đạo hàm tại displaystyle {{x}_{0}}Leftrightarrow exists text{ }f(x_{0}^{+}) và displaystyle f'(x_{0}^{-}) đồng thời displaystyle f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-}).

3. Đạo hàm trên một khoảng

bullet  Hàm số displaystyle f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên displaystyle (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc displaystyle (a;b).

bullet  Hàm số displaystyle f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ } nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc displaystyle (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái displaystyle f'({{b}^{-}}) và đạo hàm phải displaystyle f'({{a}^{+}}) .

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí: Nếu hàm số displaystyle f(x) có đạo hàm tại displaystyle {{x}_{0}} thì displaystyle f(x) liên tục tại displaystyle {{x}_{0}}.

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm displaystyle {{x}_{0}} nhưng hàm đó không có đạo hàm tại displaystyle {{x}_{0}}.

Chẳng hạn: Xét hàm displaystyle f(x)=left| x right| liên tục tại displaystyle x=0 nhưng không liên tục tại điểm đó.

Vì displaystyle underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(0)}{x}=1, còndisplaystyle underset{xto {{0}^{-}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(0)}{x}=-1.

5. Ý nghĩa của đạo hàm

Cho đường cong phẳng displaystyle left( C right) và một điểm cố định displaystyle {{M}_{0}} trên displaystyle left( C right), M là điểm di động trên displaystyle left( C right). Khi đó displaystyle {{M}_{0}}Mlà một cát tuyến của displaystyle left( C right).

Định nghĩa:
Nếu cát tuyến displaystyle {{M}_{0}}M có vị trí giới hạn displaystyle {{M}_{0}}T khi điểm displaystyle M di chuyển trên displaystyle left( C right) và dần tới điểm displaystyle {{M}_{0}} thì đường thẳng displaystyle {{M}_{0}}T được gọi là tiếp tuyến của đường cong displaystyle left( C right) tại điểm displaystyle {{M}_{0}}. Điểm displaystyle {{M}_{0}}được gọi là tiếp điểm.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Cạo lông vùng kín bị mẩn đỏ thì xử lí thế nào là an toàn? 2022 | Mytranshop.com

Cho hàm số displaystyle y=fleft( x right) xác định trên khoảng displaystyle left( a;text{ }b right) và có đạo hàm tạidisplaystyle {{x}_{0}}in left( a;text{ }b right), gọi displaystyle left( C right) là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số displaystyle fleft( x right) tại điểm displaystyle {{x}_{0}} là hệ số góc của tiếp tuyến displaystyle {{M}_{0}}T của displaystyle left( C right) tại điểm displaystyle {{M}_{0}}left( {{x}_{0}};text{ }f({{x}_{0}}) right)

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị displaystyle left( C right) của hàm số displaystyle y=fleft( x right) tại điểm displaystyle {{M}_{0}}left( {{x}_{0}};text{ }f({{x}_{0}}) right) là:

y-{{y}_{o}}=f'left( x right)(x-{{x}_{o}})

b) Ý nghĩa vật lí: 

Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:displaystyle s=fleft( t right), với displaystyle fleft( t right) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm displaystyle {{t}_{0}} là đạo hàm của hàm số displaystyle s=fleft( t right) tại displaystyle {{t}_{0}}.

displaystyle vleft( {{t}_{0}} right)={s}'left( {{t}_{0}} right)={f}'left( {{t}_{0}} right)

Cường độ tức thời: Điện lượng displaystyle Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:displaystyle Q=fleft( t right), với displaystyle fleft( t right) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số displaystyle Q=fleft( t right) tại displaystyle {{t}_{0}}.

displaystyle Ileft( {{t}_{0}} right)={Q}'left( {{t}_{0}} right)={f}'left( {{t}_{0}} right)

B. Bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp    

bullet  f'({{x}_{0}})=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

bullet  f'(x_{0}^{+})=underset{xto x_{0}^{+}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

bullet  f'(x_{0}^{-})=underset{xto x_{0}^{-}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

bullet  Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x={{x}_{0}}Leftrightarrow f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-})

bullet  Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

1. displaystyle f(x)=2{{x}^{3}}+1 tại displaystyle x=2                                      2. displaystyle f(x)=sqrt{{{x}^{2}}+1} tạidisplaystyle x=1

3. displaystyle f(x)=left{ begin{array}{l}frac{sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}-1}{x}text{  khi   }xne 0\0text{           khi   }x=0text{   }end{array} right. tại displaystyle x=0

Lời giải:

1. Ta có displaystyle underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(2)}{x-2}=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{2{{x}^{3}}-16}{x-2}=underset{xto 2}{mathop{lim }},2({{x}^{2}}+2x+4)=24displaystyle Rightarrow f'(2)=24.

2. Ta có : displaystyle f'(1)=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(1)}{x-1}=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{2}}+1}-sqrt{2}}{x-1}

                        displaystyle =underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(sqrt{{{x}^{2}}+1}+sqrt{2})}=frac{1}{sqrt{2}}.

3. Ta códisplaystyle f(0)=0, do đó:

displaystyle underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(0)}{x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}-1}{{{x}^{2}}}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{x+1}{sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}+1}=frac{1}{2}

Vậydisplaystyle f'(0)=frac{1}{2}.

Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hàm số displaystyle f(x)=frac{2{{x}^{2}}+left| x+1 right|}{x-1} liên tục tại displaystyle x=-1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải:

Vì hàm displaystyle f(x) xác định tại displaystyle x=-1 nên nó liên tục tại đó.

Ta có: displaystyle f'(-{{1}^{+}})=underset{xto -{{1}^{+}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=underset{xto -{{1}^{+}}}{mathop{lim }},frac{2x}{x-1}=1

displaystyle f'(-{{1}^{-}})=underset{xto -{{1}^{-}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=underset{xto -{{1}^{-}}}{mathop{lim }},2=2

displaystyle Rightarrow f'(-{{1}^{+}})ne f'(-{{1}^{-}})Rightarrow f(x) không có đạo hàm tại displaystyle x=-1.

Ví dụ 1.3: Tìm a để hàm số displaystyle fleft( x right)=left{ begin{array}{l}frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}text{  khi }xne 1\atext{         khi }x=1end{array} right. có đạo hàm tại displaystyle x=1

Lời giải:

Để hàm số có đạo hàm tại displaystyle x=1 thì trước hết displaystyle f(x) phải liên tục tại displaystyle x=1

Hay displaystyle underset{xto 1}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=2=f(1)=a.

Khi đó, ta có:displaystyle underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{f(x)-f(1)}{x-1}=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}-2}{x-1}=1.

Vậy displaystyle a=2 là giá trị cần tìm.

Dạng 2.Tiếp tuyến

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y=f(x)tại tiếp điểm Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) có dạng:

Áp dụng trong các trường hợp sau:


B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho hàm số displaystyle y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm displaystyle text{M}left( -text{1};text{3} right) ;                               2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Peel Da Là Gì? Tất Cả Những Điều Cần Biết Về Peel Da 2022 | Mytranshop.com

3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;                    4. Tại giao điểm (C) với trục tung ;

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định displaystyle D=mathbb{R}.

Ta có: displaystyle y'=3{{x}^{2}}+6x

1. Phương trình tiếp tuyến displaystyle left( t right)tại displaystyle text{M}left( -text{1};text{3} right) có phương trình : displaystyle y=y'left( -1 right)left( x+1 right)+3

Ta có: displaystyle y'left( -1 right)=-3, khi đó phương trình displaystyle left( t right) là: displaystyle y=-3x+6

2. Thay displaystyle x=2 vào đồ thị của (C)  ta được displaystyle y=21.

Tương tự câu 1, phương trình displaystyle left( t right) là: displaystyle y=24x-27

3. Thay displaystyle y=1 vào đồ thị của (C)  ta được displaystyle {{x}^{2}}left( x+3 right)=0Leftrightarrow x=0 hoặc displaystyle x=-3.

