Giá trị lượng giác của một cung ( góc ) lượng giác , trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.

a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc.

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho left( OA,,OM right)=alpha  gọi là điểm xác định bởi số alpha (hay bởi cung alpha , hay bởi góc alpha ). Điểm Mcòn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo alpha .

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực alpha  có một điểm nằm trên đường tròn lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực có dạng là alpha +k2pi ,,kin Z.

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác left( Ou,Ov right) có số đo alpha , xác định điểm Mleft( x;y right) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ… Khi đó ta định nghĩa

cos alpha =x,,,sin alpha =y

tan alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }left( alpha ne frac{pi }{2}+kpi right)

cot alpha =frac{cos alpha }{sin alpha }left( alpha ne kpi right)

Ý nghĩa hình học: Gọi K,,H lần lượt là hình chiếu của M lên trục displaystyle Ox,,Oy. Vẽ trục số At gốc A cùng hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox, gọi T,,S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các trục sô At,,Bs. Khi đó ta có:

sin alpha =overline{OH},,,cos alpha =overline{OK},,tan alpha =overline{AT},,cot alpha =overline{BS}

e) Tính chất:

+ tan alpha =tan left( alpha +kpi right),,cot alpha =cot left( alpha +kpi right)

f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Bảng xét dấu

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  LM Trong Bóng Đá Là Gì? 2022 | Mytranshop.com

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản

begin{array}{l}1),,{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1\2),,1+{{tan }^{2}}alpha =frac{1}{{{cos }^{2}}alpha },,(alpha ne frac{pi }{2}+kpi )\3),,1+{{cot }^{2}}alpha =frac{1}{{{sin }^{2}}alpha },,,(alpha ne kpi ),\4),tan alpha .cot alpha =1,,(alpha ne frac{kpi }{2})end{array}

3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: ” cos đối sin bù phụ chéo hơn kém pi  tang côtang, hơn kém frac{pi }{2} chéo sin”. Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp giải.

Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:

    a) frac{pi }{4}     b) -frac{11pi }{2}    c) {{120}^{0}}    d) -{{765}^{0}}

Lời giải:

a) Ta có frac{frac{pi }{4}}{2pi }=frac{1}{8}. Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.

Khi đó điểm {{M}_{1}} là điểm biểu diễn bởi góc có số đo frac{pi }{4}.

b) Ta có -frac{13pi }{2}=-frac{pi }{2}+left( -3 right).2pi  do đó điểm biểu diễn bởi góc -frac{11pi }{2} trùng với góc -frac{pi }{2} và là điểm B'.

c) Ta có frac{120}{360}=frac{1}{3}. Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.

Khi đó điểm {{M}_{2}} là điểm biểu diễn bởi góc có số đo {{120}^{0}}.

d) Ta có -{{765}^{0}}=-{{45}^{0}}+left( -2 right){{.360}^{0}} do đó điểm biểu diễn bởi góc -{{765}^{0}} trùng với góc -{{45}^{0}}.

frac{45}{360}=frac{1}{8}. Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )

Khi đó điểm {{M}_{3}}(điểm chính giữa cung nhỏ oversetfrown{AB'}) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo -{{765}^{0}}.

DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp giải. 

  • – Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

  • – Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

  • – Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt

  • – Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Cơ chế điều hòa sinh sản, trắc nghiệm sinh học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) displaystyle A=sin frac{7pi }{6}+cos 9pi +tan (-frac{5pi }{4})+cot frac{7pi }{2}

b) displaystyle B=frac{1}{tan 368{}^circ }+frac{2sin 2550{}^circ cos (-188{}^circ )}{2cos 638{}^circ +cos 98{}^circ }

Lời giải:

a) Ta có A=sin left( pi +frac{pi }{6} right)+cos left( pi +4.2pi right)-tan left( pi +frac{pi }{4} right)+cot left( frac{pi }{2}+3pi right)

Rightarrow A=-sin frac{pi }{6}+cos pi -tan frac{pi }{4}+cot frac{pi }{2}=-frac{1}{2}-1-1+0=-frac{5}{2}

b) Ta có displaystyle B=frac{1}{tan left( {{8}^{0}}+360{}^circ right)}+frac{2sin left( {{30}^{0}}+7.360{}^circ right)cos ({{8}^{0}}+180{}^circ )}{2cos left( -{{90}^{0}}+{{8}^{0}}+2.360{}^circ right)+cos left( {{90}^{0}}+8{}^circ right)}

