Nguyên hàm – Khái niệm và các hàm cơ bản, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Or you want a quick look:

A. Lý thuyết cơ bản

1. Khái niệm nguyên hàm

        + Hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x)=f(x),,forall xin K.

        + Kí hiệu: int{{f(x)dx=F(x)}}.

        + Với C là một hằng số nào đó, ta luôn có text{ }!![!!text{ }F(x)+Ctext{ }!!]!!text{ }'=F'(x) nên tổng quát hóa ta viết int{{f(x)dx=F(x)+C}}.

        Khi đó F(x)+C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho.

Ví dụ:

       + Hàm số f(x)=3{{x}^{2}} có nguyên hàm là F(x)={{x}^{3}}+C vì ({{x}^{3}}+C)'=3{{x}^{2}}.

       + Hàm số f(x)=cos x có nguyên hàm là F(x)=sin x+C vì (sin x+C)'=cos x.

       + Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Các tính chất của nguyên hàm

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:

       + Tính chất 1: int{{f'(x)dx}}=f(x)+C.

       + Tính chất 2: int{{k.f(x)dx=kint{{f(x)dx}}}},,,forall kne 0.

       + Tính chất 3: int{{text{ }!![!!text{ }f(x)pm g(x)text{ }!!]!!text{ }dx=int{{f(x)dxpm int{{g(x)dx}}}}}}.

       + Tính chất 4: int{{f(x)dx=F(x)+C,,Rightarrow int{{f((x)).u'(x)dx}}=F(u(x))+C}}.

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

B. Bài tập

Dạng 1. Sử dụng bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Giảm béo bằng chanh - Bạn đã thử qua bí quyết này chưa? 2022 | Mytranshop.com
a) int{{(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1)dx}}.    b) int{{left( {{{e}^{x}}-frac{1}{x}+{{2}^{x}}} right)dx}}.
c) int{{frac{{{{x}^{2}}-3x+1}}{x}}}dx.     d) int{{frac{{3{{{sin }}^{2}}x-4{{{cos }}^{2}}x}}{{{{{sin }}^{2}}x{{{cos }}^{2}}x}}dx}}.
e) int{{(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)dx}}.     f) int{{(frac{1}{{sqrt{x}}}+sqrt[3]{x})dx}}.  

 Lời giải:

    a) int{{(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1)dx}}=int{{2{{x}^{3}}dx}}-int{{3{{x}^{2}}dx}}+int{{1dx}}=frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+x+C.

    b) int{{left( {{{e}^{x}}-frac{1}{x}+{{2}^{x}}} right)dx=int{{{{e}^{x}}dx}}-int{{frac{1}{x}dx}}+int{{{{2}^{x}}dx}}}}={{e}^{x}}-ln |x|+frac{{{{2}^{x}}}}{{ln 2}}+C.

    c) int{{frac{{{{x}^{2}}-3x+1}}{x}dx=int{{left( {x-3+frac{1}{x}} right)dx=int{{xdx}}-int{{3dx}}+int{{frac{1}{x}dx}}=frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+ln |x|+C}}}}.

    d) int{{frac{{3{{{sin }}^{2}}x-4{{{cos }}^{2}}x}}{{{{{sin }}^{2}}x{{{cos }}^{2}}x}}dx=int{{left( {frac{3}{{{{{cos }}^{2}}x}}-frac{4}{{{{{sin }}^{2}}x}}} right)dx}}}}

    =2int{{frac{1}{{{{{cos }}^{2}}x}}dx-4int{{frac{1}{{{{{sin }}^{2}}x}}dx}}=3tan }}x+4cot x+C.

    e) int{{(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)dx}}=int{{({{x}^{3}}+8)dx}}=frac{{{{x}^{4}}}}{4}+8x+C.

    f) int{{(frac{1}{{sqrt{x}}}+sqrt[3]{x})dx}}=int{{frac{1}{{sqrt{x}}}dx}}+int{{sqrt[3]{x}}}dx=int{{{{x}^{{-frac{1}{2}}}}dx}}+int{{{{x}^{{frac{1}{3}}}}}}dx=2{{x}^{{frac{1}{2}}}}+frac{3}{4}{{x}^{{frac{4}{3}}}}+C.

Ví dụ 1.2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2, biết F(-1)=3.

Lời giải:

Ta có int{{f(x)dx}}=int{{(4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2)dx}}={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+C.

Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+C.

Mà F(-1)=3Rightarrow C=3. Do đó F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+3.


Ví dụ 1.3: Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x)=frac{1}{x} thỏa mãn F(1)=-1. Tìm x để 2F(x)=frac{1}{{F(x)+1}}-1.

Lời giải:

Ta có int{{f(x)dx}}=int{{frac{1}{x}dx}}=ln |x|+C.

Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F(x)=ln |x|+C.

Mặt khác F(1)=-1Rightarrow C=-1. Do đó F(x)=ln |x|-1.

Khi đó 2F(x)=frac{1}{{F(x)+1}}-1Leftrightarrow 2(ln |x|-1)=frac{1}{{ln |x|}}-1

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}ln |x|ne 0\2{{ln }^{2}}|x|-ln |x|-1=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}ln |x|=1\ln |x|=-frac{1}{2}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=pm e\x=pm frac{1}{{sqrt{e}}}end{array} right.  (thỏa mãn).

Vậy x=pm e hoặc x=pm frac{1}{{sqrt{e}}}.

Ví dụ 1.4: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số F(x)=m{{x}^{3}}+(3m+2){{x}^{2}}-4x+3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=3{{x}^{2}}+10x-4.