Tương tự câu 1, phương trình displaystyle left( t right) là: displaystyle y=1displaystyle y=9x+28

4. Trục tung Oy : displaystyle x=0Rightarrow y=1.Tương tự câu 1, phương trình displaystyle left( t right) là: displaystyle y=1

Ví dụ 1.2: Cho hàm số y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+left( m+1 right)x+1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x=-1 đi qua điểm Aleft( 1;2 right).

Lời giải:

Tập xác định D=mathbb{R}

y'=f'left( x right)=3{{x}^{2}}+6mx+m+1

Với {{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=2m-1,f'left( -1 right)=-5m+4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm Mleft( -1;2m-1 right):y=left( -5m+4 right)left( x+1 right)+2m-1left( d right)

Ta có Aleft( 1;2 right)in left( d right)Leftrightarrow left( -5m+4 right).2+2m-1=2Leftrightarrow m=frac{5}{8}

Ví dụ 1.3: Cho hàm số y=frac{3x+1}{x+1} (1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm Mleft( -2;5 right).

Lời giải:

Tập xác định D=mathbb{R}backslash left{ -1 right}. Có y'=frac{2}{{{left( x+1 right)}^{2}}}.

Phương trình tiếp tuyến left( d right) tại điểm Mleft( -2;5 right)y=2left( x+2 right)+5Leftrightarrow y=2x+9

Gọi A là giao điểm của d và trục hoành Rightarrow {{y}_{A}}=0Rightarrow {{x}_{A}}=-frac{9}{2}, vậy Aleft( -frac{9}{2};0 right)

Gọi B là giao điểm của d và trục tung Rightarrow {{x}_{B}}=0Rightarrow {{y}_{B}}=9, vậy Bleft( 0;9 right)

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên {{S}_{Delta OAB}}=frac{1}{2}OA.OB=frac{1}{2}left| -frac{9}{2} right|left| 9 right|=frac{81}{4}.

Nhận xét:
Viết PTTT Δ của left( C right):y=fleft( x right), biết Δ cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của left( C right):y=fleft( x right), biết Δ có hệ số góc k cho trước

– Gọi Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) là tiếp điểm. Tính y'Rightarrow y'left( {{x}_{0}} right)

– Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k Rightarrow y'left( {{x}_{0}} right)=k     (i)

– Giải (i) tìm được {{x}_{0}}xrightarrow[{}]{{}}{{y}_{0}}=fleft( {{x}_{0}} right)xrightarrow[{}]{{}}Delta :y=kleft( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}

Lưu ý: Hệ số góc k=y'left( {{x}_{0}} right) của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau:

– Phương trình tiếp tuyến Delta //d:y=ax+bRightarrow k=a

– Phương trình tiếp tuyến Delta bot d:y=ax+bRightarrow k=-frac{1}{a}

– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với trục hoành góc alpha Rightarrow left| k right|=tan alpha

– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với d:y=ax+b góc alpha Rightarrow left| frac{k-a}{1+k.a} right|=tan alpha .

B. Bài tập ví dụ

Lời giải:

Tập xác định D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}. Ta có: y'=f'left( x right)=frac{4}{{{left( 1-x right)}^{2}}}

a). Có left( d right):x-4y-21=0Leftrightarrow y=frac{1}{4}x-frac{21}{4}Rightarrow {{k}_{d}}=frac{1}{4}

Vì tiếp tuyến song song với d nên {{k}_{tt}}={{k}_{d}}=frac{1}{4}

Gọi Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f'left( {{x}_{0}} right)={{k}_{tt}}Leftrightarrow frac{4}{{{left( 1-{{x}_{0}} right)}^{2}}}=frac{1}{4}

