Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

I. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Định nghĩa:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng (a, b) và điểm ${{x}_{0}}in left( a;b right).$

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn sau đây:

thì giới hạn trên được gọi là đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại ${{x}_{0}}$ , kí hiệu là ${{f}^{'}}({{x}_{0}})$ hay $y_{{{x}_{0}}}^{'}$ .

II. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
• Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên K nếu $f(x)$   có đạo hàm tại mỗi điểm bất kì ${{x}_{0}}in K.$
Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ được kí hiệu là ${{y}^{'}}$ hay ${{f}^{'}}(x).$
• Định lí: Với mọi $xin R$ ta có:
a) Nếu $f(x)=c$ thì ${{f}^{'}}(x)=0;$
    b) Nếu $f(x)=x$ thì ${{f}^{'}}(x)=1;$
    c) Nếu $f(x)={{x}^{n}}left( nin {{N}^{*}} right)$ thì ${{f}^{'}}(x)=n{{x}^{n-1}};$

III. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
+ Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $Mleft( {{x}_{0}};f({{x}_{0}}) right)$ .

+ Phương trình của tiếp tuyến của đồ thị tại $Mleft( {{x}_{0}};f({{x}_{0}}) right)$ là:
$y={{f}^{'}}({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})$

4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
• Vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động với phương trình $S=s(t)$ thì vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là:
$v({{t}_{0}})={{s}^{'}}({{t}_{0}})$
• Cường độ tức thời tại thời điểm ${{t}_{0}}$ của một dòng điện với điện lượng $q=q(t)$ là:
$I({{t}_{0}})={{q}^{'}}({{t}_{0}})$