Nguyên hàm - Khái niệm và các hàm cơ bản, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản

1. Khái niệm nguyên hàm

+ Hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ . Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x),,forall xin K$ .

+ Kí hiệu: $int{{f(x)dx=F(x)}}$ .

+ Với $C$ là một hằng số nào đó, ta luôn có $text{ }!![!!text{ }F(x)+Ctext{ }!!]!!text{ }'=F'(x)$ nên tổng quát hóa ta viết $int{{f(x)dx=F(x)+C}}$ .

Khi đó $F(x)+C$ được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ . Với một giá trị cụ thể của $C$ thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho.

Ví dụ:

+ Hàm số $f(x)=3{{x}^{2}}$ có nguyên hàm là $F(x)={{x}^{3}}+C$ vì $({{x}^{3}}+C)'=3{{x}^{2}}$ .

+ Hàm số $f(x)=cos x$ có nguyên hàm là $F(x)=sin x+C$ vì $(sin x+C)'=cos x$ .

+ Mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$ .

2. Các tính chất của nguyên hàm

Cho các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng $F(x)$ và $G(x)$ , khi đó ta có các tính chất sau:

+ Tính chất 1: $int{{f'(x)dx}}=f(x)+C$ .

+ Tính chất 2: $int{{k.f(x)dx=kint{{f(x)dx}}}},,,forall kne 0$ .

+ Tính chất 3: $int{{text{ }!![!!text{ }f(x)pm g(x)text{ }!!]!!text{ }dx=int{{f(x)dxpm int{{g(x)dx}}}}}}$ .

+ Tính chất 4: $int{{f(x)dx=F(x)+C,,Rightarrow int{{f((x)).u'(x)dx}}=F(u(x))+C}}$ .

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

B. Bài tập

Dạng 1. Sử dụng bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $int{{(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1)dx}}$ .	b) $int{{left( {{{e}^{x}}-frac{1}{x}+{{2}^{x}}} right)dx}}$ .
c) $int{{frac{{{{x}^{2}}-3x+1}}{x}}}dx$ .	d) $int{{frac{{3{{{sin }}^{2}}x-4{{{cos }}^{2}}x}}{{{{{sin }}^{2}}x{{{cos }}^{2}}x}}dx}}$ .
e) $int{{(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)dx}}$ .	f) $int{{(frac{1}{{sqrt{x}}}+sqrt[3]{x})dx}}$ .

Lời giải:

a) $int{{(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1)dx}}=int{{2{{x}^{3}}dx}}-int{{3{{x}^{2}}dx}}+int{{1dx}}=frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+x+C$ .

b) $int{{left( {{{e}^{x}}-frac{1}{x}+{{2}^{x}}} right)dx=int{{{{e}^{x}}dx}}-int{{frac{1}{x}dx}}+int{{{{2}^{x}}dx}}}}={{e}^{x}}-ln |x|+frac{{{{2}^{x}}}}{{ln 2}}+C$ .

c) $int{{frac{{{{x}^{2}}-3x+1}}{x}dx=int{{left( {x-3+frac{1}{x}} right)dx=int{{xdx}}-int{{3dx}}+int{{frac{1}{x}dx}}=frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+ln |x|+C}}}}$ .

d) $int{{frac{{3{{{sin }}^{2}}x-4{{{cos }}^{2}}x}}{{{{{sin }}^{2}}x{{{cos }}^{2}}x}}dx=int{{left( {frac{3}{{{{{cos }}^{2}}x}}-frac{4}{{{{{sin }}^{2}}x}}} right)dx}}}}$

$=2int{{frac{1}{{{{{cos }}^{2}}x}}dx-4int{{frac{1}{{{{{sin }}^{2}}x}}dx}}=3tan }}x+4cot x+C$ .

e) $int{{(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)dx}}=int{{({{x}^{3}}+8)dx}}=frac{{{{x}^{4}}}}{4}+8x+C$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Axit nitric và muối nitrat, trắc nghiệm hóa học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

f) $int{{(frac{1}{{sqrt{x}}}+sqrt[3]{x})dx}}=int{{frac{1}{{sqrt{x}}}dx}}+int{{sqrt[3]{x}}}dx=int{{{{x}^{{-frac{1}{2}}}}dx}}+int{{{{x}^{{frac{1}{3}}}}}}dx=2{{x}^{{frac{1}{2}}}}+frac{3}{4}{{x}^{{frac{4}{3}}}}+C$ .