B=frac{1}{tan {{8}^{0}}}+frac{2sin {{30}^{0}}left( -cos {{8}^{0}} right)}{2cos left( {{8}^{0}}-{{90}^{0}} right)-sin {{8}^{0}}}=frac{1}{tan {{8}^{0}}}+frac{2.frac{1}{2}left( -cos {{8}^{0}} right)}{2cos left( {{90}^{0}}-{{8}^{0}} right)-sin {{8}^{0}}}

    =frac{1}{tan {{8}^{0}}}-frac{cos {{8}^{0}}}{2sin {{8}^{0}}-sin {{8}^{0}}}=frac{1}{tan {{8}^{0}}}-frac{cos {{8}^{0}}}{sin {{8}^{0}}}=0

Ví dụ 2: Cho frac{pi }{2}<alpha <pi . Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) displaystyle sin left( frac{pi }{2}+alpha right)                            b) cos left( -frac{pi }{2}+alpha right).tan left( pi -alpha right)

Lời giải:

a) Ta có frac{pi }{2}<alpha <pi Rightarrow pi <frac{pi }{2}+alpha <frac{3pi }{2} suy ra displaystyle sin left( frac{pi }{2}+alpha right)<0

b) Ta có frac{pi }{2}<alpha <pi Rightarrow 0<-frac{pi }{2}+alpha <frac{pi }{2} suy ra displaystyle cos left( -frac{pi }{2}+alpha right)>0

Và 0<pi -alpha <frac{pi }{2} suy ra displaystyle tan left( pi +alpha right)>0

Vậy cos left( -frac{pi }{2}+alpha right).tan left( pi +alpha right)>0.

DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.

1. Phương pháp giải.

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi

+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.

+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ : Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) {{cos }^{4}}x+2{{sin }^{2}}x=1+{{sin }^{4}}x     

b) displaystyle frac{sin x+cos x}{{{sin }^{3}}x}={{cot }^{3}}x+{{cot }^{2}}x+cot x+1

c) frac{{{cot }^{2}}x-{{cot }^{2}}y}{{{cot }^{2}}x.{{cot }^{2}}y},,=,,frac{{{cos }^{2}}x-{{cos }^{2}}y}{{{cos }^{2}}x.{{cos }^{2}}y}

d) sqrt{{{sin }^{4}}x+4{{cos }^{2}}x}+sqrt{{{cos }^{4}}x+4{{sin }^{2}}x}=3tan left( x+frac{pi }{3} right)tan left( frac{pi }{6}-x right)

Lời giải :

a) Đẳng thức tương đương với {{cos }^{4}}x=1-2{{sin }^{2}}x+{{left( {{sin }^{2}}x right)}^{2}} Leftrightarrow {{cos }^{4}}x={{left( 1-{{sin }^{2}}x right)}^{2}} (*)

Mà {{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x=1Rightarrow {{cos }^{2}}x=1-{{sin }^{2}}x

Do đó (*)displaystyle Leftrightarrow {{cos }^{4}}x={{left( {{cos }^{2}}x right)}^{2}} (đúng) ĐPCM.

b) Ta có displaystyle VT=frac{sin x+cos x}{{{sin }^{3}}x}=frac{1}{{{sin }^{2}}x}+frac{cos x}{{{sin }^{3}}x}

Mà {{cot }^{2}}x+1=frac{1}{{{sin }^{2}}x} và tan x=frac{sin x}{cos x} nên

displaystyle VT={{cot }^{2}}x+1+cot xleft( {{cot }^{2}}x+1 right)displaystyle ={{cot }^{3}}x+{{cot }^{2}}x+cot x+1=VP ĐPCM.

c) Ta có VT=frac{{{cot }^{2}}x-{{cot }^{2}}y}{{{cot }^{2}}x.{{cot }^{2}}y},,=frac{1}{{{cot }^{2}}y}-frac{1}{{{cot }^{2}}x}={{tan }^{2}}y-{{tan }^{2}}x

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Thi công nội thất phòng ngủ 2022 | Mytranshop.com

         =left( frac{1}{{{cos }^{2}}y}-1 right)-left( frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1 right)=frac{1}{{{cos }^{2}}y}-frac{1}{{{cos }^{2}}x}=frac{{{cos }^{2}}x-{{cos }^{2}}y}{{{cos }^{2}}x.{{cos }^{2}}y}=VP ĐPCM.

d) VT=sqrt{{{sin }^{4}}x+4left( 1-{{sin }^{2}}x right)}+sqrt{{{cos }^{4}}x+4left( 1-{{cos }^{2}}x right)}