A. m=3.     B. m=0 C. m=1.     D. m=2.

Lời giải:

Cách 1:

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x)

Leftrightarrow F'(x)=f(x)Leftrightarrow 3m{{x}^{2}}+2(3m+2)x-4=3{{x}^{2}}+10x-4

Đồng nhất hệ số Rightarrow left{ begin{array}{l}3m=3\2(3m+2)=10end{array} right.Leftrightarrow m=1.

Cách 2:

Ta có int{{(3{{x}^{2}}+10x-4)}}dx={{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-4x.

Đồng nhất hệ số suy ra m=1.

Chọn đáp án C.

Dạng 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp vi phân

Phương pháp:

Định nghĩa: Vi phân của hàm số y=f(x) là biểu thức f'(x)dx. Kí hiệu dy hay d(f(x)) là vi phân của y hay f(x).

dy=f'(x)dx hay d(f(x))=f'(x).dx.

Các vi phân quan trọng:

 

       1. xdx=frac{1}{2}d({{x}^{2}})=frac{1}{2}d({{x}^{2}}pm a)=-frac{1}{2}d(a-{{x}^{2}}).
       2. {{x}^{2}}dx=frac{1}{3}d({{x}^{3}})=frac{1}{3}d({{x}^{3}}pm a)=frac{{-1}}{3}d(a-{{x}^{3}}).
       3. sin xdx=-d(cos x)=-d(cos xpm a)=d(a-cos x).
       4. cos xdx=d(sin x)=d(sin xpm a)=-d(a-sin x).
       5. frac{{dx}}{{{{{cos }}^{2}}x}}=d(tan x)=d(tan xpm a)=-d(a-tan x).
       6. frac{{dx}}{{{{{sin }}^{2}}x}}=-d(cot x)=-d(cot xpm a)=d(a-cot x).
       7. frac{{dx}}{{2sqrt{x}}}=d(sqrt{x})=d(sqrt{x}pm a)=-d(a-sqrt{x}).
       8. {{e}^{x}}dx=d({{e}^{x}})=d({{e}^{x}}pm a)=-d(a-{{e}^{x}}).
       9. frac{{dx}}{x}=d(ln x)=d(ln xpm a)=-d(a-ln x).
      10. dx=frac{1}{a}d(ax+b)=-frac{1}{a}d(b-ax).

 

Ví dụ 2.1: Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:

    a) int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}dx}} b) int{{frac{{dx}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}.
    c) int{{sqrt{{4x+5}}dx}}. d) int{{frac{{dx}}{{3x+2}}}}.
    e) int{{left( {sin 2x+frac{3}{{4x-3}}} right)dx}} f) int{{left( {sin frac{x}{2}+sin x+sin 3x} right)dx}}.
    g) int{{left( {{{e}^{{-2x+1}}}-frac{1}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+frac{4}{{sqrt{x}}}} right)dx}}.  
Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Đắp Trà Xanh Với Mật Ong Có Tác Dụng Gì Cho Bạn 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

    a) int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}dx}}=-frac{1}{3}int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}d(1-3x)}}=-frac{{{{{(1-3x)}}^{{2019}}}}}{{6057}}+C.

    b) int{{frac{{dx}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}=frac{1}{2}int{{frac{{d(2x+1)}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}=-frac{1}{2}.frac{1}{{2x+1}}+C=-frac{1}{{2(2x+1)}}+C}}.

    c) int{{sqrt{{4x+5}}dx}}=frac{1}{4}int{{sqrt{{4x+5}}d(4x+5)}}=frac{1}{4}.frac{2}{3}{{(4x+5)}^{{frac{3}{2}}}}+C=frac{1}{6}{{(4x+5)}^{{frac{3}{2}}}}+C.

    d) int{{frac{{dx}}{{3x+2}}=frac{1}{3}int{{frac{{d(3x+2)}}{{3x+2}}=frac{1}{3}ln |3x+2|,+C}}}}.

    e) int{{left( {sin 2x+frac{3}{{4x-3}}} right)dx}}=int{{sin 2xdx}}+int{{frac{{3dx}}{{4x-3}}}}=frac{1}{2}int{{sin 2x,d(2x)}}+frac{3}{4}int{{frac{{d(4x-3)}}{{4x-3}}}}

    =-frac{1}{2}cos 2x+frac{3}{4}ln |4x-3|+C.

    f) int{{left( {sin frac{x}{2}+sin x+sin 3x} right)dx}}.

    Ta có dleft( {frac{x}{2}} right)=frac{1}{2}dxRightarrow dx=2dleft( {frac{x}{2}} right);,d(3x)=3dxRightarrow dx=frac{1}{3}d(3x).

    Từ đó int{{left( {sin frac{x}{2}+sin x+sin 3x} right)dx=int{{sin frac{x}{2}dx}}+int{{sin xdx}}+int{{sin 3xdx}}}}

    2int{{sin frac{x}{2}dleft( {frac{x}{2}} right)+int{{sin xdx}}+frac{1}{3}int{{sin 3x,d(3x)}}}}=-2cos frac{x}{2}-cos x-frac{1}{3}cos 3x+C.

    g) int{{left( {{{e}^{{-2x+1}}}-frac{1}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+frac{4}{{sqrt{x}}}} right)dx}}=int{{{{e}^{{-2x+1}}}dx-int{{frac{{dx}}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+int{{frac{4}{{sqrt{x}}}dx}}}}}}

    =-frac{1}{2}int{{{{e}^{{-2x+1}}}d(-2x+1)}}-frac{1}{3}int{{frac{{d(3x)}}{{{{{sin }}^{2}}3x}}+4int{{{{x}^{{-frac{1}{2}}}}}}dx}}=-frac{1}{2}{{e}^{{-2x+1}}}+frac{1}{3}cot 3x+8sqrt{x}+C.

See more articles in the category: BLOG ĐIỆN TỬ

Leave a Reply