Hàm số bậc nhất, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y=ax+b$ $(ane 0)$ .

2. Sự biến thiên

$bullet text{ }$ TXĐ: $D=mathbb{R}$

$bullet text{ }$ Hàm số số đồng biến khi $a>0$ và nghịch biến khi $a<0$

Bảng biến thiên

3. Đồ thị.

Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $(ane 0)$ là một đường thẳng có hệ số góc bằng $a$ , cắt trục hoành tại $Aleft( -frac{b}{a};0 right)$ và trục tung tại $Bleft( 0;b right)$

Chú ý:

$bullet text{ }$ Nếu $a=0Rightarrow y=b$ là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

$bullet text{ }$ Phương trình $x=a$ cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a.

$bullet text{ }$ Cho đường thẳng $displaystyle d$ có hệ số góc $k$ , $displaystyle d$ đi qua điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ , khi đó phương trình của đường thẳng $d$ là: $y-{{y}_{0}}=aleft( x-{{x}_{0}} right)$ .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ

1. Phương pháp giải.

$bullet$ Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b,,ane 0$ . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn $displaystyle a,,b$ , từ đó suy ra hàm số cần tìm.

$bullet$ Cho hai đường thẳng $displaystyle {{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.$ Khi đó:

a) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ trùng nhau $displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{a}_{1}}={{a}_{2}}\{{b}_{1}}={{b}_{2}}end{array} right.;$

b) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ song song nhau $displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{a}_{1}}={{a}_{2}}\{{b}_{1}}ne {{b}_{2}}end{array} right.;$

c) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ cắt nhau $displaystyle Leftrightarrow {{a}_{1}}ne {{a}_{2}}.$ Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

d) $displaystyle {{d}_{1}}$ và $displaystyle {{d}_{2}}$ vuông góc nhau $displaystyle Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1.$

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng $d$ . Tìm hàm số đó biết:

a) $displaystyle d$ đi qua $A(1;3),text{ }B(2;-1)$

A. $y=-4x+2$ B. $y=-2x+3$ C. $y=-4x+5$ D. $y=-4x+7$

b) $d$ đi qua $C(3;-2)$ và song song với $Delta :3x-2y+1=0$

A. $y=frac{1}{2}x-frac{3}{2}$ B. $y=frac{3}{2}x-frac{13}{2}$ C. $y=frac{3}{2}x-frac{3}{2}$ D. $y=frac{3}{2}x+frac{3}{2}$

c) $d$ đi qua $M(1;2)$ và cắt hai tia $Ox,Oy$ tại $P,Q$ sao cho ${{S}_{Delta OPQ}}$ nhỏ nhất.

A. $y=-2x+2$ B. $y=-2x+3$ C. $y=-2x+4$ D. $y=2x-1$

d) $d$ đi qua $Nleft( 2;-1 right)$ và $dbot d'$ với $d':y=4x+3$ .

A. $y=-frac{1}{4}x-frac{1}{2}$ B. $y=-frac{1}{4}x-frac{1}{3}$ C. $y=-frac{1}{4}x+frac{1}{2}$ D. $y=frac{1}{4}x-frac{1}{2}$

Lời giải:

Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b,,ane 0$

a) Vì $Ain d$ và $Bin d$ nên ta có hệ phương trình

Vậy hàm số cần tìm là y = -4x + 7

b) Ta có . Vì $displaystyle text{d}//Delta$ nên (1)

Mặt khác C ∈ d ⇒ -2 = 3a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy hàm số cần tìm là $y=frac{3}{2}x-frac{13}{2}$

c) Đường thẳng $displaystyle d$ cắt trục $displaystyle Ox$ tại $Pleft( -frac{b}{a};0 right)$ và cắt $displaystyle text{O}y$ tại $Qleft( 0;b right)$ với $a<0,,,b>0$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Cách uống nước ép cà chua trị mụn HIỆU QUẢ NHANH tại nhà 2022 | Mytranshop.com