                 Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}=16Leftrightarrow {{x}_{0}}=5vee {{x}_{0}}=-3

Với {{x}_{0}}=5Rightarrow {{y}_{0}}=-4, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}

                 Leftrightarrow y=frac{1}{4}left( x-5 right)-4Leftrightarrow y=frac{1}{4}x-frac{21}{4} (loại, vì trùng với d)

Với {{x}_{0}}=-3Rightarrow {{y}_{0}}=-2, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}

                 Leftrightarrow y=frac{1}{4}left( x+3 right)-2Leftrightarrow y=frac{1}{4}x-frac{5}{4}.

b). left( Delta  right):2x+2y-9=0Leftrightarrow y=-x+frac{9}{2}Rightarrow {{k}_{Delta }}=-1

Vì tiếp tuyến vuông góc với Δ nên {{k}_{tt}}.{{k}_{Delta }}=-1Rightarrow {{k}_{tt}}=1

Gọi Nleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f'left( {{x}_{0}} right)={{k}_{tt}}Leftrightarrow frac{4}{{{left( 1-{{x}_{0}} right)}^{2}}}=1

                 Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}=4Leftrightarrow {{x}_{0}}=3vee {{x}_{0}}=-1.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Mách các mẹ bỉm gợi ý ăn gì cho trẻ sơ sinh dễ ngủ 2022 | Mytranshop.com

Với {{x}_{0}}=3Rightarrow {{y}_{0}}=-5, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}

                 Leftrightarrow y=-1left( x-3 right)-5Leftrightarrow y=-x-2

Với {{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=-1, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}

                 Leftrightarrow y=-1left( x+1 right)-1Leftrightarrow y=-x-2.

c). left( d right):x-2y+5=0Leftrightarrow y=frac{1}{2}x+frac{5}{2}Rightarrow {{k}_{d}}=frac{1}{2}

Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có left| frac{{{k}_{tt}}-{{k}_{d}}}{1+{{k}_{tt}}{{k}_{d}}} right|=tan 30{}^circ

left| frac{{{k}_{tt}}-frac{1}{2}}{1+frac{1}{2}{{k}_{tt}}} right|=frac{1}{sqrt{3}}Leftrightarrow 3{{left( {{k}_{tt}}-frac{1}{2} right)}^{2}}={{left( 1+frac{1}{2}{{k}_{tt}} right)}^{2}}Leftrightarrow frac{11}{4}k_{tt}^{2}-4{{k}_{tt}}-frac{1}{4}=0

Lời giải:

Tập xác định D=mathbb{R}. Ta có y'={{x}^{2}}-mx

Điểm thuộc left( {{C}_{m}} right) có hoành độ x=-1 là Mleft( -1;-frac{m}{2} right)

Phương trình tiếp tuyến của left( {{C}_{m}} right) tại M là:

left( Delta  right):y=f'left( 1 right)left( x+1 right)-frac{m}{2}Leftrightarrow y=left( m+1 right)x+frac{m+2}{2}

Để Δ song song với d:5x-y=0Leftrightarrow y=5x khi và chỉ khi: left{ begin{array}{l}m+1=5\m+2ne 0end{array} right.Leftrightarrow m=4

Kết luận m=4.

Ví dụ 3: Cho hàm số y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+5left( C right). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị left( C right), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có y'=f'left( x right)=3{{x}^{2}}+6x-9

Gọi {{x}_{0}} là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'left( {{x}_{0}} right)=3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-9

Ta có 3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-9=3left( x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+1 right)-12=3{{left( {{x}_{0}}+1 right)}^{2}}-12ge -12,forall {{x}_{0}}in left( C right)

Vậy min f'left( {{x}_{0}} right)=-12 tại {{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=16

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y=-12left( x+1 right)+16Leftrightarrow y=-12x+4

Ví dụ 4: Cho hàm số y=frac{x+2}{2x+3} (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Lời giải:

Tập xác định D=Rbackslash left{ -frac{3}{2} right}. Ta có y'=f'left( x right)=frac{-1}{{{left( 2x+3 right)}^{2}}}

Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 45°.