Ví dụ 1.2: Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ , biết $F(-1)=3$ .

Lời giải:

Ta có $int{{f(x)dx}}=int{{(4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2)dx}}={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+C$ .

Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên có dạng $F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+C$ .

Mà $F(-1)=3Rightarrow C=3$ . Do đó $F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+3$ .

Ví dụ 1.3: Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=frac{1}{x}$ thỏa mãn $F(1)=-1$ . Tìm $x$ để $2F(x)=frac{1}{{F(x)+1}}-1$ .

Lời giải:

Ta có $int{{f(x)dx}}=int{{frac{1}{x}dx}}=ln |x|+C$ .

Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên có dạng $F(x)=ln |x|+C$ .

Mặt khác $F(1)=-1Rightarrow C=-1$ . Do đó $F(x)=ln |x|-1$ .

Khi đó $2F(x)=frac{1}{{F(x)+1}}-1Leftrightarrow 2(ln |x|-1)=frac{1}{{ln |x|}}-1$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}ln |x|ne 0\2{{ln }^{2}}|x|-ln |x|-1=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}ln |x|=1\ln |x|=-frac{1}{2}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=pm e\x=pm frac{1}{{sqrt{e}}}end{array} right.$ (thỏa mãn).

Vậy $x=pm e$ hoặc $x=pm frac{1}{{sqrt{e}}}$ .

Ví dụ 1.4: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $F(x)=m{{x}^{3}}+(3m+2){{x}^{2}}-4x+3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3{{x}^{2}}+10x-4$ .

A. $m=3$ .

B. $m=0$ .

C. $m=1$ .

D. $m=2$ .

Lời giải:

Cách 1:

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$

$Leftrightarrow F'(x)=f(x)Leftrightarrow 3m{{x}^{2}}+2(3m+2)x-4=3{{x}^{2}}+10x-4$

Đồng nhất hệ số $Rightarrow left{ begin{array}{l}3m=3\2(3m+2)=10end{array} right.Leftrightarrow m=1$ .

Cách 2:

Ta có $int{{(3{{x}^{2}}+10x-4)}}dx={{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-4x$ .

Đồng nhất hệ số suy ra $m=1$ .

Chọn đáp án C.

Dạng 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp vi phân

Phương pháp:

Định nghĩa: Vi phân của hàm số $y=f(x)$ là biểu thức $f'(x)dx$ . Kí hiệu $dy$ hay $d(f(x))$ là vi phân của $y$ hay $f(x)$ .

$dy=f'(x)dx$ hay $d(f(x))=f'(x).dx$ .

Các vi phân quan trọng:

1. $xdx=frac{1}{2}d({{x}^{2}})=frac{1}{2}d({{x}^{2}}pm a)=-frac{1}{2}d(a-{{x}^{2}})$ .

2. ${{x}^{2}}dx=frac{1}{3}d({{x}^{3}})=frac{1}{3}d({{x}^{3}}pm a)=frac{{-1}}{3}d(a-{{x}^{3}})$ .

3. $sin xdx=-d(cos x)=-d(cos xpm a)=d(a-cos x)$ .

4. $cos xdx=d(sin x)=d(sin xpm a)=-d(a-sin x)$ .

5. $frac{{dx}}{{{{{cos }}^{2}}x}}=d(tan x)=d(tan xpm a)=-d(a-tan x)$ .

6. $frac{{dx}}{{{{{sin }}^{2}}x}}=-d(cot x)=-d(cot xpm a)=d(a-cot x)$ .

7. $frac{{dx}}{{2sqrt{x}}}=d(sqrt{x})=d(sqrt{x}pm a)=-d(a-sqrt{x})$ .