Suy ra ${{S}_{Delta OPQ}}=frac{1}{2}OP.OQ=frac{1}{2}.left| -frac{b}{a} right|.left| b right|=-frac{{{b}^{2}}}{2a}$ (3)

Ta có $Min dRightarrow 2=a+bRightarrow b=2-a$ thay vào (3) ta được

$displaystyle {{S}_{Delta OPQ}}=-frac{{{left( 2-a right)}^{2}}}{2a}=-frac{2}{a}-frac{a}{2}+2$

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có

$displaystyle -frac{2}{a}-frac{a}{2}ge 2sqrt{left( -frac{2}{a} right).left( -frac{a}{2} right)}=2Rightarrow {{S}_{Delta OPQ}}ge 4$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy hàm số cần tìm là $y=-2x+4$ .

d) Đường thẳng $d$ đi qua $Nleft( 2;-1 right)$ nên $-1=2a+b$ (4)

Và $dbot d'Rightarrow 4.a=-1Leftrightarrow a=-frac{1}{4}$ thay vào (4) ta được $b=-frac{1}{2}$ .

Vậy hàm số cần tìm là $y=-frac{1}{4}x-frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng $,d:y=x+2m,,,d':y=3x+2$ ( $m$ là tham số)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng $d,,,d'$ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

A. $Mleft( 2m-1;3m-1 right)$ B. $Mleft( m-2;3m-2 right)$

C. $Mleft( m+1;3m+1 right)$ D. $Mleft( m-1;3m-1 right)$

b) Tìm $m$ để ba đường thẳng $d,,d'$ và $d'':y=-mx+2$ phân biệt đồng quy.

A. $m=-1$ B. $m=3$ C. $m=1$ D. $m=2$

Lời giải:

a) Ta có ${{a}_{d}}=1ne {{a}_{d'}}=3$ suy ra hai đường thẳng $d,,,d'$ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d,,,d'$ là nghiệm của hệ phương trình

suy ra $d,,,d'$ cắt nhau tại $Mleft( m-1;3m-1 right)$

b) Vì ba đường thẳng $d,,,d',,,d''$ đồng quy nên $Min d''$ ta có

$3m-1=-mleft( m-1 right)+2Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0$ ⇔ m = 1, m = -3.

$bullet$ Với $m=1$ ta có ba đường thẳng là $,,d:y=x+2,,,d':y=3x+2,,,d'':y=-x+2,$ phân biệt và đồng quy tại $Mleft( 0;2 right)$ .

$bullet$ Với $m=-3$ ta có $displaystyle d'equiv d''$ suy ra $m=-3$ không thỏa mãn

Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng $d:,,y=left( m-1 right)x+m$ và $d':y=left( {{m}^{2}}-1 right)x+6$

a) Tìm $m$ để hai đường thẳng $displaystyle d,,,d'$ song song với nhau

A. $m=0$ và $m=3$ B. $m=0$ và $m=2$ C. $m=0$ và $m=1$ D. $m=0$ và $m=4$

b) Tìm $m$ để đường thẳng $displaystyle d$ cắt trục tung tại $A$ , $displaystyle d'$ cắt trục hoành tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$

A. $m=pm 4$ B. $m=pm 2$ C. $m=pm 3$ D. $m=pm 1$

Lời giải:

a) Với $m=1$ ta có $displaystyle d:,,y=1,,,d':y=6$ do đó hai đường thẳng này song song với nhau

Với $m=-1$ ta có $displaystyle d:,,y=-2x-1,,,d':y=6$ suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại $Mleft( -frac{7}{2};6 right)$

Với $mne pm 1$ khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi

Đối chiếu với điều kiện $mne pm 1$ suy ra $m=0$ .