Vậy có {{k}_{tt}}=pm tan 45{}^circ Leftrightarrow {{k}_{tt}}=pm 1

Gọi {{x}_{0}} là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f'left( {{x}_{0}} right)=pm 1

Với f'left( {{x}_{0}} right)=1Leftrightarrow frac{-1}{{{left( 2{{x}_{0}}+3 right)}^{2}}}=1 (phương trình vô nghiệm)

Với f'left( {{x}_{0}} right)=-1Leftrightarrow frac{-1}{{{left( 2{{x}_{0}}+3 right)}^{2}}}=-1Leftrightarrow {{left( 2{{x}_{0}}+3 right)}^{2}}=1Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1vee {{x}_{0}}=-2

Với {{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=1, phương trình tiếp tuyến tại điểm này y=-1left( x+1 right)+1Leftrightarrow y=-x. Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.

Với {{x}_{0}}=-2Rightarrow {{y}_{0}}=0, phương trình tiếp tuyến tại điểm này y=-1left( x+2 right)Leftrightarrow y=-x-2

 

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của left( C right):y=fleft( x right), biết Δ đi qua (kẻ từ) điểm Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right)

– Gọi Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) là tiếp điểm. Tính {{y}_{0}}=fleft( {{x}_{0}} right) và k=y'left( {{x}_{0}} right) theo {{x}_{0}}.

– Phương trình tiếp tuyến Δ tại Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) là Delta :y=kleft( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}

– Do Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right)in Delta Rightarrow {{y}_{A}}=kleft( {{x}_{A}}-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}     (i)

– Giải phương trình (i) xrightarrow[{}]{{}}{{x}_{0}}xrightarrow[{}]{{}}{{y}_{0}} và kxrightarrow[{}]{{}} phương trình Δ.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường cong left( C right):y=fleft( x right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}. Viết phương trình tiếp tuyến của left( C right) biết tiếp tuyến đi qua điểm Aleft( -1;-4 right)

Lời giải:

Gọi left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A

Vì điểm left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)in left( C right)Rightarrow {{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}, và f'left( {{x}_{0}} right)=3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}

Phương trình d: y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}Leftrightarrow y=left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}

Vì Aleft( -1;-4 right)in d nên left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} right)left( -1-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}=-4

Leftrightarrow 2x_{0}^{3}-6{{x}_{0}}-4=0Leftrightarrow {{x}_{0}}=2vee {{x}_{0}}=-1

Với {{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=-4,f'left( 2 right)=0, phương trình tiếp tuyến y=-4

Với {{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=-4,f'left( -1 right)=9, phương trình tiếp tuyến y=9left( x+1 right)-4Leftrightarrow y=9x+5

Ví dụ 2: Cho hàm số left( C right):y=frac{x+2}{x-2}. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua Aleft( -6;5 right) của đồ thị left( C right).

Lời giải:

Tập xác định D=mathbb{R}backslash left{ 2 right}. Ta có y'=frac{-4}{{{left( x-2 right)}^{2}}}

Gọi Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến left( d right) cần tìm với đồ thị hàm số left( C right) nên {{y}_{0}}=frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2} và f'left( {{x}_{0}} right)=frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}}. Phương trình tiếp tuyến left( d right):

y=f'left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}Leftrightarrow y=frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}}left( x-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}

Ta có Aleft( -6;5 right)in dLeftrightarrow frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}}left( -6-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}=5Leftrightarrow 4x_{0}^{2}-24{{x}_{0}}=0Leftrightarrow {{x}_{0}}=0vee {{x}_{0}}=6

Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là y=-x-1 và y=-frac{1}{4}x+frac{7}{2}

See more articles in the category: BLOG ĐIỆN TỬ

Leave a Reply