8. ${{e}^{x}}dx=d({{e}^{x}})=d({{e}^{x}}pm a)=-d(a-{{e}^{x}})$ .

9. $frac{{dx}}{x}=d(ln x)=d(ln xpm a)=-d(a-ln x)$ .

10. $dx=frac{1}{a}d(ax+b)=-frac{1}{a}d(b-ax)$ .

Ví dụ 2.1: Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}dx}}$ .	b) $int{{frac{{dx}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}$ .
c) $int{{sqrt{{4x+5}}dx}}$ .	d) $int{{frac{{dx}}{{3x+2}}}}$ .
e) $int{{left( {sin 2x+frac{3}{{4x-3}}} right)dx}}$ .	f) $int{{left( {sin frac{x}{2}+sin x+sin 3x} right)dx}}$ .
g) $int{{left( {{{e}^{{-2x+1}}}-frac{1}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+frac{4}{{sqrt{x}}}} right)dx}}$ .

Lời giải:

a) $int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}dx}}=-frac{1}{3}int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}d(1-3x)}}=-frac{{{{{(1-3x)}}^{{2019}}}}}{{6057}}+C$ .

b) $int{{frac{{dx}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}=frac{1}{2}int{{frac{{d(2x+1)}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}=-frac{1}{2}.frac{1}{{2x+1}}+C=-frac{1}{{2(2x+1)}}+C}}$ .

c) $int{{sqrt{{4x+5}}dx}}=frac{1}{4}int{{sqrt{{4x+5}}d(4x+5)}}=frac{1}{4}.frac{2}{3}{{(4x+5)}^{{frac{3}{2}}}}+C=frac{1}{6}{{(4x+5)}^{{frac{3}{2}}}}+C$ .

d) $int{{frac{{dx}}{{3x+2}}=frac{1}{3}int{{frac{{d(3x+2)}}{{3x+2}}=frac{1}{3}ln |3x+2|,+C}}}}$ .

e) $int{{left( {sin 2x+frac{3}{{4x-3}}} right)dx}}=int{{sin 2xdx}}+int{{frac{{3dx}}{{4x-3}}}}=frac{1}{2}int{{sin 2x,d(2x)}}+frac{3}{4}int{{frac{{d(4x-3)}}{{4x-3}}}}$

$=-frac{1}{2}cos 2x+frac{3}{4}ln |4x-3|+C$ .

f) $int{{left( {sin frac{x}{2}+sin x+sin 3x} right)dx}}$ .

Ta có $dleft( {frac{x}{2}} right)=frac{1}{2}dxRightarrow dx=2dleft( {frac{x}{2}} right);,d(3x)=3dxRightarrow dx=frac{1}{3}d(3x)$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Top 10 các loại gia vị ăn kiêng khi tập gym được ưa chuộng nhất 2022 | Mytranshop.com

Từ đó $int{{left( {sin frac{x}{2}+sin x+sin 3x} right)dx=int{{sin frac{x}{2}dx}}+int{{sin xdx}}+int{{sin 3xdx}}}}$

$2int{{sin frac{x}{2}dleft( {frac{x}{2}} right)+int{{sin xdx}}+frac{1}{3}int{{sin 3x,d(3x)}}}}=-2cos frac{x}{2}-cos x-frac{1}{3}cos 3x+C$ .

g) $int{{left( {{{e}^{{-2x+1}}}-frac{1}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+frac{4}{{sqrt{x}}}} right)dx}}=int{{{{e}^{{-2x+1}}}dx-int{{frac{{dx}}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+int{{frac{4}{{sqrt{x}}}dx}}}}}}$

$=-frac{1}{2}int{{{{e}^{{-2x+1}}}d(-2x+1)}}-frac{1}{3}int{{frac{{d(3x)}}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+4int{{{{x}^{{-frac{1}{2}}}}}}dx}}=-frac{1}{2}{{e}^{{-2x+1}}}+frac{1}{3}cot 3x+8sqrt{x}+C$ .

Nguyên hàm – Khái niệm và các hàm cơ bản, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Leave a Comment Cancel reply