   =sqrt{{{left( {{sin }^{2}}x right)}^{2}}-4{{sin }^{2}}x+4}+sqrt{{{left( {{cos }^{2}}x right)}^{2}}-4{{cos }^{2}}x+4}=sqrt{{{left( {{sin }^{2}}x-2 right)}^{2}}}+sqrt{{{left( {{cos }^{2}}x-2 right)}^{2}}}

   =left( 2-{{sin }^{2}}x right)+left( 2-{{cos }^{2}}x right)=4-left( {{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x right)=3

Mặt khác vì left( x+frac{pi }{3} right)+left( frac{pi }{6}-x right)=frac{pi }{2}Rightarrow tan left( frac{pi }{6}-x right)=cot left( x+frac{pi }{3} right) nên

VP=3tan left( x+frac{pi }{3} right)cot left( x+frac{pi }{3} right)=3Rightarrow VT=VP ĐPCM.

DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp giải.

  • Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.

  • Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc alpha  biết:

a) sin alpha =frac{1}{3} và {{90}^{0}}<alpha <{{180}^{0}}.         

b) cos alpha =-frac{2}{3} và pi <alpha <frac{3pi }{2}.    

c) tan alpha =-2sqrt{2} và 0<alpha <pi             

d) displaystyle cot alpha =-sqrt{2} và frac{pi }{2}<alpha <frac{3pi }{2}

Lời giải :

a) Vì {{90}^{0}}<alpha <{{180}^{0}} nên cos alpha <0 mặt khác {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1 suy ra cos alpha =-sqrt{1-{{sin }^{2}}alpha }=-sqrt{1-frac{1}{9}}=-frac{2sqrt{2}}{3}

Do đó tan alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{frac{1}{3}}{-frac{2sqrt{2}}{3}}=-frac{1}{2sqrt{2}}

b) Vì {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1 nên sin alpha =pm sqrt{1-{{cos }^{2}}alpha }=pm sqrt{1-frac{4}{9}}=pm frac{sqrt{5}}{3}

Mà pi <alpha <frac{3pi }{2}Rightarrow sin alpha <0 suy ra sin alpha =-frac{sqrt{5}}{3}

Ta có tan alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{-frac{sqrt{5}}{3}}{-frac{2}{3}}=frac{sqrt{5}}{2} và cot alpha =frac{cos alpha }{sin alpha }=frac{-frac{2}{3}}{-frac{sqrt{5}}{3}}=frac{2}{sqrt{5}}

c) Vì tan alpha =-2sqrt{2}Rightarrow cot alpha =frac{1}{tan alpha }=-frac{1}{2sqrt{2}}

Ta có {{tan }^{2}}alpha +1=frac{1}{{{cos }^{2}}alpha }Rightarrow {{cos }^{2}}alpha =frac{1}{{{tan }^{2}}alpha +1}=frac{1}{{{left( -2sqrt{2} right)}^{2}}+1}=frac{1}{9}Rightarrow cos alpha =pm frac{1}{3}.

Vì 0<alpha <pi Rightarrow sin alpha >0 và tan alpha =-2sqrt{2}<0 nên cos alpha <0

Vì vậy cos alpha =-frac{1}{3}

Ta có tan alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }Rightarrow sin alpha =tan alpha .cos alpha =-2sqrt{2}.left( -frac{1}{3} right)=frac{2sqrt{2}}{3} .

d) Vì displaystyle cot alpha =-sqrt{2} nên tan alpha =frac{1}{cot alpha }=-frac{1}{sqrt{2}}.

Ta có {{cot }^{2}}alpha +1=frac{1}{{{sin }^{2}}alpha }Rightarrow {{sin }^{2}}alpha =frac{1}{{{cot }^{2}}alpha +1}=frac{1}{{{left( -sqrt{2} right)}^{2}}+1}=frac{1}{3}Rightarrow sin alpha =pm frac{1}{sqrt{3}}

Do frac{pi }{2}<alpha <frac{3pi }{2}Rightarrow cos alpha <0 và displaystyle cot alpha =-sqrt{2}<0 nên sin alpha >0

Do đó sin alpha =frac{sqrt{3}}{3}.

Ta có cot alpha =frac{cos alpha }{sin alpha }Rightarrow cos alpha =cot alpha .sin alpha =-sqrt{2}.frac{sqrt{3}}{3}=-frac{sqrt{6}}{3}

Leave a Comment