Vậy $m=0$ và $m=1$ là giá trị cần tìm.

b) Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Kích thước cổng nhà theo lỗ ban hợp phong thủy là bao nhiêu? 2022 | Mytranshop.com

DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) $y=3x+6$

b) $y=-frac{1}{2}x+frac{3}{2}$

Lời giải:

a) TXĐ: $displaystyle text{D}=mathbb{R}$ , $a=3>0$ suy ra hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số $y=3x+6$ đi qua $Aleft( -2;0 right),,,Bleft( -1;3 right)$

b) TXĐ: $displaystyle text{D}=mathbb{R}$ , $a=-frac{1}{2}<0$ suy ra hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số $y=-frac{1}{2}x+frac{3}{2}$ đi qua $Aleft( 3;0 right),,,Bleft( 0;frac{3}{2} right)$

Ví dụ 2. Cho các hàm số : $y=2x-3,,,y=-x-3,,,y=-2$ .

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = 2x – 3 đi qua các điểm

Đường thẳng $y=-x-3$ đi qua các điểm A(0; -3), C(-3; 0)

Đường thẳng $y=-2$ song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2

b) Đường thẳng $y=2x-3,,,y=-x-3$ cắt nhau tại $Aleft( 0;-3 right)$ , Đường thẳng $y=-x-3,,,y=-2$ cắt nhau tại $A'left( -1;-2 right)$ , Đường thẳng $y=2x-3,,,y=-2$ cắt nhau tại $A''left( frac{1}{2};-2 right)$ .

Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên $left[ -3;3 right]$

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên

Lời giải:

a) Bảng biến thiên của hàm số trên $left[ -3;3 right]$

b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:

khi và chỉ khi $x=-4$

$displaystyle underset{left[ -4;2 right]}{mathop{min }},=0$ khi và chỉ khi

DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI $y=left| ax+b right|$ .

1. Phương pháp giải.

Vẽ đồ thị của hàm số $y=left| ax+b right|$ ta làm như sau

Cách 1: Vẽ là đường thẳng $y=ax+b$ với phần đồ thị sao cho hoành độ thỏa mãn $displaystyle xge -frac{b}{a}$ , Vẽ $left( {{C}_{2}} right)$ là đường thẳng $y=-ax-b$ lấy phần đồ thị sao cho . Khi đó là hợp của hai đồ thị $left( {{C}_{1}} right)$ và $left( {{C}_{2}} right)$ .

Cách 2: Vẽ đường thẳng $y=ax+b$ và $y=-ax-b$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là $left( C right)$ .

Chú ý:

$bullet$ Biết trước đồ thị $displaystyle left( C right):y=fleft( x right)$ khi đó đồ thị $displaystyle left( {{C}_{1}} right):y=fleft( left| x right| right)$ là gồm phần :

– Giữ nguyên đồ thị $displaystyle left( C right)$ ở bên phải trục tung;

– Lấy đối xứng đồ thị $displaystyle left( C right)$ ở bên phải trục tung qua trục tung.

Biết trước đồ thị $displaystyle left( C right):y=fleft( x right)$ khi đó đồ thị là gồm phần:

– Giữ nguyên đồ thị $displaystyle left( C right)$ ở phía trên trục hoành

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Địa lí ngành trồng trọt, trắc nghiệm địa lý lớp 10 2022 | Mytranshop.com

– Lấy đối xứng đồ thị ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) $displaystyle y=left{ begin{array}{l}2xquad khi xge 0\-xquad khi x<0end{array} right.$ . b).

Lời giải:

a) Với $xge 0$ đồ thị hàm số y = 2x là phần đường thẳng đi qua hai điểm $Oleft( 0;0 right),,,Aleft( 1;2 right)$ nằm bên phải của đường thẳng x = 0.

Với $displaystyle x<0$ đồ thị hàm số y = -x là phần đường thẳng đi qua hai điểm $Bleft( -1;1 right),,,Cleft( -2;2 right)$ nằm bên trái của đường thẳng x = 0.